新教材适用2023-2024学年高中数学第一章数列1数列的概念及其函数特性1.1数列的概念课件北师大版选择性必修第二册

1.1数列的概念第一章内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解数列的概念及数列的分类,认识数列是反映自然规律的基本数学模型.2.了解数列是一种特殊的函数,了解数列与函数的关系.3.能根据数列的前几项,写出它的一个通项公式.能根据通项公式确定数列的某一项.4.体会数学抽象的过程,加强逻辑推理能力和数学运算能力的培养.自主预习新知导学一、数列的概念【问题思考】1.观察下面的例子,并回答问题.①2,1,3,-5;②0,1,2,…;③-2,-2,-2.(1)以上各例中的研究对象是什么?(2)以上各例中的数有次序吗?(3)以上各例中各有几个数?提示:(1)数.(2)有.(3)①4个;②无数个;③3个.2.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…或简记为数列{an}.其中a1是数列的第1项,也叫数列的首项;an是数列的第n项,也叫数列的通项.3.下列关于正整数的前5个数的排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的有(

).A.①

B.①②C.①②③ D.①②③④解析:数列是按一定次序排列的一列数.因此选D.答案:D二、数列的分类【问题思考】1.数列3,3,3,3,3与数列3,3,3,3,3,…各有几项?提示:第一个数列有5项,第二个数列有无数项.2.项数有限的数列,称为有穷数列;项数无限的数列,称为无穷数列.3.对于下列数列:①4,3,2,1,0,-1,…;②1,2,4,8,…,1024;③2,7,2,7,…,2,7,…;④6,6,6,…,6,….其中有穷数列有

;无穷数列有

.(填序号)

答案:②

①③④三、通项公式【问题思考】1.对于数列1,-1,1,-1,…,回答下列问题.(1)数列中的项an与其序号n是否有一定的规律?(2)试写出an关于n的一个关系式.(3)an关于n的关系式唯一吗?提示:(1)是.(2)an=(-1)n+1.(答案不唯一)(3)不唯一.2.数列可以看作定义域为正整数集N+(或其子集)的函数.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.3.是否任何数列都能写出其通项公式?提示:否.4.

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)-5,2,1,-8,7,…,981不构成数列.(×)(2)-1,1,3,5,7,…是有穷数列.(×)合作探究释疑解惑探究一数列的分类【例1】

已知下列数列:答案:①⑥

②③④⑤①2018,2019,2020,2021,2022,2023;④1,0,-1,…,2,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列为

,无穷数列为

.(填序号)

判断一个数列是有穷数列还是无穷数列,需要从定义入手.若数列中有无穷项,则为无穷数列,反之则为有穷数列.③-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成的数列-2,4,-8,16,-32,….其中,有穷数列为

,无穷数列为

.(填序号)

答案:①

②③【变式训练1】

给出下列数列:①2015~2022年某省普通高中生人数(单位:万人)构成的数列82,93,105,119,129,130,132,135;探究二根据数列的通项公式求数列中的项【例2】

根据下列数列的通项公式,写出它的前4项.∴{bn}的前4项依次为0,-1,0,1.对于例2(2),求b202.an=f(n)表示的是序号n与数列的项之间的函数关系.由f(n)求an即已知函数的自变量求其对应的函数值,将自变量n的值代入an=f(n)即可.【变式训练2】

根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项.(1)an=n2;解:

(1)1,4,9,16,25.探究三根据数列的前几项求数列的通项公式【例3】

根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:(记各数列为{an})(1)-1,7,-13,19,…;(3)5,55,555,5555,….解:

(1)数列的偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,从第2项起,每一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故该数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再将例3(3)改为:0.5,0.55,0.555,…,求该数列的一个通项公式.由数列的前几项归纳该数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.(2)具体策略:①分析分数中分子、分母的特征;②分析相邻项的变化特征;③分析拆项后的特征;④分析各项的符号特征或绝对值特征;⑤化异为同,对于分数,可对分子、分母分别考虑,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于正负号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1处理.【变式训练3】

根据给出的前几项,写出各数列的一个通项公式.(1)a,b,a,b,a,b,…;(2)9,99,999,9999,…;(2)各项加1后,变为10,100,1

000,10

000,…,故原数列的一个通项公式为an=10n-1.(3)数列中的每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去从1开始的自然数,故数【思想方法】

利用函数与方程的思想求解数列的问题

数列是定义域为正整数集N+(或其子集)的函数,灵活运用函数与方程的思想解决数列问题,有时可达到事半功倍的效果.判断某数值是不是该数列中的项,需先假定它是数列中的项,列方程求解.若方程的解为正整数,则该数值是此数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则该数值不是此数列中的项.【变式训练】

已知数列{an}的通项公式是an=

(n∈N+).(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?解:(1)若0是{an}中的第n项,则

=0,解得n=0或n=21.∵n∈N+,∴n=21.∴0是{an}中的第21项.若1是{an}中的第n项,则

=1,∴n2-21n=2,即n2-21n-2=0.因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是{an}中的项.(2)假设{an}中存在第m项与第m+1项相等,即am=am+1,解得m=10.故数列{an}中存在连续且相等的两项,分别为第10项与第11项.随堂练习1.下列说法中,正确的是(

).A.数列1,3,5,7可表示为集合{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列D.数列0,1,2,3,4,…,可记为{n}解析:由数列定义知A错误,B中前后两个数列中的数排列次序不同,D中n∈N+,不包括0.答案:C2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+(-1)n×2,则其第3,4项分别是(

).A.9,14 B.9,18

C.7,18

D.7,14解析:a3=32-2=7,a4=42+2=18.答案:C答案:4

不是

4.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)-49和68是该数列的项吗?若是,是第