山东省临沂市罗庄区七校联考2024届高三下学期期末考试（数学试题文）试题

山东省临沂市罗庄区七校联考2024届高三下学期期末考试（数学试题文）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．1 B．2 C．3 D．42．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．23．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（）A．5 B． C．4 D．164．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A． B．C． D．5．设函数，当时，，则（）A． B． C．1 D．6．“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（）A． B．C． D．9．已知集合，则等于（）A． B． C． D．10．设集合，集合，则=（）A． B． C． D．R11．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（）A．7 B．8 C．9 D．1012．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的最小值为2，则_________．14．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．15．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________.16．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，求四面体的体积.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.19．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为定值.20．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分线与交于点D，与的外接圆交于点E（异于点A），，求的值.21．（12分）设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．22．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【题目详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题2、C【解题分析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【题目详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【题目点拨】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.3、C【解题分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【题目详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选：C【题目点拨】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.4、D【解题分析】

由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝lnx相切时，k＝；结合图象即可得解.【题目详解】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D..【题目点拨】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．5、A【解题分析】

由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．【题目详解】，时，，，∴，由题意，∴．故选：A．【题目点拨】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．6、C【解题分析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.7、A【解题分析】

先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【题目详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【题目点拨】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.8、A【解题分析】

先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.【题目详解】因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.9、C【解题分析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【题目详解】因为，，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.10、D【解题分析】试题分析：由题，，，选D考点：集合的运算11、C【解题分析】

根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.【题目详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【题目点拨】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.12、B【解题分析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【题目详解】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.【题目详解】根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.【题目点拨】本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解题分析】

根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【题目详解】根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx，则有，即a＝2b，则cb，则该双曲线的离心率e；故答案为：．【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题．15、【解题分析】试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”，则事件包含了个基本事件，所以.考点：1.计数原理；1．古典概型.16、【解题分析】

根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解.【题目详解】由题可得：，故答案为：【题目点拨】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）取中点，连接，根据等腰三角形的性质得到，利用全等三角形证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，结合锥体体积公式，求得四面体的体积.【题目详解】（1）证明:如图，取中点，连接，由则，则，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面体的体积【题目点拨】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线的方程，利用参数的几何意义求解．【题目详解】解：（1），则，∴，所以曲线的直角坐标方程为，即（2）点的直角坐标为，易知.设对应参数分别为将与联立得【题目点拨】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．19、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）根据椭圆的定义可得，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；（2）设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和的方程，求得和的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值.【题目详解】（1）因为，由椭圆的定义得，，点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，所以的方程为；（2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，消去，整理得，所以，，直线的直线方程为，令，则，同理，所以：，代入整理得，所以为定值.【题目点拨】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解.（2）根据，利用两角和的余弦得到，利用数形结合，设，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【题目详解】（1）因为，所以，即，即，所以.（2）∵，.所以，从而.所以，.不妨设，O为外接圆圆心则AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，从而.所以.【题目点拨】本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.21、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论.【题目详解】（1）当时，不等式为，且.当时，