新教材适用2023-2024学年高中数学第二章导数及其应用习题课用导数研究函数的单调性极值最值课件北师大版选择性必修第二册

习题课——用导数研究函数的单调性、

极值、最值第二章内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解函数的单调性与导数的关系,能用导数求解有关单调性问题.2.会用导数求函数的极值.3.能利用导数求函数的最大、最小值.4.注重逻辑推理及数学运算能力的培养.自主预习新知导学一、函数的单调性与导数【问题思考】1.导数的符号与函数的单调性之间具有如下关系:(1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;(2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.2.做一做:函数f(x)=cosx-x在区间(0,π)内的单调性是(

).A.先单调递增后单调递减B.先单调递减后单调递增C.单调递增D.单调递减解析:∵x∈(0,π),∴f'(x)=-sin

x-1<0,∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.答案:D二、函数的极值、最值与导数【问题思考】1.(1)函数的极大值与极小值:若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大值点,f(x0)是极大值.若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小值点,f(x0)是极小值.(2)函数的最值与导数①函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.②求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:(ⅰ)求出函数导数在区间(a,b)上的零点;(ⅱ)将所有导数零点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较,其中最大的值即为函数的最大值,最小的值即为函数的最小值.函数f(x)在区间(0,1]内单调递增.所以f(x)min=f(0)=0.答案:(1)A

(2)20【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则必有f'(x)>0.(×)(2)函数的极大值可能小于极小值.(√)(3)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.(√)合作探究释疑解惑探究一利用导数研究函数的单调性【例1】

已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.又因为a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).例1第(2)问中,若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求a的取值范围.解:若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则h'(x)<0在[1,4]上有解,根据函数的单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在区间(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)单调递增的充要条件是:对任意的x∈(a,b),都有f'(x)≥0,且在(a,b)上的任一非空子区间上f'(x)不恒为零.(要注意等号是否可以取到)(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.分离参数后对应不同的最值类型.【变式训练1】

已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)+在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.所以f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).若函数g(x)为[1,+∞)上的单调递增函数,则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,因为φ(x)在[1,+∞)上单调递减,所以φ(x)max=φ(1)=0,所以a≥0.若函数g(x)为[1,+∞)上的单调递减函数,因为φ(x)没有最小值,不满足题意,所以实数a的取值范围为[0,+∞).探究二用导数求函数的极值、最值【例2】

已知函数f(x)=x2+alnx.(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值.(2)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值.分析

先求f'(x),再利用导数讨论函数f(x)的单调性,最后确定函数f(x)的极值和最值.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.例2中,若a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3图象的下方.当x≥1时,F'(x)≤0,且只在有限个点为0,则函数F(x)在区间[1,+∞)上单调递减.又F(1)=-<0,∴在区间[1,+∞)内,F(x)<0恒成立,即f(x)<g(x)恒成立.因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方.导数法是求解函数的单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法,应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集;最值问题关键在于比较极值与区间端点函数值的大小;参数问题有恒成立问题、单调性的逆向应用等,求解时注意分类讨论思想的应用.【变式训练2】

已知函数f(x)=xlnx-ax2+a(a∈R),其导函数为f'(x).(1)求函数g(x)=f'(x)+(2a-1)x的极值;(2)当x>1时,关于x的不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln

x-2ax+1,所以,当x=1时,函数g(x)有极大值,极大值为g(1)=0,无极小值.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln

x-2ax+1.若a≤0,则f'(x)=ln

x-2ax+1>0在x>1时恒成立,从而f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,故a≤0不符合题意.若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln

x-2ax+1,x>1,则f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)<f(1)=0对x∈(1,+∞)恒成立,符合题意.探究三利用导数求解不等式恒成立与有解问题【例3】

已知函数f(x)=lnx+x2-(a+1)x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2,求函数f(x)的单调区间;(2)当x>0时,恒成立,求实数a的取值范围.含参数不等式的解法一般有两种:(1)分离参数法;(2)直接化为不等式恒成立问题.无论哪种方法实质都是转化为求解函数最值.【变式训练3】

已知函数f(x)=alnx+x2-ax有两个极值点.(1)求实数a的取值范围;(2)设f(x)的两个极值点分别为x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,函数f(x)有两个极值点,即方程f'(x)=0有两个不同的正根,即方程x2-ax+a=0有两个不同的正根.故a的取值范围为(4,+∞).∴y<ln

4-3,∴λ≥ln

4-3.∴λ的最小值是ln

4-3.【规范解答】

利用导数求函数的最值【典例】

已知函数f(x)=x-eax(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间

上的最大值.审题策略

(1)求f'(x),通过求f'(x)>0(<0)确定f(x)的单调区间;(2)将极大值与

比较得到f(x)的最大值.规范展示:(1)函数f(x)=x-eax(a>0),则函数f(x)的定义域为R,f'(x)=1-aeax.当x变化时,f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如表2-6-12:表2-6-12答题模板

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题:第1步:(求导数)求函数f(x)的导数f'(x);第2步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;第3步:(求端点函数值)求f(x)在给定区间上的端点函数值;第4步:(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点函数值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.规范解答本题的要点如下:(1)能准确求导或求函数值;(2)能准确确定分类讨论的标准.【变式训练】

已知函数f(x)=

(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的极小值为-e3,求函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex>0,所以y=f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.因为a>0,所以当-3<x<0时,g(x)>0,即f'(x)>0;当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0.所以函数f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有

因为函数f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值为f(-5)和f(0)中的较大者,而f(-5)==5e5>f(0)=5.故函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.随堂练习1.函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是(

).A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞).∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故选A.答案:A2.已知函数f(x)=-1+lnx,若存在x0>0,使得f(x0)≤0,则实数a的取值范围是(

).解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式

-1+ln

x≤0有解,即a≤x-xln

x在(0,+∞)上有解.令h(x)=x-xln

x,则h'(x)=-ln

x.由h'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,h'(x)>0,当x>1时,h'(x)<0.故当x=1时,函数h(x)=x-xln

x取得极大值1,也是最大值.所以要使不等式a≤x-xln

x在(0,+∞)上有解,只要a≤h(x)