新教材适用2023-2024学年高中数学第7章概率4事件的独立性课后训练北师大版必修第一册

§4事件的独立性课后训练巩固提升一、A组1.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为().A.0.12 B.0.42C.0.46 D.0.88解析:由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有1人被录取的概率为1-0.12=0.88.答案:D2.下列事件A,B是相互独立事件的是().A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次,事件A表示“第一次正面朝上”,B表示“第二次反面朝上”B.袋中有大小、质地相同的两个白球和两个黑球,不放回地依次摸两球,事件A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”D.事件A表示“人能活到60岁”,B表示“人能活到80岁”答案:A3.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则事件A发生的概率P(A)等于()A.29 B.C.13 D.解析:由题意得P(AB)=P(BA),且事件A,B相互独立,所以P(A)P(B)=P(B)P(A).所以[1-P(A)]P(B)=[1-P(B)]P(A).所以P(A)=P(B).因为P(AB)=[P(A)]2=1所以P(A)=13故P(A)=1-P(A)=23答案:D4.如图,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统可以正常工作的概率是().A.0.504 B.0.994C.0.496 D.0.06解析:系统正常工作,即A,B,C3个开关至少有一个能正常工作.设事件A,B,C分别表示开关A,B,C正常工作,则事件A,B,C相互独立.故系统正常工作的概率P=1-P(ABC)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)=1-0.1×0.2×0.3=0.答案:B5.(多选题)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,则下列结论正确的有(A.两个球不都是红球的概率为5B.两个球都是红球的概率为1C.至少有一个红球的概率为2D.两个球中恰有一个红球的概率为1解析:由题意,得两个球不都是红球的概率为1-13×12=56,两个球都是红球的概率为13×答案:ABCD6.已知事件A,B,C相互独立,若P(A∩B)=16,P(B∩C)=18,P(A∩B∩C)=18,则P(B)=,P(A∩B)=解析:由题意,得P解得P故P(A∩B)=[1-P(A)]P(B)=23答案:17.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为12,乙解出它的概率为13,丙解出它的概率为14,由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为解析:设“甲解出,而乙、丙不能解出”为事件A,则P(A)=12“乙解出,而甲、丙不能解出”为事件B,则P(B)=13“丙解出,而甲、乙不能解出”为事件C,则P(C)=14故由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为P(A)+P(B)+P(C)=14答案:118.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少命中一次的概率.解:(1)设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,则P(A)=12,P(B)=25,P(A)=12,P(B)故甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=12(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1,则P1=P(AABB)=P(A)P(A)P(B)P(B)故甲、乙两人在罚球线各投球两次,至少命中一次的概率为1-P1=911009.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约;乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12,且面试是否合格互不影响,求(1)至少有一人面试合格的概率;(2)没有人签约的概率.解:用A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙面试合格”,由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=12(1)至少有一人面试合格的概率是1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-(2)没有人签约的概率为P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(二、B组1.甲、乙两个气象台独立进行天气预报,如果他们预报准确的概率分别为0.8,0.9,那么在一次预报中,两个气象台都没预报准确的概率为().A.0.72 B.0.3C.0.02 D.0.03解析:因为甲、乙两个气象台预报不准确的概率分别为0.2,0.1,且相互独立,所以两个气象台都没预报准确的概率为0.2×0.1=0.02.答案:C2.在一段时间内,甲去某地的概率是14,乙去此地的概率是15,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是(A.320 B.C.25 D.解析:至少有一人去此地的对立事件是两人都不去此地,两人都不去此地的概率是1-141-15=答案:C3.把一枚质地均匀的骰子任意地掷一次,下列各组事件是相互独立事件的组数为().①事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出奇数点”;②事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出3点”;③事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出3的倍数点”;④事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出的点数小于4”.A.1 B.2C.3 D.4解析:①P(A)=12,P(B)=12,P(AB)所以A与B不是相互独立事件.②P(A)=12,P(B)=16,P(AB)所以A与B不是相互独立事件.③P(A)=12,P(B)=13,P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.④P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B)≠P(AB),所以A与B不是相互独立事件.答案:A4.(多选题)有两种投资方案,一年后投资盈亏情况如下表.投资股市:投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率113购买基金:投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p1q记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则().A.P(A)=0.5B.当p=14时,q=C.若P(C)=0.75,则p=0.5D.若P(C)>0.8,则p>4解析:由题意知P(A)=12,P(B)=p,∴A正确∵“购买基金”后,投资结果只有三种,且三种投资结果两两互斥,∴p+13+q=1又p=14,∴q=512,∴B∵C=AB+AB+AB,且A,B∴P(C)=12(1-p)+12p+12p=若P(C)=0.75,则p=0.5,∴C正确;若P(C)>0.8,则12+12p>0.8,又p+13+q=1,q>0,∴p<23,∴35<p<23,答案:ABC5.如图,在电路图中有开关a,b,c,它们闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是()A.18 B.38 C.14解析:设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪ABC∪ABC,且A,B,C相互独立,ABC,ABC,ABC互斥,所以P(E)=P(ABC∪ABC∪ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=12答案:B6.某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三个交通灯在一分钟内绿灯亮的时间(单位:s)分别为25s,35s,45s,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是().A.35192 B.C.35576 D.解析:设这三个交通灯绿灯亮分别为事件A,B,C,则P(A)=2560=512,P(B)=3560=712,P(C)=4560所以三处都不停车的概率为P(ABC)=512答案:A7.某自助银行有A,B,C,D四台ATM,在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为13(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为;

(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为.

解析:(1)该客户需要等待意味着A与B同时被占用,故所求概率P1=13(2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率P2=13答案:(1)16(2)8.一个元件能正常工作的概率叫作这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可靠性为p(0<p<1),且每个元件能否正常工作是相互独立的.如图,今有6个元件按两种方式构成两个系统(1)(2),试比较系统(1)(2)哪个的可靠性大.(1)(2)解:系统(1)有两条道路,它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作,而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作.系统(1)每条道路正常工作的概率是p3,不能正常工作的概率是1-p3,系统(1)不能正常工作的概率为(1-p3)2,故系统(1)正常工