特征值和特征向量的求法

引言在有限维线性空间中，取了一组基后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每一个给定的线性变换，希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.本文主要地就来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究具有基本的重要意义.本文通过自己四年来的理论学习，通过认真分析查阅资料，归纳总结了几种求特征值和特征向量的求法的，以期对矩阵的进一步研究有一定的参考价值．1特征值与特征向量的理论特征值与特征向量的定义定义1设屮是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一数九,0存在一个非零向量g，使得屮g二九g （1-1）0那么九成为屮的一个特征值，而g称为屮的属于特征值九的一个特征向量.00从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（九＞0）,或者方向相反（九＜0）,至于九=0时,特征向量就被线性变换变成000.如果g是线性变换屮的属于特征值九的特征向量，那么g的任何一个非零倍数0kg也是屮的属于九的特征向量•因为从（1-1）式可以推出0屮@）二九（kg）0这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决

定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.现在来给出寻找特征值和特征向量的方法•设V是数域P上n维线性空间,£,£•…£是它的一组基，线性变换T在这组基下的矩阵是A•设X是特征值，它的1 2n 012一个特征向量g在£,£•••£下的坐标是x,x,…,x•则Tg的坐标是0102 0n12X01X02X0nX01X02X因此（1-1）式相当于坐标之间的等式x01x02=X0x01x02xx因此（1-1）式相当于坐标之间的等式x01x02=X0x01x02xx0n0nA0n1-2)E-A)0X01X02=0X0n这说明特征向量g的坐标（x,x,…,x01 02 0n）满足齐次方程组a x+a x b ba x111 122 Inna x+a x b ba x<211 222 2n=Xx01,=Xx,02ax+axH baxn11 n22 nn=Xx,0n（X—a（X—a）—ax011,122—aX+vX—a<211022—aX=0,1nn aX=0,2 2nn1-3）nnn—aX—aX—•…+匕—a人=0.nnnn11 n22 0由于g工0，所以它的坐标X,X,…,X不全为零，即齐次方程组有非零解•我们知道,0102 0n齐次方程组(1-3)有非零节的充分必要条件是它的系数行列式为零，即尢—a011—a21尢—a011—a21—a12尢—a022—a1n—a2n=0-an1-an2nn我们引入以下的定义.定义2(i)定义2(i)设A是数域P上一n阶矩阵,九是一个文字•矩阵九E-A的行列式尢一尢一a—a1112—a尢一a2122—a1n—a2n—a—a—a…九一an1 n2nn称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式.上面的分析说明，如果九是线性变换屮的特征值，那么九一定是矩阵A的特征多项00式的一个根；反过来，如果九是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即0卜E-A=0，那么齐次线性方程组(1-3)就有非零解这时，如果(x,x,…,x)是方01 02 0n程组(1-3)的一个非零解,那么非零向量g=X£+XXH FXX011 022 0nn满足(1-1),即九是线性变换屮的一个特征值，g就是属于特征值九的一个特征向00量.特征值与特征向量的性质，性质1若九为A的特征值，且A可逆、九鼻0，则X-1为A-1的特征值.••九Hon证明设九九…九为A的特征值，则A1••九Hon1 2 n 1 1 2

九H0（i=l、2・・・n）i设A的属于九的特征向量为g则则九A-1弋即有A-1g»gi.・・九-1为A-1的特征值，由于A最多只有n个特征值.・.九-1为A-1g的特征值（X），性质2若九为A的特征值，则f（九）为f（A（X）=aXn+a Xn-1+…+aX1+aX0TOC\o"1-5"\h\zn n-1 1 0证明设g为A的属于X的特征向量，则Ag=Xg・・・f（A）g=（aAn+aAn-1+…+aA+aE）gn n-1 1 0=aAng+aAn-1g+…+aEgn n-1 0=aXng+a Xn-1g+…+agn n-1 0=f（X）g又gHO・•・f（X）是f（A）的特征值性M3n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一定是A的特征值TOC\o"1-5"\h\za a … a11 12 1na a … a证明设A= 21 22 2n则由题设条件知：・・•・・•・・•・・•则由题设条件知：a11a21a12a22…a1n…a2n丁1=aa=a丁1aa…a1a1n1n2nnaa…an1 n2 nn・•・a是A的特征值推论若X为A的特征值，且A可逆，则J为A*的特征值（A*为A的伴随矩阵）.证明因为A*=|a|a-i而a-1的特征值为九-1.IAI 4再由性质2知 是A*的特征值.九，性质4如果九是正交矩阵A的特征值，那么九-1也是A的特征值.证明设九是A的特征值，那么存在非零向量E使得Ag=从用a-1作用之后得g=九a-1g.又A的特征值一定不为零，所以九工0•••入j是a-1的特征值，A是正交矩阵A*=a-1•••入-1为A*的特征值又A与A*相似，A*与A有相同的特征根•••―1也是A特征根.，性质5设x是A对应于特征值九的特征向量，y是A'的对应与九的特征向量.iiij证明若Ax=九x则A'=九x'x' ⑴iiiiii并有A'y=九y (2)iii给(1)右乘以y，(2)左乘以x'相减得,ii0=九x'y—九x'yiiijii则x'y=0.ii性质6设A、B均为n阶矩阵，则AB与BA有相同的特征值.证明设ABx»，即九是AB的特征值，x是对应九的特征向量.用B左乘之得BA(Bx)=九Gx).(1)若九鼻0，则Bx丰0.否则，若Bx=0,贝90=ABx=Xx，这与九鼻0和x丰0矛盾•可见九也是BA的特征值(此时，对应的特征向量是Bx).（2）若九二0，即BA有零特征值，则0=|AB-0E|=|A|B|=B||A|=|BA|=|BA-0E|即0也是BA特征值.综合（1）与（2）得证AB与BA有相同的特征值.性质7相似的矩阵有相同的特征多项式.证明设A~B，即有可逆矩阵X，使B=X-1AX•于是|XE-B=|XE-X-1AX|=X-16E-A）X=X-1卜E-A||X|=|XE-A|•性质7正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的•因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.1.3特征值、特征向量常用的结论1•属于不同特征值的特征向量是线性无关的；即如果a，a，…，a分别是属于12s不同特征值九，九，…，九的特征向量，则a，a，…，a线性无关.12s12s只证明两个向量的情形：假设ka+ka二0nA（ka+ka）二A0二011221122nkAa+kAa=0n九ka+九ka=01122111222另一方面，由条件可得：九ka+九ka=0n（X—九ka=0•1111222122由于a丰0，XzXnk=0，从而k=0，故结论成立.22121对于多个向量，同理可证.设X，X，…，X是n阶方阵A的n个特征值，贝I」：TOC\o"1-5"\h\z1 2 nX+X+ X=a+a+ +a=A的主对角线上的元素的和；1 2 n11 22 nnX・XX=|a|1 2 n证明由条件可得：|Xe-A|=（X-X）X-X）…（X-X）；1 2 n

这是一个关于九的n次多项式，比较左右两边九-1的系数，便得到上面的第一个等式；然后再令X=0，便得到第二个等式.由上面第二个等式可以得到：A可逆的充要条件是A的特征值均不为0；若九，九，…，九是A的特征值，则九E-kA的特征值为九-k九，九-k九，…，1 2 n 1 2九—k九n|XE-kA=(k-k九)b-k九)•••(X-k九)；n 1 2 n例A是一个三阶矩阵，其特征值为3,1,(-2)，则2E-A的特征值为-1,1,4，且|2E-A二(-1)-1-4=-4;5.关注秩为5.关注秩为1的方阵A的特征值、特征向量此时a1aa1a2lb1b…bLapt2nan若X是其特征值，丫是其对应的特征向量，则AY二九丫，即00apty=Xy0两边用P去左乘，可得Ptapty二Xptyn（Pta）（pty）=X（pty）.00若pty0,注意到pty，pTa均是一个数，因而X=pta0若pty0则由Xy二apTy=a0二0nX二000当n>2时，由于r(A)二1n|A|二0nA必有一个0特征值.由上讨论可得：A的特征值为0或者为pTa=ab+abH Fab，再由前面特征11 22 nn值的性质：X+Xf X=a+aF Fa1 2 n11 22 nn从而可得：pTa二ab+ab+•••+ab是A的特征值，重数是1，而0特征值其11 22 nn重数为n-1；特征值pTa二ab+ab+•••+ab对应的特征向量是y二ka；0特征值对11 22 nn应的特征向量是方程组：bx+bx+ +bx=0111111的非0的解向量，求出其方程组的一个基础解系，就找出了属于0特征值的全部特征向量.2特征值与特征向特量的求法2.1矩阵的特征值与特征向量的求法（1）利用定义设A是数域P上n级方阵若存在九GP及awPn,J丰0使Aa二九a则称九是A的特000征值，a称为A属于九的特征向量0由定义不难得出以下结论1） 设九是A的特征值，则当A可逆时，九H0且1是A-i的特征值入2） 设九是A的特征值，则当A可逆时，丄同是A的伴随矩阵的特征值，且当Aa=Xa九A时，有A*a二a九例已知三级矩阵A的特征值为1,-1,0，对应特征向量分别为P，P，P,i23B=A2-2A+3E，求B-1的特征值和特征向量.解首先，要求B-1的特征值，必须证明B可逆并且求出B-1.设九是A的任一特征值，Aa=Xa（a丰0）则Ba=CA2—2A+3EL故B可逆.由上述证明及题目所给条件Bp=2p，Bp=6p，Bp=3p.于是B-1p=p,1 1 2 2 3 3 1 21Bp=1p，Bp=1p，即B-1的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为p,2 62S33 2 6 3 1p，p.

（1）基本计算法1） 求出矩阵A的特征多项式fa（X）=\kE-A2） 求出|九E-A|的全部根3） 把特征值九逐个代入齐次线性方程组（XE-A）x=0并求它的基础解系，即ii为A的属于特征根九的线性无关的特征向量i例设8，8，8，8是四维线性空间V的一组基，线性变换A在这组基下的矩1234阵为求A的特征值和特征向量.解求A的特征值和特征向量.解A的特征多项式为5 —2—43 —1—319—3 -22—10311—655—473X——22—5X+232—5T-7所以A的特征值为：X1巳二0几3=1几4=2所以A的属于特征值0的线性无关特征向量为E=28+38+8，1 1 2 3g=—8—8+82 1 2 4属于1属于1的特征向量为：属于12的特征向量为:g=38+8+8—28，3 1 2 3 4g=—48—28+8+68.4 1 2 3 4例求矩阵A的特征值与特征向量:TOC\o"1-5"\h\z1 0A=-4-1 0-8-2解A的特征多项式为九-3-1 0卜E-A|= 4九+1 0 =（X-1）2（X+2）-4 8X+2所以A的特征值为1（2重），-2.把九二1代入齐次线性方程组（1-3）,得-2x-x=012<4x+2x=012—4x+8x+3x=0123其基础解系为_3_-6；20把X=-2代入（1-3）,得-5x-x=012<4x-x=012-4x+8x=012其基础解系为o0.1所以，A的特征值为1,-2.属于1的特征向量为：「-3「k-6 （k丰0）；20属于-2的特征向量为：l0（/H0）.

因为凡是A的属于九的特征向量都是齐次线性方程组（1-3）的解；反过来，凡是方0程组（1-3）的非零解一定都是A的属于九的特征向量，所以，为了求A的属于九的00全部特征向量，只需找出方程组（1-3）的一个基础解系，设为«，«，…«，那12s么A的属于九的全部的特征向量就是0k（X+k（X+•…+k（X1122ss其中k，k，…，k可以取数域P中任意的数•需要注意的是：因为特征向量是非零12s向量，所以k，k，…，k必须不全为零.12s（2）用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中.引理矩阵A左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不变•即若A为mxn矩阵，P、Q分别是m和n阶可逆矩阵，则r（PA）=r（A）,r（AQ）=r（A）且r（PAQ）=r（A）W.由此可知，若r（A）=rYn,且E为n阶单位矩阵,则形如E的（m+n）xn矩阵必可经过一系列初等列变换化成CD的形式，其中B为mxr矩阵且Sr,C,D分别为nxr和nx（n-r）矩阵，0为mx（n-r）零矩阵.定理1设A为mxn矩阵，其秩r（A）=rYn,x二C，x，…，x》，则必存在n阶1 2,n可逆矩阵Q,使Ia]q=CB.0],且D的n-r个列向量就是齐次线性方程组Ax二0ECD的基础解系.证明此处只需证明D的列向量是Ax二0的基础解系即可.一A"一A"事实上，由沁=.0]JAQ=(B,0)DJ[Q=(C,D)即A（C,D）=（B,0），从而AC二AC二B,AD二0.这说明，D的n-r个列向量D,D，…，D是齐次线性方程组1 2 n-rAx二0的解向量.另设矩阵匕1Id,1C，…，C，2rC的列向量为C，CAx二0的解向量.另设矩阵匕1Id,1C，…，C，2rC的列向量为C，C，…，C则由Q=(C,D)知向量组nxr 12 rD，D，…，D｝即为Q的列向量，因Q可逆，所以向量组12n-rD,…,D2n-r例求齐次线性方程组｝线性无关，因此D的列向量就是Ax二0的基础解系.x+2x+3x—x=0,12343x+2x+x-X=0，12 3 42x+x+x—x=0,12345x+5x+2x=0123解利用初等列变换,得123—1「1000"321—134—8—2222—122—41A"55205—5—135=TE100012—31010001000010001000010001「1000"1000"320032002100210055255570TT111011150001000—70010001501420146二（5,7,5,6）T.从而，r(A)=3,所求基础解系为a定理2设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩rYn，mxnPAQ=的非奇异Q的后n-r列便构成线性方程组的一个基础解系.nxn证明•••PAQ=Er000「Er0「=[P,P]「Er0「001200AQ=P-i[p,q],1又AQ=AAQ,Q]=\AQ,AQ]1212.[AQ，AQ]=[P,0].121从而AQ=0,即Q的n-r列，即Q的诸列为方程组A/=0的列向量.22因为Q为非奇异矩阵，所以Q的n-r列线性无关，故它们构成方程组A/=0的2一个基础解系.如何求矩阵Q，从而得到Q，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算:2因矩阵A的秩为r,A有r列线性无关向量组，于是矩阵LA,E］经一系列的初等n变换成为P 0mxrQ Q12，其中r（P）变换成为P 0mxrQ Q12，其中r（P）=r，由此便得到Q.2定理3n阶矩阵A的特征矩阵（AE-九）经列的初等变换可成为下三角矩阵:Le=A]~d（X） 0 …0*d（X）…02=G（九）其中d6）、d6）、12、d6）的根就是A的特征多项式f6）=|XE-A|的根n由定理2知：当列出等变换「G（X）►Q（X）时，对矩阵A的每个特征根九，如果i秩G（X）秩G（X）=n—丫，则在矩阵ii「G（X》_Q（X）关的特征向量；如果G（X）中0列少于r个，则对_Q（X）继续作列的初等变换，知道中，如果G（X）中恰有r个0列，则G（X）中与这r个iiii0列相应的列便是方程组（XE-A）X=0的基础解系，即为A的属于特征根r的线性无iiG（X）中的列的个数为r，然后再同上取Q（X）中与这个0列对应的列.iii例求矩阵1—200—例求矩阵1—200—101=0知A的特征根九1GQ_q1_「000「「000_2―100一10000000100100001001012212的特征根与特征向量.祝—100-祝一100-祝—100_2九+1—12—1九+12—1000九-1T0九-10T0九-1九2一110010010001000100100101001九+1九E-AE=—1特征向量「「a=1,a=01222当九=—1时,「一2「一220一1「G(-1)0一2_Q(—1)_100001000010特征向量0a=1,30这里用初等列变换的方法同时求出了矩阵的特征值与特征向量,完全类似地,利用初等行变换也可以实现这一过程,其方法如下:（1）对矩阵kE-Ae］施行初等行变换将其化为矩阵［p（X）qCO］,如果）中i有r个0行，则P（X）中与r个0行相应的行便是方程组6-E）x二0的基础解系，即iiii为A的属于特征根r的线性无关的特征向量；i（2）如果pg中0行少于r-个，则对“a）Qd）］继续作行的初等变换，直到pW）中的行的个数为〔，然后再同上取Q"丿中与这个0行对应的行.例求矩阵~1-33_A=3-536-64的特征值与特征向量.解因为特征矩阵TOC\o"1-5"\h\z祝-1-3 -6_九E-A= 3九+5 6-3 -3九—4所以「九-1 -3 -6 100「I1E-A E］= 3 九+5 6 0 10-3 -3 九一40 01--3 -3九—400-3-3九-4001T3九+56010T0九+2九+2011九-1 -3-61000-九-2九2-5九-1410九-133-30-3-30-3X+2X-4X+2X2—2X—8

311X+23二[P(X)Q(X)],由（X+2Wu—2九-8）=0知A的特征根为九[p(-[p(-2)Q(-2)]=-300-300-600特征向量丁a=1，a=11120当九二4时,[p([p(4)Q(4)]=-300-360特征向量线性变换的特征值与特征向量的求法2.2.1利用定义求解：1） 在线性空间V中取一组基8,8. 8，写出屮在这组基下的矩阵A;12n2） 求出A的特征多项式XE—A在数域P中全部的根，它们也就是线性变换屮的全部的特征值；

3）把所求得的特征值逐个代入方程组（1-3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基8,8.8下的坐标，这样，我们也就求出12n了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程（1-3）的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.(ii)如果x，1注：（i）如果x是A的属于特征值九的特征向量，则x一定是非零向量，且对任意的非零常数k丰0,kx(ii)如果x，1X都是A的属于特征值九的特征向量且当kx+kx丰0时21122kx+kx也是A的属于尢的特征项量.1122例已知pit］的线性变换3屮Cz+bt+ct2)=Qa+6b)+C-3a—5b》+C-3a—6b+c》2求屮的特征值与特征向量.解取P|t］的基1,t，12，可求得屮在该基下的矩阵为3_4 6 0_A=—3—50—3—61因为|XE—A=（X—1）2（X+2），所以A的特征值为九=九=1，九=-2.可求得A对应特征向量X=X=1的特征向量为（—2,1,0），（0,0,1）'；而对应特征值X=—2的特TOC\o"1-5"\h\z1 2 3征向量为（—1,1,1）•故屮的特征值为X=X=1，X=—2；对应特征值X=X=1的线1 2 3 1 2性无关特征向量为f（t）=—2+1，f（t）=12，全部特征向量为kf（t）+kf（t），121122（，k不全为零）；屮对应线性无关特征向量为f=—1+t+12，全部特征向量为1 2 3kfC）k丰0）3结束语由线性变换的特征值，特征向量的概念不难推出，求线性变换的特征值与特征向量可以转化为求矩阵的特征值与特征向量．线性变换的特征值实质上就是其对应矩阵的特征值，线性变换的特征向量实质上就是以对应矩阵的特征向量为坐标与以上的基进行组合．本文首先介绍了特征值与特征向量的概念及性质，接着介绍了特征值与特征向量的有关性质，并且特征值与特征向量的常用结论作了详细的介绍，重点介绍了利用矩阵的初等变矩阵换不仅给出了求齐次线性方程组基础解系的方法,同时给出了一种同步求解n阶方阵A的特征值与特征向量的方法.把一些比较复杂的问题转化到初等变换的问题上来解决，这种方法既直接又简便；特征值与特征向量是线性变换的重要知识点，可以利用它来证明矩阵是否可对角化，它们不仅在数学的各分支，如微分方程，差分方程中有重要应用，而且在其他科学领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用参考文献北京大学数学系，高等代数（第三版）[M].北京：高教出版社，2003.7.孙东升.《矩阵与变换》模块训练学生思维能力的几点做法[J].数学通报，2009,（10）：25