天体运动的专题

万有引力题型归纳〔1〕万有引力定律：宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.

公式:F=Gm1m2R2=GMmR(解题时，一般默认R为地球的半径，r为远离地面飞行的轨道半径)〔2〕应用万有引力定律分析天体的运动①根本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即F引=F向得：F=GMmr2=mv2当物体贴着地面飞行时，有GMmR2例1、火星的质量和半径分别约为地球的和，地球外表的重力加速度为g，那么火星外表的重力加速度约为(B)A.0.2gB.0.4gC.2.5【解析】考查万有引力定律.星球外表重力等于万有引力，即G＝mg，故火星外表的重力加速度与地球外表的重力加速度的比值＝0.4，故B正确.〔3〕天体的质量与密度计算：应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算.②天体质量M、密度ρ的估算:测出卫星绕天体匀速圆周运动的半径r和周期T，由GMmr2得到M=4π2例2、登月飞行器关闭发动机后在离月球外表112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min.月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度.(G＝6.67×10－11N•m2/kg2)【解析】根据牛顿第二定律有G从上式中消去飞行器质量m后可解得M＝＝eq\f(4×3.142×(1852×103)3,6.67×10－11×(7.23×103)2)kg＝7.2×1022kg根据密度公式有ρ＝eq\f(M,V)＝＝eq\f(3×7.2×1022,4×3.14×(1.74×106)3)kg/m3＝3.26×103kg/m3例3、天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N•m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(D)×103kg/m3B.5.6×103kg/m3C.1.1×104【解析】由ρ＝eq\f(M,V)知该行星的密度是地球密度的5.32倍.对近地卫星有，再结合ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3可解得地球的密度ρ＝＝5.6×103kg/m3，故行星的密度ρ′＝5.32×ρ＝2.96×104kg/m3，D正确.练习：1.科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t，假设万有引力常量为G，月球绕地球运动〔可视为匀速圆周运动〕的周期为T，光速为c，地球到月球的距离远大于它们的半径。那么可求出地球的质量为A．B．C．D．【解析】：由题意可知地月距离为r=ct/2，由G=mr解得地球质量M=，选项A正确。【答案】：A〔4〕卫星的绕行速度，角速度，周期与半径的关系：由GMmr2由GMmr由GMmr2加速度F=ma,得a=G〔5〕三种宇宙速度①第一宇宙速度:v1=7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.②第二宇宙速度〔脱离速度〕:v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.③第三宇宙速度〔逃逸速度〕:v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.例4、关于第一宇宙速度，以下说法不正确的选项是〔C〕A.第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度B.第一宇宙速度是人造地球卫星环绕运行的最大速度C.第一宇宙速度是地球同步卫星环绕运行的速度D.地球的第一宇宙速度由地球的质量和半径决定的练习；2.以下说法正确的选项是〔〕A．第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度B．第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度C．如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点D．地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的〔6〕地球同步卫星

所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度h=3g例5、我国发射的“神舟〞五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，以下判断正确的选项是(AD)A.飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力B.飞船的动能小于同步卫星的动能C.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径D.发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量例6、同步卫星距地心间距为r，运行速率为v1，加速度为a1.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球半径为R.第一宇宙速度为v2，那么以下比值正确的选项是()A.B.C.D.【解析】设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系，有：a1＝r，a2＝R，因ω1＝ω2故，那么选A正确.由万有引力定律有G，G，故，那么C选项正确.【答案】AC例7、右图是“嫦娥一号奔月〞示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭屡次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，以下说法正确的选项是()A.发射“嫦娥一号〞的速度必须到达第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力【解析】第三宇宙速度是指卫星脱离太阳的吸引，进入太空的最小速度；在绕月轨道上，由万有引力定律和牛顿运动定律得，卫星受到月球的万有引力与它到月球球心的距离的平方成反比，卫星质量m会约掉，所以卫星的周期与卫星的质量无关；在绕月轨道上，卫星的加速度指向月球球心，由牛顿第二定律知月球对卫星的吸引力大于地球对卫星的吸引力.故只选C.答案：C例8、某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，以下说法错误的选项是〔〕A．人造卫星的最小周期为2πB．卫星在距地面高度R处的绕行速度为C．卫星在距地面高度为R处的重力加速度为g/4D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少【解析】当卫星近地飞行时，周期最小，由GMmR2由黄金代换GM=gR2，得T=4π2Rg=2πRg，A对;由GMm(2R)2=mv22R,得v=GM练习：3.关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的选项是〔A〕A．轨道半径越大，速度越小，周期越长B．轨道半径越大，速度越大，周期越短C．轨道半径越大，速度越大，周期越长D．轨道半径越小，速度越小，周期越长4.两颗质量之比的人造地球卫星，只在万有引力的作用之下，环绕地球运转。如果它们的轨道半径之比，那么它们的动能之比为〔B〕A.8：1B.1：8C.2：1D.1：25.假设行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，那么由此可求出〔〕A．某行星的质量B．太阳的质量C．某行星的密度D．太阳的密度B【解析】根据万有引力充当行星的向心力，得GMm/r2＝m4π2r/T2，所以太阳的质量为M＝4π2r3／GT2.要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.根据行星绕太阳的运动，既不能求行星的质量也不能求行星的密度.6.两颗人造卫星A、B的质量之比mA∶mB=1∶2，轨道半径之比rA∶rB=1∶3，某一时刻它们的连线通过地心，那么此时它们的线速度之比vA∶vB=3:1，向心加速度之比aA∶aB=9:1，向心力之比FA∶FB=9:2。【解析】v=GMr,得vA∶vB=1rA:1rB;a=7.地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。假设某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其外表的高度是其半径的2.5倍，那么该行星的自转周期约为A．6小时B.12小时C.24小时D.36小时【解析】设地球半径为R1，某行星的半径为R2，那么地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度ρ2=ρ1/2。地球质量M1=ρ1·πR13，某行星的质量M2=ρ2·πR23，根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有，两式化简得T2=T1/2=12小时，选项B正确。【答案】B【点评】要注意卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r=卫星离地面的高度h+地球半径R。〔7〕卫星的超重和失重

“超重〞是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机〞中物体超重相同.“失重〞是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重〞〔因为重力提供向心力〕，此时，在卫星上的仪器，但凡制造原理与重力有关的均不能正常使用.例9、“神舟七号〞绕地球做匀速圆周运动的过程中，以下事件不可实现的是(B)A．航天员在轨道舱内能利用弹簧拉力器进行体能锻炼B．用天平称量物体的质量C．航天员出舱后，手中举起的五星红旗迎风飘扬D．从飞船舱外自由释放的伴飞小卫星与飞船的线速度相等例10、1957年10月4日,前苏联发射了世界上第一颗人造地球卫星以来,人类活动范围从陆地、海洋、大气层扩展到宇宙空间,宇宙空间成为人类的第四疆域,人类开展空间技术的最终目的是开发太空资源.(1)宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的航天飞机中,会处于完全失重的状态,以下说法正确的选项是(AC)A.宇航员仍受重力作用B.宇航员受力平衡C.重力正好为向心力D.宇航员不受任何力的作用练习：8.关于人造卫星及其中物体超重和失重问题，以下说法正确的选项是：〔AC〕A.在发射过程中向上加速时产生超重现象B.在降落过程中向下减速时产生失重现象C.进入轨道时作匀速圆周运动，产生完全失重现象，但仍受重力作用D.失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的〔8〕变轨问题例10、人造飞船首先进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆行轨道上，如下图，试处理下面几个问题〔地球的半径R=6370km，g=9.8m/s2〕：〔1〕飞船在椭圆轨道１上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动P地球Q轨道1P地球Q轨道1轨道2A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C．飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度D．飞船在轨道1上P的加速度大于在轨道2上P的加速度【解析】飞船在轨道1上运行，在近地点Q处飞船速度较大，相对于以近地点到地球球心的距离为半径的轨道做离心运动，说明飞船在该点所受的万有引力小于在该点所需的向心力；在远地点P处飞船的速度较小，相对于以远地点到地球球心为半径的轨道飞船做向心运动，说明飞船在该点所受的万有引力大于在该点所需的向心力；当飞船在轨道1上运动到P点时，飞船向后喷气使飞船加速，万有引力提供飞船绕地球做圆周运动的向心力缺乏，飞船将沿椭圆轨道做离心运动，运行到轨道2上，反之亦然，当飞船在轨道2上的p点向前喷气使飞船减速，万有引力提供向心力有余，飞船将做向心运动回到轨道1上，所以飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度；飞船运行到P点，不管在轨道1还是在轨道2上，所受的万有引力大小相等，且方向均于线速度垂直，故飞船在两轨道上的点加速度等大。答案BC〔做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者合外力缺乏以提供所需的向心力时，将做逐渐远离圆心的运动，此种运动叫“离心运动〞。〕〔向心运动：指物体做圆周运动时，提供的向心力大于所需要的向心力时物体所做靠近圆心的运动。〕〔2〕假设由于飞船的特殊需要，美国的一艘原来在圆轨道运行的飞船前往与之对接，那么飞船一定是A．从较低轨道上加速B．从较高轨道上加速C．从同一轨道上加速D．从任意轨道上加速【解析】飞船应从低圆规道上加速，做离心运动，由椭圆轨道运行到较高的圆轨道上与飞船对接。答案A例11．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送人同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如下图，，那么当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的选项是A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度【解析】对卫星来说，万有引力提供向心力，，得，，，而，即，，A不对B对。1轨道的Q点与2轨道的Q点为同一位置，加速度a相同。同理2轨道的P点与3轨道的P点a也相同，C不对D对。答案BD练习：9.“嫦娥一号〞探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球。如下图是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道。A点是2轨道的近地点，B点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7km/s，那么以下说法中正确的选项是()A．卫星在2轨道经过A点时的速率一定大于7．7km/sB．卫星在2轨道经过B点时的速率一定小于7．7km/sC．卫星在3轨道所具有的机械能小于2轨道所具有的机械能D．卫星在3轨道所具有的最大速率小于2轨道所具有的最大速率【解析】选A、B。卫星在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得GMmr2=mv12r卫星在2轨道A点做离心运动，那么有GMmr2<mv2A2r故v1<v2A选项A正确；卫星在2轨道B点做近心运动，那么有假设卫星在经过GMmr2>mv2B2rB点的圆轨道上运动，那么GMmrB2图4－3－110.如下图，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，以下图4－3－1A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的cD．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大11.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火。将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点〔如图〕，那么当卫星分别在1，2，3轨道上正常运行时，以下说法正确的选项是A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度【解析】由万有引力等于向心力可得，卫星轨道半径越小，环绕速度越大，角速度越大，卫星在轨道3上的速率小于在轨道1的速率，卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度，选项A错误B正确；卫星在轨道1上经过Q点时和它在轨道2上经过Q点时所受万有引力相等，加速度相等，选项C错误；卫星在轨道2上经过P点时和它在轨道3上经过P点时所受万有引力相等，加速度相等，选项D正确。【答案】BD〔9〕双子星问题1.两颗恒星均围绕共同的旋转中心(圆心)做匀速圆周运动。2.两恒星之间万有引力分别提供了两恒星的向心力，即两颗恒星受到的向心力大小相等。3.两颗恒星与旋转中心时