圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)高等教育

1/1圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)-高等教育

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其简单的问题变得简洁明白，中等学习程度的同学完全能够得心应手！?

定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

；22

|1ecos|

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1e2sin2|

|AB|（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos21

|AB|

H

.2

sin

H

；

1e2sin2

|AB|（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2sin21

|AB|

H

.2

cos

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

典题妙解

下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

x2y22

1，例1（06湖南文第21题）已知椭圆C1抛物线，（ym）2px（p＞0）

43

且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

（Ⅰ）当ABx轴时，求p，m的值，并推断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（Ⅱ）若p

4

且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.3

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

x2y2

1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆32

直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P.

（1）设P点的坐标为，证明：（x0，y0）（2）求四边形ABCD的面积的最小值.

x0y

0＜1.32

22

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线

分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点.已知||、

||、||成等差数列，且与同向.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

金教导睛

y2

x21的上焦点F交椭圆于A、B两点，则1.已知斜率为1的直线l过椭圆4|AB|=_________.

y2

1的左焦点F作倾斜角为的直线l交双曲线于A、B两点，则2.过双曲线x

63

2

|AB|=_________.

3.已知椭圆x2y20，过左焦点F作直线l交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.

2

2

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

4.已知抛物线y24px（p＞0），弦AB过焦点F，设|AB|m，△AOB的面积为S，

S2

求证：为定值.

m

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

y2

1上，F为椭圆在y轴正5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆x2

2

半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且0.求四边形

PQMN的面积的最大值和最小值.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

6.(07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP||FP|cos2为定值，并求此定值.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

7.点M与点F(0,2)的距离比它到直线l:y30的距离小1.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）经过点F且相互垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D.求四边形ACBD的最小面积.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

x2

y21的焦点相同，8.已知双曲线的左右焦点F1、F2与椭圆且以抛物线y22x的5

准线为其中一条准线.（1）求双曲线的方程；

（2）若经过焦点F2且相互垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D.求四边形ACBD

的面积的最小值.

1

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案

x2y22b2c

证明：设双曲线方程为221（a＞0，b＞0），通径H，离心率e，

aaab

弦AB所在的直线l的方程为yk（xc）（其中ktan，为直线l的倾斜角），其参数方程为

xctcos，

.（t为参数）

ytsin.

代入双曲线方程并整理得：（a2sin2b2cos2）t22b2ccostb40.由t的几何意义可得：

|AB||t1t2|

2t1t2）4t1t2

2b2ccos4b222）2

222

asinbcosasin2b2cos22ab2

2

|asin2b2cos2|2b2

a|1e2cos2|2b22

|1ecos2|

H

.22

|1ecos|

例1.解：（Ⅰ）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，m0，直线AB的方程为x1.

（1）（1，）从而点A的坐标为或.

3

232

点A在抛物线C2上，

99

2p.即p.

84

9

，0），该焦点不在直线AB上.16

（此时抛物线C2的焦点坐标为

（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知

2

.

x1）则直线AB的方程为ytan（.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

抛物线C2的对称轴ym平行于x轴，焦点在AB上，通径H2p

于是有

8

，离心率e1，3

H8

|AB|.22

sin（31cos）

2b21

3，离心率e.又AB过椭圆C1的右焦点，通径H

2aH12

|AB|.

|1e2cos2|4cos2

812

.

（31cos2）4cos2

12

tan.解之得：cos，7

2

在直线ytan

（x1）抛物线C2的焦点F（，m）

3

16

.mtan，从而m

33

当m

时，直线AB的方程为xy0；3

6

时，直线AB的方程为6xy603

当m

x2y2

1中，a3，b2，c1.例2.（1）证明：在32

F1PF290，O是F1F2的中点，

|OP|

122

|F1F2|c1.得x0y01.2

点P在圆x2y21上.

x2y2

1的内部.明显，圆xy1在椭圆32

2

2

xy

故00＜1.

32

（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由ACBD可知，直线AC的倾斜角

22

2

.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

32b24通径H，离心率e.

3a3

又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，于是

H4，

1e2cos23cos2

H4|AC|.2

3sin2

1e2cos（）

2|BD|

四边形ABCD的面积

1

|BD||AC|2144323cos23sin2

96.2

24sin2S

0，，sin22[0，1].

96S，4.

25

故四边形ABCD面积的最小值为

96.25

x2y2

例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为221（a＞0，b＞0）.

ab

|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，设|AB|m，公差为d，则|OA|md，

||md，

(md)2m2(md)2.即m22dmd2m2m22dmd2.d

m3m5m

.从而|OA|，|OB|.444

又设直线l1的倾斜角为，则AOB2.l1的方程为y

b

x.a

tan

b|AB|4.而tan2

tanAOB.a|OA|3

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

b

2tana4.

b31tan212a

b1

解之得：.

a2

2

b5

.e2

a2

（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则

2

.

cossin.而sin2

tan2

(1

)2

1tan21.1(1252

)cos21

5

.

通径H2b2a2bb

a

b.又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：|MN|H

1e2cos2

4.

即

b4.

1(

2)215

解得b3，从而a6.

所求的椭圆方程为

x2y2

369

1.1.解：a2,b1,c，离心率ec2b2a2

，通径Ha1，直线l的倾斜角

4

.

|AB|

H

1

1e2sin2

8

1(

)2(2)25

.22

2.解：a1,b,c2，离心率ec

2b2a2，通径H

a

6，直线的倾斜角6.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

|AB|

H

22

|1ecos|

6|122(

2)|2

3.

x2c2y21，a2,b1,c1，左焦点F(1,0)，离心率e3.解：，通径2a2

2b2

H2.

a

2b2

2，高|OF|c1，当直线l的斜率不存在时，lx轴，这时|AB|Ha

△AOB的面积S

12

.21

22

当直线l的斜率存在时，设直线l的倾斜角为，则其方程为ytan(x1)，即

tanxytan0

，原点O到直线AB的距离

d

|0t

a0nta|n|ta|n

si.n

2|se|ctan1

2

1(

22

)cos22

2222

.22

2cos1sin

|AB|

H

22

1ecos

12sin

.△AOB的面积S|AB|d2

21sin0＜＜，

sin＞0.从而1sin22sin.S

2sin2.

2sin2

当且仅当sin1，即

2

时，“=”号成立.故△AOB的最大面积为

2

.2

4.解：焦点为F(p,0)，通径H4p.

当直线AB的斜率不存在时，ABx轴，这时|AB|m4p，高|OF|p，△

AOB

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

的面积S

1

|AB||OF|2p2.2

S24p44p4

p3，是定值.mm4p

当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为ytan(xp)，即

tanxyptan0

，原点O到直线AB的距离

d

|ptan|tan21

p|tan|

psin.

|sec|

|AB|

H4p

.

sin2sin2

12p2

.△AOB的面积S|AB|d

2sin

S24p414p4sin23

.p22

msinmsin4p

S2

p3（p3为定值）

不论直线AB在什么位置，均有my2

1中，a2，b1，c1.5.解：在椭圆x2

2

1）由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，，且MNPQ.

如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角

2

.

2b22

2，离心率e通径H.于是有a2

|MN|

H

1e2sin2(

2

)

22

，2

2cos

|PQ|

H22

.222

1esin2sin

四边形PQMN的面积

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳

1

|MN||PQ|21222222cos22sin2

16.8sin22S

0，，sin22[0，1].

16S，2.

9

故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为

16

和2.9

6.（Ⅰ）解：2p8,p4，抛物线的焦点F的坐标为(0,2)，准线l的方程为x2.

（Ⅱ）证明：作ACl于C，FDAC于D.通径H2p8.则|AB|

H8

,|EF||FP|cos,|AD||AF|cos.

sin2sin2

|AF||AC||AD|p|AF|cos4.4

.|AF|

1cos

|EF||AF||AE||AF|

从而|FP|

1444cos|AB|21cossin2sin2

|EF|4

.cossin2

|FP||FP|cos2|FP|(1cos2)

故|FP||FP|cos2为定值，此定值为8.

42

2sin8.2

sin

7.解：（1）依据题意，点M与点F(0,2)的距离与它到直线l:y2的距离相等，

点M的轨迹是抛物线，点F(0,2)是它的焦点，直线l:y2是它的准线.

从而

p

2，p4.2

所求的点M的轨迹方程是x28y.

（2）两条相互垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在.如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为90.

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程快准稳