电场中的电介质

第5章静电场中的电介质一、有极分子及无极分子无极分子：分子正负电荷中心重合；CH+H+H+H+甲烷分子正负电荷中心重合§1电介质及其极化CH4CHHHH正电荷中心Pe分子电偶极矩水分子Pe负电荷中心HO+H++有极分子：分子正负电荷中心不重合。HCl..P+HClH2O...OHH+1.无极分子的位移极化无外电场时，分子正负电荷中心重合，介质不带电。e+二、介质的极化加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现诱导电偶极矩pe´fflE外pe´正电荷中心负电荷中心无外电场时，由于无极分子正负电荷中心重合，介质任何局部都不出现净电荷。加上外电场后，正负电荷中心分开在介质左右的两个端面上出现极化电荷层。E外++++++++++++++++++++++++++加上外电场后，正负电荷中心分开在介质左右的两个端面上出现极化电荷层。无外电场时，由于无极分子正负电荷中心重合，介质任何局部都不出现净电荷。外电场消失后，无极分子电矩取向不同，恢复原状,整个介质不带电2.有极分子的转向极化在此力矩作用下，使电矩方向转向和外电场方向一致。EMp=e×+peffE有极分子的电偶极矩在外电场中要受到一力矩作用。2.有极分子的转向极化在此力矩作用下，使电矩方向转向和外电场方向一致。p+effE有极分子的电偶极矩在外电场中要受到一力矩作用。EMp=e×无外电场时，有极分子电矩取向不同，整个介质不带电。++++++++++++++++++++加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，E外++++++++++++++++++++++++++E外无外电场时，有极分子电矩取向不同，整个介质不带电。加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，在介质左右两端面上出现极化电荷。外电场消失后，有极分子电矩取向不同，恢复原状,整个介质不带电。三、电极化强度PVΔΣ=peeΣp分子电矩的矢量和实验指出：ce电极化率P=ce0eE极化电荷面密度和电极化强度的关系〔考虑均匀介质情况〕qPnSdLσ′+σ′pqΣ=L′SLd=σpP=ΣVd=σ′qcosq=cosσ′Pn=P极化电荷面密度等于电极化强度在介质外表法向的投影=VdqcosSdLE介质中的合场强E0自由电荷的场强E极化电荷的场强´σE=ε0´´E0EE=´E0EE=+´P=ce0eEσ´=Pn=PE0E=Pε0E0=ceE§2电介质中的静电场=σσε0ε0´0E0=σε00+++++++++σσσσ++E0E´´´00EE0=ceEUΔdE=1+ce()=ε00σd=ce1+()0C=εrce1+εr=0CE=E0ce1+=εr1σε00σε0´σr11()=E=E0ce1+=E0ce1+dC=σS0ΔUce1+()ε0Sd==σσε0ε0´E0由前面已经得到相对介电常数与电极化率的关系极化电荷面密度与自由电荷面密度的关系§3有介质时的高斯定理描述真空静电场性质有场强环路定律和高斯定理，它们是：E.dl=Lò0E.dS=sòòqε0Σ下面来讨论有介质时环路定律和高斯定理的形式。一、有介质时的场强环路定律E0EE=+´有介质时的电场是由极化电荷和自由电荷共同产生的。极化电荷所激发的电场也是有势场，所以有：E.dl=Lò0此式说明，有介质时，场强环路定律仍然正确。在介质中的合场强E为：二、有介质时的高斯定理E.dS=sòòqε0ΣE.dS=sòòqε0ΣqΣ+´有介质时，上述高斯定律中的Σq应理解为所有电荷的代数和，既包括自由电荷，也包括极化电荷。所以由于极化电荷的的求解比较困难，所以设法从上式消去极化电荷，并用一个新的物理量来代替E。下面从平行板电容器的特例来寻找这一新的物理量。E.dS=sòòqε0ΣqΣ+´()1S1σ0ε0S2´σ=P.dS=sòòP.dSsòò2=PS2=S2´σ+++++++σσσσ++PE´´´+++++++++S1S200E.dSsòò()1S1σ0ε0S2´σ=P.dSsòò=S2´σ由上面得到：E.dSsòò1S1σ0ε0=P.dSsòòε01∴EPε0+D=电位移Dq0ε0=P.dSsòòε01E.dSsòò=Pε0+()q0整理后得到：E.dSsòò=Pε0+()q0EPε0+D=定义电位移矢量DD.dSsòò=q0∴有介质时的高斯定理：在介质中通过任一闭合曲面电位移通量，等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。EPε0+D=εrEε0=εE=D=εEP=ce0eE三、D、E、P三矢量之间的关系Eε0+=ce0eEε0+=ceE1()3.求此电容器之电容。2.求：UUAB；UUAB；[练习]一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为+dd12ε0εrBCA+++++D1D2EE12σσεr。D1D2,,EE12,；1.用高斯定理求：dd12ε0εrBCA+++++D1++++σσSσ+=+00DS=S1D=σ1D=dS.DdS上.DdS下.DdS侧.++sòòòòòòòòE=1Dε0εr1Dε01==σε0D=σ2σdd1ε0εrBCA+++++D2++++σS2D=dS.DdS上.DdS下.DdS侧.++sòòòòòòòò+=+00DdS上.2cos180oòòεεE=D20r2εε=0rσσS=DS=2SC=UUABσεε0ε0σσ=dd12+r+dd12ε0εrBCA+++++D1D2EE12σσεrε0=dd12+Sεε=ε0σdlACdlCB+0rσòò=UUABdlE.AC1dlE.CB2+òòE2εε=0rσE1=σε0真空高斯定理和介质中高斯定理的比较E.dS=qΣisòòε0真空中D.dSsòò=q0Σ介质中式中的既包括自由电荷也包括极化电荷qΣi式中的只包括自由电荷q0Σ放入介质时的E

线未放入介质时注意：因为介质外表有极化电荷，所以有E线起源于极化正电荷，也有E线终止于极化负电荷。极化后介质内部场强削弱，所以介质有部的E0线分屏蔽作用。放入介质时的D

线未放入介质时的D0线注意：因为介质中无自由电荷，所以D线是连续的。D线起源于自由正电荷或无穷远处终止于自由负电荷或无穷远处E线起源于任何正电荷或无穷远处终止于任何负电荷或无穷远处D

线和E

线的区别：例：金属球二、电容器之电容=επ4oR

§4电容一、孤立导体的电容R+++++++++o+QC=UUABQC=UQεπ4=RoQQC三、电容器之计算1.平行板电容器++++++dσ+σd=E=dε0SC=UUABQ=UUABdlE.ABò=EABdlòE=ε0σσ=ε0d=σSσε0dεOLRBRA+ABll2.圆柱形电容器rlC=UUABQπr2E=dS.Elsòò=UUABdlE.ABòεABπr20dr=RRòlπε0=Er2l=llε0ε0π2lnRAB=LR3.球形电容器ε=Eπr402Q=UUABdrE.RRABòεdrRRABπ40r2=QòR1R2AB+ε0QQ++++++++C=UUABQ=επ40)(RA1RB1Q=επ40RBRARBRAUUABEC讨论:1.电容计算之步骤：2.电容器之电容和电容器之结构，几何形状、尺寸有关。

3.电容器是构成各种电子电路的重要器件,也是电力工业中的一个重要设备。它的作用有整流、隔直、延时、滤波、分频及提高功率因数等。++++++εrdσ+ABσ实验证明:当极板间充满电介质时的电容是真空时的εr倍。设真空时电容为C0，充满介质时的电容为C那么：C=C0εr称为相对介电常数，或相对电容率εr4.电介质电容器在平行板电容器情况下C=C0εr=dε0Sεr=dSεε0εr=ε称ε为介电常数，或电容率。有介质时电容器的电容不仅和电容器的结构，几何形状、尺寸有关，还和极板间介质的介电常数有关。电介质的相对电容率和击穿场强电介质的相对电容率和击穿场强电介质相对电容率击穿场强真空1∞

空气1.000593×106纯水80——云母3.7~7.5(80~200)×106玻璃5~10(5~13)×106绝缘用瓷5.7~6.8(6~20)×106电容器纸3.7(16~40)×106钛酸钡103~1043×106

()12=AuBu2CWeε12=SddE()212=εE2V.12=εE2dS二、电场能量密度Wewe=V12=εE212=ED一、静电场的能量=WewedVVòòò=12εE2dVVòòò§5静电场的能量习题1半径为r1、r2(r1<r2)的两个同心导体球壳互相绝缘，现把+q的电荷量给予内球，求：〔1〕外球的电荷量及电势；〔2〕把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷量及电势；〔3〕然后把内球接地，内球的电荷量及外球的电势的改变(设内球离地球很远)。解：(1)由于静电感应，外球内外表电量为-q，外外表电量为+q(2)外球内外表电量仍为-q,外外表电量为零(3)设内球电量为q1,内球电势为零qr2U2e04p=0´U2==0+q1r1U1e04p=qr2e04pq1r2U外e04p=q外球的电势为：外球的电势为：=qr1q1r2q1r2U外e04p=q=ΔUU外U2r1r2e04p=q2r2r2e04pq22()=r2r2e04pq22r1外球的电势改变为：2.点电荷q=4.0×10-10C，处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1=2.0cm和R2=3.0cm，求：〔1〕导体球壳的电势；〔2〕离球心r=1.0cm处的电势；〔3〕把点电荷移开球心1.0cm后导体球壳的电势。=120(V)解：(1)qR2UR2e04p==9.0×109×4.0×10-103.0×10-2q+1R2Ure04p=qR1qr1×10-2×=+9.0×109×4×10-102×10-23×10-2111=300(V)(2)由静电感应和电势叠加原理(3)因不影响导体壳外外表电荷，所以电势与(1)相同。3.有直径为16cm及10cm的非常薄的两个铜制球壳，同心放置时，内球的电势为2700V，外球带有电荷量为8.0×10-9C，现把内球和外球接触，两球的电势各变化多少？解：设内球电势为U1，电量为q1，外球电势为U2，电量为q2q2+1R2U1e04p=q1R1q2R2U1e04p=q1R1=5.0×10-227009.0×1098.0×10-98.0×10-2=1.0×10-8(C)两球接触后，内球电荷q1全部移至外球壳，两球为等势体。q2+R2Ue04p=q1=2.03×103(V)ΔU内=2.7×1032.03×103=6.7×102(V)ΔU外=0外球电势不变。4.半径为R1=1.0cm的导体球，带有电荷q1=1.0×10-10C,球外有一个内、外半径分别为R2=3.0cm、R3=4.0cm的同心导体球壳，壳上带有电荷Q=11×10-10C,试计算：〔1〕两球的电势U1和U2；〔2〕用导线把球和壳联接在一起后U1和V2分别是多少？〔3〕假设外球接地，U1和U2为多少？=3.3×102(V)解：(1)内球电势为Q+q1+1R2U1e04p=q1R2q1R11×10-2=+9.0×1093×10-24×10-21×10-101×10-1012×10-10外球电势=2.7×102(V)Q+q1R3U2e04p=×4×10-2=9.0×10912×10-10´U2U1=Q+q1R3e04p=´=2.7×102(V)´U2=0´1U1e04p=q1R2q1R1´´=60(V)(2)联接后(3)外球接地内球电势5.三平行金属板A、B、C面积均为200cm2，A、B间相距4.0mm，A、C间相距2.0mm，B和C两板都接地。如果使A板带正电3.0×10-7C，求：〔1〕B、C板上感应电荷；〔2〕A板的电势。2mm4mmBAC解：设A板带电为q

=q1+q2，B、C两板的感应电荷分别为-q1及-q2。UA=UBUAUC=EABdABEACdACSe0=EABq1Se0=EACq2q1=q2EABEAC=dACdAB=12q1=1.0×10-7(C)

q2=2.0×10-7(C)

qB=-q1=-1.0×10-7(C)

qC=-q2=-2.0×10-7(C)

2mm4mmBAC-q1q1-q2q26.两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，另一个是空心的，电容是否相同?如果把地球看作半径为6400km的球形导体，试计算其电容。=7.1×10-4(F)解：两导体的电容相同CRe04p=地600×102

=9.0×109

地球的电容为：7.如下图，证明A、B间的总电容等于C2的条件是C2=0.618C1。C2C2C1AB1C2CAB++=C11C11()=C2+C1C12C2+C1CAB=()C2+C1C12C2+C1=C202=+C2C2C2C120.618=C2C1证：C2C2C1AB8.如图，C1=10mF，C2=5.0mF，C3=5.0mF。〔1〕求A、B间的电容：〔2〕在A、B间加上100V的电压，求C2上的电荷量和电压；〔3〕如果q被击穿，问C3上的电荷量和电压各是多少？

C1

C2

C3AB=10.0+5.0=15(mF)=+C3CABC12C3C12=15×515+5=3.75(mF)=+C3C3C12UAB×=55+15100=25(V)=Q2C2U2=5.0×10-6×25=1.25×10-4(C)解：=U2U12(2)+=C2C1C12(1)=100(V)=Q3C3U3=5.0×10-6×100=5.0×10-4(C)=U3UAB(3)9.一扁平的电介质板er=5垂直放在一均匀电场里，如果电介质外表上的极化电荷面密度为σ´=0.5C／m2，求：〔1〕电介质里的电极化强度和电位移；〔2〕介质板外的电位移；〔3〕介质板里和板外的场强。解：P´=s=0.5(C/m2)1Der=Per=4×54-1=0.67(C/m2)D=D´=0.67(C/m2)e0E=D´er=0.678.85×10-12×4=1.89×1010(V/m)e0E0=D=0.678.85×10-12=7.57×1010(V/m)10.一平板电容器〔极板面积为S间距为d〕中充满两种介质〔如图〕，设两种介质在极板间的面积比(S1/S2)=3，试计算其电容。如两电介质尺寸相同，电容又如何？e1e2解：设第一种介质所占面积为S1，第二种介质所占面积为S-S1。dC1e1=S1()dC2e2=SS1=+C1C2C+e1()de2=S1e2S2+e1()de2S34=C=S1S12当时=S1S34当时e1()de2S2=C+´两个电容器并联e1e211.平板电容器〔极板面积为S间距为d〕中间有两层厚度各为d1和d2(d1=d1+d1)、电容率各为e1和e2的电介质，试计算其电容。如d1=d2，那么电容又如何？e1e2解：相当于两个电容器串联d1C1e1=SC2=d2e2S+Ce1=e2Sd1d2e1e22==d1d2d´()+Ce1=e2Sde1e22假设e1e212.一平行板电容器的电容为100pF，极板的面积为100cm2，极板间充满相对电容率为5.4的云母电介质，当极板上电势差为50V时，求：〔1〕云母中的场强E；〔2〕电容器极板上的自由电荷；〔3〕云母介质面上的极化面电荷；=1.1×104(V/m)解：(1)dCe=SdCe=SUΔ=dEUΔ=CeSere0UΔ=CS50×100×10-12=5.4×8.85×10-12×100×10-4

=100×10-12×50=5.0×10-9(C)()=ser11S=()er11QS´=´sQQU=C(2)´()=ser11s(3)()=115.4×5×10-9=4.1×10-9(C)13.有两块平行板，面积各为100cm2，板上带有8.9×10-7C的等值异号电荷，两板间充以介电物质，介质内部电场强度为1.4×106V／m，求：〔1〕介质的相对电容率；〔2〕介质面上的极化面电荷。=7.2解：(1)Eere0=sSQere0=SEQere0=8.9×10-7=1.4×106×8.85×10-12×100×10-4

()=117.2×8.9×10-7=7.7×10-7(C)=()er11Q´Q(2)14.在一平行板电容器的两板上带有等值异号的电荷，两板间的距离为5.0mm，充以er=3的介质，介质中的电场强度为1.0×106V／m，求：〔1〕介质中的电位移矢量；〔2〕平板上的自由电荷密度；〔3〕介质中的极化强度；〔4〕介质面上的极化电荷面密度；〔5〕平行板上自由电荷及介质面上极化电荷所产生的那一局部电场强度。=3.0×8.85×10-12×1.0×106=2.7×10-5(C/m2)EDere0=解:3()=11×2.7×10-5=1.8×10-5(C/m2)=2.7×10-58.85×10-12=3.0×106(V/m)(2)=sD2.7×10-5(C/m2)==3.0×106-1.0×106

=2.0×106(V/m)(1)P=´()=ser11s(3)(4)=E0e0s(5)(6)=EE0E´15.在半径为R的金属球之外包有一层均匀介质层〔见图〕，外半径为R´设电介质的相对电容率为er，金属球的电荷量为Q，求：〔1〕介质层内、外的场强分布；〔2〕介质层内、外的电势分布；〔3〕金属球的电势。R´R解：(1)DdSsòò=Q.r24p=QDr2ere04p=QE内r2e04p=QE外>()rR´<r´R<R()()+rere04p=Qer1R´1∞=òr´E外dr.re04p=