2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练期中测试卷02(解析版)

期中测试卷02

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.若复数z满足z-（2+5i）=2i+3（i是虚数单位），则［在复平面内对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2i+3(2i+3)(2-5i)16-lli16II.

【解析】由z-（2+5i）=2i+3,所以一1

2+5i-(2+5i)(2-5i)-292929

所以1=居+葛「在复平面内对应的点是（2,2），位于第一象限.故选：A.

2.已知向量1=(-1,2),1=(3,1),c=(x,4),若伍-山或贝叱=

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

［解析］•2=(-1,2),5=(3,1).•.a-fe=(-4,l)

仅-5>D=TX+4=0,解得：x=l本题正确选项：A

rr

3.已知平面向量d,5满足愀+小|。T=2,则卜-24的值可能为（）

710

A.1B.2C.-D.—

33

【答案】D

【解析】因为忸+臼=卜-力|=2,

所以4时+4万+问=，_26万+忖，则=同°,

又卜_邛=同2_2万.5+好=4,则2同2+时=4,所以|司2=4_2同匕0,则同?42,

因此卜一2.=J司之一而石+咽?=yj\af+2\af+\6-S\af=J16-5时>瓜,

故ABC都不能取得，只有D选项能取得，故选：D.

4.已知圆台下底面的半径为2,高为2,母线长为石，则这个圆台的体积为（）

147147

A.—7iB.一式C.—7tD.—兀【答案】A

3253

【解析】设圆台上底面的半径为，，下底面半径为R,则有（石丫=（2-厅+22,

解得〃=1或r=3（舍去）.

圆台的体积为丫=^%力卜2+代+，火）=^乂万*2乂（22+12+2*1）=3万

故选：A.

5.如图，在矩形ABCO中，AB=2,AD=\,E为边OC的中点，F为8E的中点，则

UUULIIIU

AFAE-<）

【答案】B

【解析】以A为坐标原点，可建立如图所示平面.直角坐标系,

3

则A（0,0）,£（1,1）,F,:.AF=

2,2米3

:.AF-AE=-+-=2.

22

故选：B.

6.如图，在棱长为1的正方体A8CO-A与GR中，点P为线段AG上的动点，则下列说法

不正确的是（

A.BDLCPB.三棱锥C-8PD的体积为定值

C.平面PAC_L平面BDGD.8P+OP的最小值为百

【答案】D

【解析】对于A：连接AC,在正方体中易知：BD1AC,BD1A4,,ACHAA^A,

所以BD_L平面ACGA,

乂因为CPu平面ACG4,

所以3DLCP,故A正确；

对于B：由等体积得匕一硒,=%一2,=*5,此人的=gxgxlxlxl=\为定值，故B正确;

对于C：由8O_L平面ACGA，得由8£>_L平面PAC,

乂因为8Du平面BOG，

所以平面R4CJ•平面8。和，故C正确;

对于D：将等边△BAG与等边△巾©展开到一个平面上，

可知当8,P,。三点共线时，BP+DP有最小值，最小值为

=2*=而,故D不正确.

故选：D.

7.我国东汉

末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图"给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽

弦图"，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在

"赵爽弦图"中，若灰^色丽二瓦布=3前，则/==()

A

【答案】D

［解析］由题意即=而+方=册+:丽=册+（（丽+而）=及+1（_'|丽+丽），

25—«—«3—>—«16―-12—•

:.-BF=BC+-BABF=—BC+—BA

164f2525

—-16-12—

:.BF=—a+—b^：D

2525

8.如图，在棱长为2的正方体ABCO-ASGR中，点E、尸分别是棱BC,CC,的中点,

P是侧面BCG耳内一点，若AP〃平面AEF,则线段吊尸长度的取值范围是（）

逑A/5

必用B.C.，百

坐2及

D.

【答案】C

【解析】如下图所示,分别取棱8优，的中点“、N,连MN,BC、,

­：M,N,E,尸分别为所在棱的中点，则MN//BG，EFHBC、，

:.MN//EF,又MV（Z平面A",EFu平面AEF,

:.MNH^\AEF.

•：A\HNE,AA,=NE,

.•・四边形AENA为平行四边形，

:.AtN//AE,

又AN<Z平面A£U平面AEF,

AN〃平面AE尸，

又ANCMN=N,

平面AMN〃平面A".

■：P是侧面BCq内…点，且AP〃平面AEF,

..•点户必在线段MN上.

在41MM中，AM=〃目+4”=物+1=6

同理，在RrAA向N中，可得其8=石，

.•・AA1MN为等腰三角形.

当点尸为例N中点。时，\PA.MN,此时AP最短；点尸位于M、N处时，4尸最长.

\o=^\M2-OM2=^（Vs）2-等=乎,AM=AN=5

..•线段4尸长度的取值范围是三一,6.故选：C.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对

的得3分，有选错的得0分）

9.下列关于球体的说法正确的是（）（多选）

A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合

B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合

C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体

D.球的对称轴只有1条

【答案】BC

【解析】空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，

所以A错误，8正确；由球体的定义，知C正确；

球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以。错误.故选:BC.1O.如图，长方体

ABCO-ABCQ的底面是正方形，E是。。的中点.则（）

△B[EC为直角三角形

B.CE//A.B

C.直线BC与平面4EG所成角的正弦值为半

D.三棱锥G-BCR的外接球的表面积是正方形ABC。面积的6兀倍

【答案】ACD

【解析】不妨设朋=248=2,则B、E=g,EC=M,B1C=也,

因为8f2+曰:2=892,所以44£。为直角三角形，A正确；

因为A8与RC平行，所以CE与A8无法平行，B错误；

由选项A可知5ELEC,又EC=EG=正,CG=2,

所以ECJ.EC-

又B,£n£C,=E,所以EC,平面B,EC),

所以是直线8c与平面用EG所成角，

由国7=血,8《=石，所以411/67?田=£|=典,(：正确；

因为三棱锥C-BCA的外接球就是长方体AB8-ABCR的外接球,

所以三棱锥C-BCA的外接球半径R=寸土『演”=也,

22

三棱锥G-8CR的外接球的表面积为S=47x("y=6肛S“g,=1

所以三棱锥的外接球的表面积是正方形ABCD面积的6万倍，D正确，

故选：ACD.

11.正方体ABCD-ABCR的棱长为1,E,F,G分别为8C,CC,,8月的中点.则

G

4

A.直线。0与直线AF垂直B.直线AG与平面AEF平行

A

9

C.平面AE/截正方体所得的截面面积为gD.点C与点G到平面AE尸的距离相等

O

【答案】BC

【解析】对于A,因为。O〃C0,若。。J.AF,则GCLAF,从图中可以看出，GC与

反相交，但不垂直，所以A错误;

对于B,如图所示，取4G的中点N,连接AN、GN,则有GN〃EF,A,N//AE,

0CNCAN=N,EFr\AE=E,回平面AGN®平面AEF.

又回Afiu平面AfiQ,0AG回平面AEF，故选项B正确;

对于C,如图所示，连接。尸，RA,延长。尸，AE交于点S,

13E,F分别为BC,GC的中点，QEF//ADt,

0A,E、F、"四点共面，回截面即为梯形4EF0.

SCF=CE,S\CF2+CS2=CE2+CS2,BPFS2=ES2,SFS=ES

又D、F=AE,|3qF+FS=A£+ES即AS=AS=逐，A〃=0,团等腰团ADR的高/?=逑，

梯形4EFQ的高为g=乎，

团梯形AEFDt的面积为_L3/+AR）x”I（也+夜）x述=2,故选项C正确；

222248

对于D,假设C与G到平面4M的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面A£尸必过

CG的中点，

连接CG交EF于H,而“不是CG中点，则假设不成立，故D错.故选：BC.

12.在如图所示的三棱锥V—A8C中，已知AB=BC,Z.VAB=ZVAC=ZABC=90°,P

为线段VC的中点，则（）

A.尸B与AC垂直

B.PB与侬平行

C.点P到点A,B,C,丫的距离相等

D.PB与平面ABC所成的角大于NY84

【答案】AC

【解析】A.如图所示：

取AC的中点Q,连接PQ,8Q,因为P为中点，则

阀//窗，又因为NV4B=NV<4C=ZABC=90。，则平面ABC,所以尸QL平面ABC,

则PQ_LAC,乂AB=BC,则/C_L幽,&c6。=。，所以AC,平面PQB,

则AC_LPB，故正确；

B.由A知：VAMPQ,PQcPB=P,故错误：

C.因为WILBC,ZAfiC=90%VAoAB=A,所以8CL平面38,

则皮'_L仍，所以三角形3C,M8C是直角三角形，

由直角三角形中线定理知，点P到点A,B,C,V的距离相等，故正确；

D.由PQJ■平面ABC知：NPB。是尸8与平面45c所成的角，因为阁=-VA,BQ=—AB,

22

所以tanN取？=竺=亚竺=YltanN烟，即tanN%0<tanZES4,

BQ2AB2

因为/“，/皿,又^=13110在(0,^)递增，所以NPBQ<NVBA,故错误；

故选：AC

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

LIUUUUUUU

13.已知。4=化2),O8=(1,2A),OC=(1—N―1),且相异三点A、B、C共线，则实数

k=.

【答案)---

4

uuuUUUU11___

【解析】AB=OB-OA=(\-k,2k-2),AC=OC-OA={\-2A:,-3),

因为相异三点A、B、C共线，所以荏〃前，

则-3?(11)-(2H2)(l-2A)=0,解得或1=1,

当人=1时.，OA=OB<A、B重合，舍去，

故忆=-，，故答案为：

44

2

14.已知A4?C的面积为4,tanB=-,AB>AC,设例是边8c的中点，若AM=。，

则BC=.

【答案】4

【解析】•.•tanB=U得：sinB=2叵，COSB=M1

31313

S.=—acsinB=-ac---4,解得：ac=4x/13,①

“asc2213

△ABW中，利用余弦定理5=c?+±-2C&COSB=C2+土-虱3收=5②由①②可得

42413

砒=4而L=2Vi3(«=4

,/“解得：:或后，

c+—=17[c=2c=VI3

I4

-AB>AC,即c>b

当〃=2万,0=2时，b2=a2+c2-2accosB=32,得b=40，此时c<A,不成立，当

Q=4,C=JI5时，Z?2=a2+c2-2accosB=5»得b=布,此时c〉b,成立，故

BC\=6Z=4.

故答案为：4

15.已知正三棱柱A8C-44C内有4个半径为1的半球，若这4个半球的球面两两相切,

且其中3个半球的球心在该棱柱底面A8C上.则正三棱柱ABC-A4G侧面积的最小值为

【答案】4A/6+12A/2

【解析】4个半球的球面两两相切，当正三棱柱ABC-A4G侧面积最小时，上面有1个半

球，球心记作下面有3个半球，球心分别记作。2，Q，。4，点。2，。3，。4都在底

面A8C匕半径为1的圆。2，。3，0,分别与AABC的两条边相切，

可得A8=l+l+2BE=2+2x―!~^=2+2技

tan30

设AABC的中心为O,三棱锥。「。2。3。4是棱长为2的正四面体，。是。3。1的中点，

qr>=物-1=50]0=触口=当,OQ=b_（半『=半,

当正三棱柱ABC-AgG侧面积最小时，其高为。0，

所以正三棱柱ABC-ABC侧面积的最小值为3ABx0,0=476+12正.

故答案为：4«+12忘

16.三棱锥P—ABC中，PAL平面ABC,ABAC=—,AP=3,AB=2。Q是BC边

上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为（，则该三棱锥外接球的表面积为

【答案】57万

【解析】由题意，三棱锥P-45C中，P4L平面A8C,直线PQ与平面A3C所成的角为，,

PA3/7

如图所示，贝人而，=旃=3，且sin。的最大值是土，

PQPQ2

所以(PQ濡=2/，所以AQ的最小值是6,即A到BC的距离为G，

所以AQL8C,因为AB=2G，在R/AA8Q中可得N4BC=J,即可得3c=6,

6

取A48C的外接圆圆心为O',作OO'//PA,

所以二—”0=2r，解得r=2g,所以O'A=2j^,

sm120

取//为上4的中点，所以O"=O'A=26,P”=|,

由勾股定理得OP=R=>JPH2+OH2=叵,

2

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积是5=MW=4乃x(叵y=57n.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.己知复数z=(l+ai)(l+i)+2+4i(ac/?).

(1)若z在复平面中所对应的点在直线x-y=0上，求”的值；

(2)求|z-l|的取值范围.

【解析】(1)化简得z=(l+ai)(l+i)+2+4i=(3—a)+3+5»,所以z在复平面中所对应的

点的坐标为(3—。,。+5),在直线x-y=0上，所以3-。-(。+5)=0,得a=—l.

(2)|z-l|=|(2-4)+(a+5川="(2-4)2+(a+5>=6/+6a+29,因为aeR,

R2a2+6a+29>y,所以|z-l|=血标+6〃+29W孚,所以上一1|的取值范围为

18.如图，四棱锥P-ABC。中，侧面PAO是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面

A8CO是ZABC=60。的菱形，M为PC的中点.

(1)在棱PB上是否存在一点。，使得QM〃平面

PA。？若存在，指出点。的位置并证明；若不存在，请说明理由;

(2)求点。到平面R4"的距离.

【解析】(1)存在，且。为PB的中点.

过M作。M//8C交PB于0,在菱形ABC。中有AD//8C,则。M//A。,

乂。Ma面小。，ADu面必£>,即。何〃平面PAO,

团存在Q,使得QM〃平面PA。，且此时。为尸8的中点.

(2)过P作尸E_LAD于E,连接CE,AC,如下图所示：

团侧面皿)是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底

面ABCD是ZABC=60°的菱形,

0324。三回。。且。£：_1_4),ZPEC=-,而AOIPE=E,即CE_L面PAO,

2

CE

M为PC的中点：AMLPC,DMLPC,且M到面PA。的距离,

2

国PE=CE=6,PC=dPE°+CE2=®AM=、痴_(当2=巫,

V22

=

团VD-PAM=Kvf-PADC,且S；•AM=~~~~,SWAD=~PE-AD=5/3,

乙，/4乙

=；；CE，S』AO,即=.

0D到平面PAM的距离为马叵.

5

19.一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其内部有一个高为xcm的内接圆柱.

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.【解析】（1）圆锥的母

线长为V62+22=2V10（cm），

团圆锥的侧面积£=打x2x2M=4而1（cn?）.

（2）该几何体的轴截面如图所示.

r6—x

设圆柱的底面半径为“，由题意，知丁

回圆柱的侧面积邑=2万次=葛（一/+64=—,[。-3）2-9],

回当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6乃cmt

20.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是“，b,c,且acos0=bsinA.

2

⑴求8；

出若445。为锐角三角形，且6=6,求AABC周长的取值范围.

［解析］⑴由acosy=ftsinA及正弦定理得sinAcosy=sinBsinA,

.BBB.

小攵sinAcos—=2sin—cos—sinA,

222

5

在AABC中，0<A<7TrOvBv乃，所以sinAwO,cos—±0

2

可得sin。；：，而0<日<g,故日=£即B=g.

2222263

2R=a=c=b=&=2

⑵由正弦定理的sinAsinCsinBG得c=2sinA,Z?=2sinB,

~2

因为3=[,则A+C==,C--A

333