2023年高考全国乙卷数学(文)真题（答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

文科数学

一、选择题

|2f2i3

1.)

A.1B.2C.小D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由题意首先化简2f2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2f寄212i121,

则|2i22i3||12L|二邪.

故选：C.

集合M

UQ46,NQJ6）,则

A.B.Q1,4,6,8c.12468D.U

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得6N的值，然后计算MON

即可.

【详解】由题意可得6N248，则"'U

u

故选：A.

3如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积（）

B.26C.28D.30

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【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体ABCDAMP"一二"

中，，

I

点H,I,J,K为所在棱上靠近点B,C,D,A的三等分点，s"''…

为所在棱的中点，

iiii

则三视图所对应的几何体为长方体ABCDA|B|CP|去掉长方体"""j"'"i之后所得的几何体，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：22242321130.

故选：D.

4在ABC中，内角AB,C的对边分别是a,hc,若acosBbcosAc,且,则B()

5

32

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角

形内角和定理可得A的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC,

即

整理可得sinBcosA0,由于BQn,

据此可得cosAQA

2

nn3n

则BnACJi——

2510

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故选：c.

vpx

a已知f(x)是偶函数，则2()

eax1

A.2B.1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

xxa1x

【详解】因为fX二J为偶函数，则fxfx-______1^-X-e-0-

eleaxie1eax1

又因为x不恒为0,可得e'ea,x0，即e'ea1x,

.,1a1,miqaz.

则miXa1X,BP

故选：D.

6正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则ECED()

A.小B.3C.2#D.5

【答案】B

【解析】

【分析】方法「以ARAD为基底向量表示EC,ED,再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以AB,AD为基底向量，可知［ABADI2,ABAD0,

LUUTuurUJUI'।uuruuurumruuruuur>uuruuur

则ECEBBC-ABAD,EDEAAD-ABAD,

22

uuuruuriuuruuuriuturuuuriuuruuur

所以ECED-ABAD-ABAD-AB2AD2143

224

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E1,0,C2,2,D0,2，可得ECJ2,ED\2

所以ECED143；

方法三：由题意可得：EDECJ5,CD2,

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5543

在CDE中，由余弦定理可得cosDEC

2小疵5

所以EC

故选：B.

AEBx

7.设0为平面坐标系的坐标原点，在区域X2/4内随机取一点A,则直线0A的倾斜角不

大于d的概率为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域川“/4表示以00,0圆心，外圆半径R2,内圆半径r1的圆环,

则直线0A的倾斜角不大于鼻部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角M0N」，

44

JI

9_

结合对称性可得所求概率11.

2n4

故选：C.

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&函数fXx3ax2存在3个零点，则a的取值范围是（）

A.,2B.,3C.413。

D.

【答案】B

【解析】

【分析】写出f⑨3x2a,并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】f（x）x3ax2,则f⑨3x2

若fx要存在3个零点，则fx要存在极大值和极小值，则a<0,

令f⑨0,解得x

且当x时，f⑨0,

当x

故f

若fx要存在3个零点，则,即,解得a3,

故选:B.

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛

同学抽到不同主题概率为（）

521

A.-B.-C.1D.

6323

【答案】A

【解析】

【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率

【详解】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636种，

若甲、乙抽到的主题不同，则共有A；30种,

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则其概率为吧

366

故选：A.

、Ji2nJT2n

10.已知函数f(x)sin(x)在区间石，至单调递增，直线x一和X—yfX

63为函数的图像

5n

的两条对称轴，则f)

12(

£D.®

A.我B.C.y

2222

【答案】D

【解析】

上RJT即可得到答案.

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入X

12

n2兀

【详解】因为f(x)sin(x)在区间单调递增'

T2况JTJI2Ji

所以——,且0,则Tn,w——2,

5T62T

」时,JI

当XfX取得最小值，则2-2kn—,kZ,

662

5n5n

则2kn--,kZ,不妨取k0,则fxsin2x

6T

5n5n也，

则fsin

32T2

故选：1).

H.已知实数为yxy)

满足xy4x2y40,则

的最大值是(

C.1'3y/2D.7

【答案】C

【解析】

【分析】法一：令xyk,利用判别式法即可；法二：通过整理得22yI29,利用三角换元

法即可，法三：整理出圆的方程，设xyk,利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.

【详解】法一：令xyk,贝ijxky

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代入原式化简得2y22k6yk24k40

因为存在实数y,则0,即

化简得k22k170,解得1372k1372,4k40

Xy的最大值是3花1,

故

法二:x2y24x2y40,整理得x22yI29,

2•iQ2兀

y3sm1-qM

令X3cos2,，其中,

则Xy3cos3sin1火2cos—,

，11119nJI7

，所以~r，则v2冗，即——y取得最大值i,

44444时,

法三：由x?y24x2y40可得(x2)2(yD29,

设Xyk,则圆心到直线xyk的距离d，J，3

解得13^/2k1372

故选：c.

2

12设A,B为双曲线x2L-1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A.L1B.(-1,2)C.1314

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得kk9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断;

AB

对于C：结合双曲线的渐近线分析判断

【详解】设A'X,B出丫2，则AB的中点M

yiy2

可得k、B———L,k

XIX2XIX2XiX2

2

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x2或1

1

gv2

因为A,B在双曲线上,则,,两式相减得X；X2二一10,

2yl29

4-t1

9

„2J2

X2

所以kk229

ABX1至

，&A-Z*rV/4\>z

对于选项A：可得kUAB9,则，

9x8

联立方程2y2b消去y得72x2272x730,

xV

此时2722472732880,

所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；

a95

对于选项B：可得k2心一，则AB:y-x—,

222

95

y—x—

22

联立方程2，消去y得45x2245x610,

x2L1

9

此时245244561445160,

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得k3kAB3AB:y3x

,贝I

由双曲线方程可得“A，M'则AB:y3x为双曲线的渐近线,

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

9Q7

对于选项D：k4,kAB—,则AB:y—x—,

97

y一x一

44

联立方程2，消去y得63x2126x193。，

x2—1

9

此时12624631930,故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确;

故选：D.

二、填空题

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13.己知点A1石池物线C：y2Px上，则A到c的准线的距离为r

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x最后利

4

用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

2

【详解】由题意可得：J耳2p1,则j"，抛物线的方程为y25x,

559

准线方程为x丁，点A到C的准线的距离为1

444

9

故答案为：

4

ji1

14若Q1，tan•—,则________.

22

【答案】®

5

【解析】

【分析】根据同角三角关系求sin,进而可得结果

JT

【详解】因为0,-,则j

2

又因为tan型--1，则cos2sin,

COS2

^^或sin赵（舍去）

且cos2sin24sin2sin25sin21,解得sin

55

所以sincossin2sinsin£

5

故答案为：YL

5

X3y1

15.若x,y满足约束条件X2y9,则z2xy

丫7的最大值为

3x

【答案】8

【解析】

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【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z2xy,移项得y2xz

x3y1x5

联立有。0,解得。，

x2y9y2

设°,显然平移直线y2xzz

使其经过点A,此时截距最小，则最大,

代入得z8,

故答案为：&

16.已知点S,ABC均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC,则

SA.

【答案】2

【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】设ABC的外接圆圆心为'，半径为‘，

2r_L2/_

贝sinACB小,可得r用，

T

设三棱锥SABC的外接球球心为0,连接wu],则OA200J-SA

2,

1i

因为200；ow，即43ISA2,解得SA2.

故答案为：2

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c

Ot

B

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一般

把有关元素“补形’成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b?+c2求解；

(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位

置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(郅求解.

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质

相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的

伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为X,yi12,10.试验结果如下:

ii

试验序号i12345678910

伸缩率为545533551522575544541568596548

伸缩率y.536527543530560533522550576536

记4%niL2,10，记z,z,,z的样本平均数为2,样本方差为s2.

1210

(1)求，,S2;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

z，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否

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则不认为有显著提高）

【答案】（1）飞ILi61；

（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】

【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出x,y,再得到所有的4值，最后计算出方差即可;

（2）根据公式计算出的值，和已比较大小即可.

【小问1详解】

545533551522575544541568596548

*552.3,

10

536527543530560533522550576536

y541.3,

10

*y5523541.311,

%$的值分别为：9,6,8a15^11,19,18s20,12

(9ll)2(6ll)2(8ll)2(8ll)2(15ll)20(1911)，(18ll)2(20ll)2(12ll)2

故s?61

10

【小问2详解】

由（1）知:彳11,,2^Ay[24A,故有了

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高

18.记S“为等差数列4na11,S40

的前项和，已知

210

（1）求4的通项公式;

（2）求数列|d"|的前n项和T“.

【答案】(Da152n

14nn2,n7

(2)T

n214n98n8

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解a,d,进而可得结果;

（2）先求S.讨论4的符号去绝对值，结合S”运算求解

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【小问1详解】

设等差数列的公差为d,

马ad11

1adJ11a13

由题意可得109,皿即。,8,解得

sc10a,----d402ai9ndd2,

io2

所以a0132n1152n，

【小问2详解】

因为Snlb2,14nn2,

2

令a152n0,解得n—,且nN*,

2

2

则a00,可得1；aS14nn

当n7时,同闻同i叫n

当n8时,则a0,可得Ta

nhlhl也7

22

g221Sn21477214nnn14n98：

14nn2,n7

综上所述：T

n214n9&n8

19.如图，在三棱锥PABC中，ABBC,AB2,BC2#,PBPC邪,BP,AP,BC的

中点分别为D,E,0,点F在AC上，BFAO.

(1)求证：EF〃平面ADO；

(2)若POF120，求三棱锥PABC的体积.

【答案】(1)证明见解析

3

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【解析】

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)作出并证明PM为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积

【小问1详解】

连接DE,OF,设AFtAC,则BFBAAF(1t)BAtBC,->

AOBA2BCBFAO

则BFAO[(1t)BAtBC](BA|BC)(t1)BA2IBC24(t1)4t0,

解得t1,则F为AC的中点，由D,E,0,F分别为PB,PA,BC,AC

2的中点，

于是DE//AB,DE；AB,OF//AB,OF1AB,BpDE//OF,DEOF,

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EFDO,又EF平面ADO,DO平面ADO,

所以EF//平面ADO.

【小问2详解】

过P作PM垂直F0的延长线交于点M,

因为……"是八中点，所以poBC,

在RtaPBO中，PB而BO|BCV2,

所以P0.PB?0B29=2,

因为ABBC,OF//AB,

所以0FBC,又PO0F0,PO,OF平面POF,

所以BC平面POF,又PM平面POF,

所以BCPM,又BCFM0,BC,FM平面ABC

所以PM平面ABC,

即三棱锥P'ABC的高为PM,

因为POF120,所以POM60,

当事,

所以PMPOsin602

2

1

又SAABC-ABBC22&2也,

22

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20.已知函数fX-aIn1x

X

A处的切线方程.

⑴当a1时，求曲线yfx

fx在Q

(2)若函数a

单调递增,求的取值范围.

………ln2xyln20

【答案】(1)

(2)a|a

2

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后

求解切线方程即可;

2

(2)原问题即fx0在区间上恒成立，整理变形可得gxaxxxllnxlO在

M然后分类讨论aQa10aL三种情况即可求得实数a的取值范围

区间上恒成立,

22

【小问1详解】

1

当a1时,fx1Inx1x1,

x

1JJ1A1

则fx11

X2xxf

据此可得f1Qf1ln2，

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11匕AyL匕V

所以函数在If1嫡切线方程为y0ln2x1,即

【小问2详解】

由函数的解析式可得fX=InX1-a」一A,

xxx1

满足题意时fx0在区间“上恒成立

I,11U2

令—7Inx1—a----，则x1Inx1xax0

XXX1,

令gx=ax?xx1Inx1gx0在区间M

,原问题等价于上恒成立，

则gx2axInx1,

比八,一上千乙v,inX1uBAVu

当a。时，由于，故，gx幽间

上单调递减,

此时gxg00,不合题意；

令hxgx2axInx1,则hx2a——,

x1

当a2a1时，由于二一1,所以"A"""在区间”上单调递增，

2x1

即gX越间"上单调递增，

所以8人7V:8人在区间QgXg00

上单调递增，，满足题意

当0a上时，由hx2a—0可得x=°-1,

2x12a

当x时，hxQhx在区间0,-J-1上单调递减，即gx

2a2a单调递减，

注意到g00,故当x时，gxgOOgx单调递减，

2a,

由于8故当XQ7T-1gxg00

2a时，，不合题意.

1

综上可知:实数a得取值范围是aa—

2,

【点睛】方法点睛:

（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元

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(2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上fx0(或fx0)恒成立.

②函数在区间上存在单调区间，实际上就是■A1或AV)在该区间上存在解集.

21.已知椭圆C:4与Kab0)的离心率是近，点”‘在。

a2卜3上.

(1)求C的方程；

(2)过点23的直线交。于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的

中点为定点.

X2

【答案】(1)二

----1

94

(2)证明见详解

【解析】

【分析】(1)根据题意列式求解a,he,进而可得结果;

(2)设直线PQ的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证''2',为定值即可.

【小问1详解】

b2a3

由题意可得a2b2c2,解得b

cc

e近

a3

x2

所以椭圆方程为二—1

94

【小问2详解】

由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:ykx23Px,y,Q

x,y2

12

ykx23

2

联立方程V2X2，消去y得：9x2k3x16k次0

——1

94

则△64k22<32&14k29K次1728k0,解得k0,

2

8k2k316k3k

可得看4--------,xx

4k29----4k29

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因为A20，则直线AP：yx2

Xi2

令X解得y—即M0,

xi2

2

同理可得N,

2

2yi2y2

则xi2T"k*23k豆23

2xi2x22

四助次不％

43<323*22kxjX24<342k3

*2¥2xx2xx4

12I2

32kq3k8k4k3尔3

4k294k2942k3IQ8

16k23k16k2k336

-----------------------------------4

4k-94k29

切以纸取rHTJ十KTE/hAA

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值;

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关;

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也可令系数等于零，得出定值;

(3)得出结论.

【选修4-4】(10分)

22在直角坐标系xOy中，以坐标原点-—xC,

为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程

,曲线cx2cos

为2sin—为参数，一

2

42'y2sin2).

(1)写出G的直角坐标方程;

(2)若直线yxmCm

既与G没有公共点，也与没有公共点,求的取值范围.

2

【答案】(1)X

2

产12lxQI,y12

⑵，024

【解析】

【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意％y的取值范围;