【高考数学试卷解析】2021年新高考2卷数学解析版

2021年新高考2卷数学解析版

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-l|<l},则ADB=

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【参考解析1]易知5={x[04x<2},所以An8={l,2},故选B.

【参考解析2】代入排除法(可以作为口算检验法哦)

显然x=—1不满足集合故排除含有x=-1的AD；

显然x=2均满足，故排除不含有x=2的C,故选B.

2.(2+2zXl-2z)=

A.—2+4zB.—2—4zC.6+2iD.6—2i

【参考解析】(2+2*1—2。=6-2人故选D

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，A4',BB',CC,是桁，相邻桁的水平

距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中OR,CC-

BB1,是举，OD、,DCt,CB,,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

也=0.5,g=匕，也=公，丛=幺，已知勺，女,，以成公差为0」的等

OD、DC、CB,'BA,123

差数列，且直线。4的斜率为0.725,则%

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【参考解析】

因为是比值问题，不妨设OD]=DC,=CB[=BAt=l,

所以DD{=0.5,CCX=&],BB[=k2,AAI=k3,

因为直线OA的斜率为0.725，所以tan。=阴+阴+/+即=072s,

DD]x4

即%+4:女।+0.5_O.7250女§+&+尢=2.4=>3k2=2.4=>k2=0.8,

所以23=0.9,故选D.

4.已知向量1=(3,4),B=(l,0),c=a+tb,若值可=«Q,则实数r=

A.—6B.—5C,5D.6

【参考解析】

易知c=(3+f,4),

1*1为(a,3=(尻，，所以cos(a,c)=cos(b,，==1；(；彳),

解得r=5,故选C.

5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻,

则不同排列方式有

A12种A24种C.36种D48种

【参考解析1】先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有

用国=24种.

【参考解析2】

正难则反，考虑丙丁相邻，然后减去甲在最两端且丙丁相邻的即可，

故为A*-C；用耳=48-24=24种，故选B

6.若sin(a+/7)+cos(a+p)=2V5

A.tan(a-/?)=1B.tan(a+/?)=lC.tan(<z-尸)=-lD.tan(«+=

【参考解析1】

看到这种题目，第一思路就是一般特殊思想.

令a=0,则有sin'+cos尸=2行cos工cos/?ntan夕=1,故排除AD.

4

令/?=0,则有sina+cosa=0=tana=—1,故排除B.

所以选C.

但是，上面的解法适用范围不是很大，所以这题如果你只学特殊方法，不学一般方法，

那么可能会害了你哦.

【参考解析2】

因为sin(a+⑶+cos(a+/?)=2Qcos(a+7)sin(3,

所以有sin(a+⑶+cos(a+⑶=2(cosa-sina)sin0,

即

sinecos?+cosasinQ+cosacos£-sinasin户=2cosasin用一2sinasin(3

即sinczcos/7-cosasin/7+cosacos/7+sin«sin4=0,

即5皿(口一2)+8S(<2-4)=0=>1211(£-月)=-1,故选C.

【参考解析3】

因为sin(a+p)+cos(a+0)=2A/^COS(a+——)sinp,

4

所以asin(a+B+^~)=2A/^COS(a+^L)sin0,

44

BPsin(Cl+8=2cos(a+-^-)sinp,

所以sin(acosp+sinpcos(Q=2cos(a+-^)sinp,

4

所以sin(acosp-sinpcos(Q=0,

所以sin(aB)=°，所以a+-^--P=knfkwZ,

所以a-S=Z兀」L,所以tan(a-p)=-1.

4

故选：C.

【点评点睛】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题

的关键是公式的灵活应用，属于中档题.

7.已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为3m和4/，其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为

A1004B.128万C.144万D.192〃

【考点考法】本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用.

【参考解析】印象中成都三诊好像考过一个类似的

B

由上图所示，在等边三角形中，由定理易知琢=」二。，

所以=3gx也=3,AO,=4A/3X—=4,

33

在RTADOO?中，有R?=32+(0。2)2,①

在R7A4OO1中，有A?=42+(00)2,②

而易知+。。2=1,③

联立①②③解得=—3,

(对，你没看错，就是负值，这个不代表解错了哦，而是说明球心在平面ABC的下方)

所以R2=42+(_3)2=25,

所以5表=4加?2=]004.故选A.

【参考解析2】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为二^—=3,下

_2sin60

底面所在平面截球所得圆的半径为—如图，

2sin60

Ai

设球的半径为R,则轴截面中由几何知识可得JR2_32+JR2_42=1，解得R=5,

该球的表面积为4nR2=4nX25=100m

故选：A.

8.若函数/(尤)的定义域为H,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/⑴=1,则

22

")=

*=1

A-38.-2C.OD.1

【思路引导】先根据题意求得函数/(x)的周期为6,再计算一个周期内的每个函数值,

由此可得解.

【参考解析】

抽象函数赋值法，这种题目肯定二话不说，开始赋值，而且求和符号，选项的值又很

小，所以大概率与周期有关.

令X=1,y=0,则有/⑴+/(1)=/(l)/(o)n/(0)=2,

令y=l,则有/(x+i)+/(x_i)=/(x)n/(x+i)=/(x)_/(x_l),到这儿基

本已经大功告成了，只需要算即可.

所以/⑵=/⑴-/(。)=-1，

/(3)=/(2)-/(1)=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-1,

人5)=八4)一/(3)=1，

/(6)=/(5)-/(4)=2=/(0),

人7)=〃6)-m=1=/(1)，

到这儿就可以宣判周期T=6，

(其实利用函数关系递推证明周期也不难，建议大家自行动手推推哦.)

而一个周期的函数值刚好正负抵消为0,

224

所以之的)=2>(。=-3.故选A

2=1&=1

想了下，还是补充周期推导过程：

因为f(x+1)=f(x)-/(X-1),

：.f(x+2)=f(x+1)-f(JC),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),

：.f(x+3)=-/(x),则/(x+6)=-f(x+3)=f(x),

：.f(x)的周期为6,

【点评点睛】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中

档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数/(x)=sin(2x+e)(O<e<i)的图象关于点(菖,0)对称，则

A/(x)在单调递减

冗111

有两个极值点

1PE

C.直线％=是曲线y=/(x)的一条对称轴

D直线y=1—x是曲线y=/(x)的一条切线

【答案速递】AD

【考点考法】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对

称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.

【参考解析】

依题有2x驯+e=k»=>e=k%一号卫，

33

27r

又因为0<9(万，所以/=合-,

故/(x)=sinf2x+—Y

先画出正弦函数图象,

选项A：当（°，：］］时，2工+—1£，由图知/（x）在（o,彳啜）单调递减,

故A对；

元WTT…C2万715%

选项B：时，2元H---G

129~12~35F

由正弦函数图象知/（X）在（-］，书）有1个极值点；

故B错；

选项C：由于2X葛+与=3%,故直线尤=葛不是/（X）的对称轴;

故C错；

选项D：令易知f'（x）-2cosf2x+j,4'/'（x）=-lncos（2x+与）=

所以有2x+272r=27r+2Qr,或2尤+27'c=空47r+2七r.

3333

冗

解得工=%"或%=—+%〃，keZ,

3

A

令k=。,则易知此时切线方程为y=5--x,

故D对.

综上，选AD

10.已知。为坐标原点，过抛物线。：丁2=2242>0）的焦点厂的直线与。交于4,B

两点，点4在第一象限，点M（p,O）,若则

A直线45的斜率为2痛B|0耳=|0月

C.|A@>4。可D.ZOAM+Z.OBM<180°

【答案速递】ACD

【考点考法】本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。

【思路引导】由已知可得A的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得2点坐标，然后逐一

分析四个选项得答案.

【参考解析1】

—+p3

选项4：设月0中点为N,则X.=XN=2万—=子，

所以£=2〃匕=2,•普=善,

[7

因为VA>0，所以以=工-/7，故kAB=2娓,

故A对；

选项B：7-^—7+T-^-7=—=>—~-----1-^—7--=>IBFI--P-XB+—=>XB.

\AF\p3p\BF\p116Z23

42

所以立=2p4=2p《=誓，

722

所以|OB|=月+

故B错；

25

选项C:|AB|=xA+xB+p=—p>2p=4|OF|.

故C对;

选项D：由选项A,B知A

--——>3

所以0408=——p1<0（这个常考结论可以考虑记哦）

4

所以NA08为钝角;

—►11

又MAMB=—」p2<0,

所以NAMS为钝角，

所以NOAM+NOBM<180°,

故D对；

综上，选ACD

【参考解析2】

如图，

'：F(R,0),M(p,0),且|AQ=|4M|,(跄，遍P)，

242

由抛物线焦点弦的性质可得X「XC=R3则XC=R，则8(R,-返R),

AA

A〃口ARccc

•0年餐看蛔,故A正确;

42

^_=Vrp,\OF\=^-,\OB\^\OF],故B错误;

网阴=晋岩中^^>2°=4|。仪，故C正确;

|OA|2二誓，|OB|2=¥，|AM|2二察，|阴|2二挈，

||2=625PI)

1Aoi144

：|OAF+|O8|2<HB|2,|AiW|2+|BiW|2<|AB|2,

ZAOB,N4W6均为钝角，可得NOAM+/。8M<180°,故。正确.

故选：ACD.

【点评点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

11.如图，四边形ABCD为正方形，EDmABCD,FBI/ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥£一ABC,E-ACF,£-A8C的体积分别为匕，匕，匕，则

A.匕=2匕6.匕=乂。.匕=乂+匕D2匕=3匕

【答案速递】CD

【考点考法】本题主要考查三棱锥的体积，属于基础题.

【参考解析1】

设AB=ED=2FB=2，则匕=9x2X2=',7,=1x2X1=-.

x33z33

连结BD交4c于M，连结EM、FM.

则FM=V5，EM=V6，EF=3，

故S=i-^-V6=—，

人2vv2

&=3s△瓯XAC=2,V3=Vl+V2，2V3=3Vl

故选CD.

【思路引导2】利用等体积法，先求出几何体的体积V,再求出三棱锥E-ACQ,F-ABC

的体积口、V2,V3=V-Vi-V2,可得力、於、丫3之间的关系.

【参考解析2】

设AB=ED=2FB=2,

•..EQ，平面ABCQ,，|££)|为四棱锥E-A8C£>的高，

•：FB//ED,二尸身为三棱锥F-A3C的高，

•.•平面ADE〃平面FBC,；.点、E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，

即三棱锥E-FBC的高=|。。=2,

几何体的体积

V=VE-ABCD+VE-FBC+VE-ABF=—XSABCDX|£Z)|+AXS^FBCX|DC|+—XS/\ABFX|AB|

333

=4,

S^ACD\ED\

Vi=Axx=A,V2=AXSAABCX|FB|=^,%=yz-0-/=2.

3333

故C、。正确，A、B错误.

故选：CD.

【参考解析3】

【点评点睛】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键.

12.若实数x,y满足Y+>2-孙=1,则

Ax+yW1B.x+y>-2C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案速递】BC

【考点考法】本题考查三角恒等变换与正弦函数的值域.利用正余弦函数表示x，y,

代入到x+y,xz+y2，再利用三角函数的性质判断选项即可

【参考解析1]

由x2+y2—xy=l得（x—1）2+（程y）?=1

x—2=COS^x=?sin0+cos0

令,*sine飞二手的

故x+y=V3sin0+cos。=2sin（04-e[—2,2]，故力错，B对；

x2+y2=（理sin。4-cos0）2+（学sin。）？

V3.142.r„吟[4「2

=——sin26*——cos2，+—=—sin|26---|+—e—,2

3333（6j313_

故C对，D错.

综上，选BC

【参考解析2】

解：（成都吴其建）

令z=7n+7i,y=m—n,o?+娟一工3=1=>2ma+2n2—mJ+ni=1,即m2+3/=1

n.

m=coso,n=-rszrwQ

N+y=2zn=2850W[-2,2]

x2^y2=2m?+2n2=2—6n24-2n2=2—4n242

综上，选B,C

【参考解析3】

⑹冠(内苏卜”*年(X十月核"’硬

取""］混班船但Xpo2,4微

FX、尸斗，会答'，烧户”2,c复

取久二点,*-本海统4但'*五"双_

［於，厘BC.-

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.随机变量X服从正态分布N(2,CT2),若P(2<X<2.5)=0.36,则

P(X>2.5)=.

【答案速递】0.14

【考点考法】本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用.

【参考解析】

由题意可知，P(X>2)=0.5，

故P(X>2.S)=P(Jf>2)-P(2<X<Z5)=0.14

14.曲线y=lnW经过坐标原点的两条切线的方程分别为,.

xX

【答案速递】y=—,y=--.

ee

【考点考法】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点,

求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题.

【参考解析】

当x>0时，点(XiJnxi)Qi>0)上的切线为，一加打=-

若该切线经过原点，则Inxi-1=()，解得x=e，

此的切线方程为y=l.

当x<0时，点(x2Jn(-x2))(r2<0)上的切线为y-ln(-x2)=^(x-x2)-

若该切线经过原点，则ln(-x2)-l=0，解得x=-fi.

此时切线方程为y=-1.

15.设点4(一2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=。对称的直线为/,已知/与圆

C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围为.

【答案速递】弓弓］

【考点考法】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属

于中档题.

【参考解析】

：“为kjiB=>

所以AB关于直线y=a的对称直线为(3—Q)X—益+2Q=0»

所以C，整理可得层一解得:•

.y4比+<3—a%)z’611<1+3403,2

22

16.已知直线/与椭圆乙+二=1在第一象限交于A,B两点,/与x轴y轴分别相交

于M,N两点、,且|岫=|八附，|MN|=2jL则直线/的方程为

【答案速递】x+V2y-272=0

【考点考法】本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。

【思路引导1】设A（xi,yi）,B（X2,y2）,线段A8的中点为E,可得koE*kAis=—~—

xl+x2

'2，1=-1,设直线/的方程为：y=kx+m,%<0,机>0,M(-也，0),N(0,

Xn-X,2k

〃z）,可得E（-a,也），k0E=-k,进而得出&,再利用[MN]=2近，解得，w,即

2k2

可得出/的方程.

【参考解析1】

设A（XI,y\）,B（X2,”），线段AB的中点为E,

2222

由3+21=1%"

6363

相减可得:1

2

22

则叱瘀=上出口_=铛=-1,

xl+x2x2-xlx|-Xj2

设直线/的方程为：y=kx+m,AV0,"2>0,M(一见0),N(0,m),

k

/.E(-koE=-k,

2k2

-k・k=-A,解得k=-YA,

22

I""22

・・,[MN]=2F，・••吗+m2=2%,化为：^L.+,n2=12.

Vk2k2

/.3/n2=12,zn>0,解得m=2.

・・・/的方程为y=-返a:+2,即x+42y-272=0,

2

故答案为：x+My-2M=0.

【参考解析2,3]

弊一八成都昊其建；

设AB中点E的坐标为(叽川.则Af(2m,O),N(O.2n)

.nn

3嬴m

由中点弦的性质知.ktckuL—=­-jr=»m2=2n:.又JW+4n2=12=>m=>/2,n=1

nr6

・•・H投MN：+y=l=>x+V2y-2V今=0

解二♦成鼻吴其建)

A(yHcosa,\!3sina),B[\[Qcosli,ylZsinfi)

由|AM|=|NB|知.AB两点在某一反比例函数的图形I:

即irin2a=sin2flna+H=].

j=做吗fI=码c-f叫=_七，又由l&WI=26nON=2

yj6(cosp-cosa)y/6(siTUI-COSa)yj2

:.直找AW:y=--^=-z+2nH+\[2y—25/2=0

【参考解析4】

解：设公的中点为尸，•・•|必|=3即，，尸为MV的中点*

・・•卬|=24..,.设M2bcosaO).M0.2jJsine).P(JJ8saWsine)."

23i

又/,5在椭圆■+上，；•A■打，左”=一一二一一，即~

63"0’62

273sinQsind1.1八&

—j=-------x-=-------=—=tan-夕=-=tana=—中

2\Zicos6V3cos^222

则=-tane=-------

则/的方程为:2.73x2-+五y-2五=0"

V6

【参考解析5】

k（）EXkf^N=----7=~-,k（）E=—kMN〉0.=k，MN=——.

a~22

OE=LMN=5OH=0EH=\,（）N=2.

2

所以.的方程为），=-叵什2,即x+我厂2a=0

2

【点评点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知｛%｝为等差数列，也,｝为公比为2的等比数列，且的-仇=%—仇=仇一处.

（1）证明：.=.；

（2）求集合｛的求=%,+%,14m+500｝中元素个数.

【参考解析】

（1）设等差数列｛%｝公差为d

由—%=%—已，知%+d—2bl=a1-y-2d—故＜£=2br

」卜口2-^2=b4-川+d—2bl—8b1一（ft1~F

故ai+d—2bi=4d—（Qi+3d）;故%+d—2br=d—整理得％=%得证.

fc-1

（今由（1）知d=2br=2a^由与=0m+%知：瓦・2=at4-（m—1）■<i+%

即瓦•2Al=打+(m—1)-261+瓦，即2Al=2m

因为IM500，故2V2&T<1000，解得2MArM10，

故集合｛上出土=%+%,1=mM500｝中元素的个数为9个.

【参考解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数

问题，属于中档题.

【细节纠错】高中数学互助群群友：IIELUO

18.(12分)

记AABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,以a,b,c为边长的三个

右

正三角形的面积分别为1,S3,且S「S2+S3=m，sin8=-1.

(1)求AA6C的面积；

(2)若sinAsinC=---,求b.

3

【思路引导】本题考查利用正余弦定理解三角形

(D利用余弦定理与正三角形的面积求得℃继而利用面积公式求解

(④利用正弦定理进行变形，即可求解

【参考解析】

(1)；边长为a的正三角形的面积为，a2，

二Si-S2+S3=，卬2一炉+/)=，，即KCCOSB=1.

由sinB=2得：cosB=—>ac=—^―=—>

33co&B4

成54Aar="——X—X—=—

"BC22438

(2)由正弦定理得：上-=上.===^-=房=?，故b=.sinB=2.

''sin2Bsin.4sinCsin^sanC且422

19.(12分)

在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样

本数据频率分布直方图.

八组距

0.006-

0.002--

0.001-

0102030405060708090年龄（岁）

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄；(同一组数据用该区间的中点值作代表)

(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的

人口数占该地区总人口数的16%,从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间［40,50),

求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).

【参考解析】

(1)平均年龄

x=(5X0.0Q1+15X0.002+25X0.0124-35X0.0174-45X0.023+55X0.020+

65X0.017+75X0.006+85X0.002)X10=47.%

(2＞设4=(一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},则

P⑷=1-P(4)=1-(0.0014-0.002+0.006+0.002)X10=l-0.11=0.89

(学设B=1任选一人年龄位于区间［40,50)卜C=(任选一人患这种疾病卜

则由条件概率公式，得

【参考解析】本题考查了平均数，概率的求法，考查频率分布直方图、条件概率等知识.

20.(12分)

如图，P。是三棱锥P—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E为P3的中点.

(1)证明：OE〃平面PAC：

(2)若ZA8O=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE-6正余

弦值.

【参考解析】

(1)法一：连接04、OB，

因为P。是三棱锥P—ABC的高，所以PO1平面4BC，所以POJ_O4PO±OB

所以NP04=4。8=90。，乂PA=PB，P0=P0-所以△P04三△P0B，所以

0A=0B

作4B中点D，连接。£>、DE，则有0DJ.4B，XAB±4C所以0D〃4C，

乂因为0D仁平面P4C，ACu平面JMC，所以浮面PAG

乂D、E分别为48、PJ9的中点，所以，在21BP4中，DE//PA

又因为DE笈平面P4,P4u平面P4&所以DE//平面PAG

乂OD、DEu平面ODE，ODHDE=D>所以平面0DE"平面P4C，

又0Eu¥面0DE，所以0E〃平面P4C;

法二:

（1）连接。4、OB，

因为P0是三棱锥P-4BC的高，所以PO1平面4BG所以P。1.04POL0B，

所以NP04=4。8=90，又PA=PB，PO=P。，所以△P04三△POB，

所以04=0B，又4B14C，在Rt/4BF，。为BF中点，

延长B。，交4c于F，连接PF，

所以在4PBF中，。、E分别为BF、PJ3的中点，所以EO//PF，

因为E0U平面P4C，PFu平面P4C，所以E。//平面P4c

（刀法一：过点D作DF〃OP，以DB为*轴，D。为y轴，DF为z轴.

又480=480=30。，所以00=2，DB=2小

所以P（O,Z可，B（2依0,0）4（-2佰0,0），E（V5，W）,

设4C=a，则C（一2，5,a,0）

平面4EB的法向量设为名=（XQ%,ZI），直线4B的方向向量可设为五=（L0,0），

直线DPu平面4EB，直线DP的方向向量为亍=（0,2$

麒二:所以既工=。’

所以*1=0，设％=3,则4=—2,所以若=（0二—2）;

平面4EC的法向量设为福=（*2,2,Z2），而=（0,《0），荏=（W5，W）

像葭所以｛温，+M所以…设…则1,

所以证=（Go,—6）;

所以cos<nj>>—??=—I20==—>

12局卜局I后乂后13^13

二面角C-4E-B的平面角为0‘则加""』5=捺

所以二面角C-4E-B的正弦值为意

法二：（3过点A作4F//0P，以AB为x轴，AC为y轴，4F为z轴

因为PO=3，PA=5)由(1)04=OB=4，

又N4B0=4BO=30°，所以，AB=46所以P(2VXza,B(4V3,0,0)>

4(0,0,0)-E(3VXL：),设4C=a，则。(040)，

平面4EB的法向量设为芯=(礼九/1)，AB=(473,0,0)'近=(3^,L，

像曙所以院:"二。

所以*!=0设4=—2、则以=3,

所以％=（0万一2）;

，「面4EC的法向量设为芯=（；0①,4C=（0,a,0）14E=（3^，W）

（AC-n^=0所以产2=0

（荏•芭=0,（3V3x24-y24-^z2=0,

所以>2=0,设*2=g，则Z2=-6，所以每=（Go,-6）；

所以cos<布’福>=第嵩=益由=盘=等

二面角C—4£—B的平面角为0，则sine=Vl—CQS26=4,

13

所以二面角C一4E-B的正弦值为U.

13

【参考解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有

一定的难度.

21.（12分）

22

设双曲线三一与=1（。>0/>0）的右焦点为网2,0）,渐近线方程为y=±JIr.

ab~

（1）求。的方程；

（2）经过/的直线与C的渐近线分别交于A,B两点，点尸（刃,必），。（々,必）在。

上，且％>9>0，y>0・过P且斜率为-6的直线与过。且斜率为6的直线交

于点从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个成立：

①M在AB上；②PQ〃AB；③AM=|BM.

【参考解析】

（1）由题意可得已=0,（。+昭=2,故a=l，b=y/3

因此C的方程为二一H=L

3

（今设直线PQ的方程为尸=fcx+m（fc^0），

将直线PQ的方程代入C的方程得（3—k2）^2—2krm—m2—3=0'

则7kmm2+3

*1+x2=寸时2=一疗

*1一*2=疮不石尸石芭=

3-k2

不段点M的坐标为（XM，M），则P”-yi=一炽仙_必)

(

WM->2=V5XM-X2)

两式相减，得力—力=2小XM—心（X]4-*2＞而

以一力=31+"0—3+m)=kg-x2)

故=k&_x2)+取Qi+x2)>解得广妈

两式相加,得2yM—(7i+力)=隹(*1一*2>而

yi+y2=(丘14-m)+(fcc2+m)=k(xt+x2)4-2m-故

2yu=kg4-x2)+V5&-x2)+2m，解得y”=把=I

因此，点M的轨迹为直线y=，x，其中立为直线PQ的斜率.

若选择①②一

设直线48的方程为y=k（x—2），并设A的坐标为（芍1y0,B的坐标为（出,%）.

则犀激2k2y/3k

以—4^^5

同理可得“备为一露

此国以+*8=^^，+y»=

"Vir=k(Xu—2)

而点M的坐标满足,3，

UM=

29_J+«H„_6A_y+y

解得Xjw一-二九一臼一三A'B

故M为4B的中点，GP|M4|=\MB\

若选择①®

当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(Z。)，此时用不在直线'=："上，矛盾•

故直线4B的斜率存在，设直线AB的方程为y=p(x—2)伽#0)，

并设4的坐标为(芍1M0，B的坐标为

＞A=P^-2)解得三力=嚓

则

同理可得“斋外=-醇

此时以=Mgy__2P2―办七加_6P

2耳y«一_丁一F2-^

由丁,点M司时在直线y=江上，故6p=g・2p2,解得女=p.因此PQ//AB.

若选择②③

设直线48的方程为＞=々(％—2)，并设A的坐标为(4,%)，B的坐标为(如,州).

贝鸣二覆一"解得.当”喘

同理可得”=品，XB=-震，

设AB的中点为C@c,")，则々=华=器，"=空=髭・

由于|M4|=|MB|,故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线＞一九=-i(x-xc)±.

将该直线与y=：x联立，解得以=芸=牝，＞"=5三=%，

即点M恰为AB中点，故点而在直线4B上.

【参考解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，

考查开放探究能力，属于压轴题.

22.（12分）

已知函数f(x)=xe,vc-ex.

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x>0时，/(%)<-1,求实数a的取值范围;

111

(3)设〃wN",证明:>ln(〃+l)