安徽省蚌埠市育人中学2023年高三数学理月考试卷含解析

安徽省蚌埠市育人中学2023年高三数学理月考试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1____4

L已知非负实数号『满足则x+i的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

C

2.（10）已知三棱柱忿。-44。的6个顶点都在球0^1球面上若=3,AC=4,

ABLAC.A^^n,则球吮半径为

3^13

A.~2~B.2而C.~2

D.入伍

参考答案：

C

3.如图，点。为坐标原点，点4U）,若函数（a>0,且<i，l）及尸=1«8.工

（b>0,且。，1）的图象与线段Qi分别交于点”，N,且“，N恰好是线段口的两

个三等分点，则"，。满足（）.

A.a<b<lB.b<a<lc.4>cr>l

D.a>i>l

参考答案:

A

由图象可以知道，函数均为减函数，

所以0<6<1,

...点Q为坐标原点，点4I),...直线。<为，=工，

...〉=«•经过点M,则它的反函数y=l«8・x也经过点”,

又(i>0,且的图象经过点N,

根据对数函数的图象和性质可知：九

故选A.

4.在正方体检co-45GA中，瓦尸分别为棱4hCG的中点,则在空间中与三条

直线AA-班•CD都相交的直线()

A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条

参考答案：

答案：D

解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。

在EF上任意取一点M,直线4A与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1

个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直

线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：

2222

孑+^^l(a>b>0)今-9=i

5.已知椭圆「b”，双曲线a'b”和抛物线y'2px(p>0)的离心率

分别为日、e2>e3,则()

A.eie2>e：<B.eie2=e3C.eie2<e：iD.ee'e：］

参考答案:

C

【考点】K4：椭圆的简单性质；K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质.

【分析】根据题意先分别表示出e”已和e3,然后求得ee的取值范围，检验选项中的结

论即可.

【解答】解：依题意可知e】二a,e2=a,e3=l

"-b2"+b2J］上J.

.\eie2=a?a=Va4<1,A,B,D不正确.

故选C.

6.下列命题中，真命题是()

3X€R.sin2(-^-)+cos2(-^-)=4-

A.QJJJ

B.?x£(0,n),sinx>cosx

3€2

XoXo+Xo

cR,

D.?xG(0,+8),e">x+l

参考答案：

D

【考点】21：特称命题；2H：全称命题.

【专题】2A：探究型；35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑.

【分析】根据三角函数相关概念，可判断A,B,利用配方法，可判断C；构造函数求导,

可判断D.

【解答】解：S1n2(y)+cos2(j)=l故人是假命题；

7T

当*£(0,4］时，sinxWcosx,故B是假命题；

VxER,x'+x>~

4,故C是假命题；

令f(x)=e"-x-1,贝ijf'(x)=ex-1,

当XW(0,+8)时，广(X)>0,则f(x)为增函数,

故f(x)>f(0)=0,

即?xe(0,+8),es>x+l,

故选：D

参考答案：

【知识点】函数的图像.B9

【答案解析】D解析：定义域2'2关于原点对称，因为

/(-x)=-2x+tanx=-(2x-tanx)=-/(*),所以函数为定义域内的奇函数，故排除

B,C,

n/升)2/rn

x=_y-=—tan->A0

令3,则13133，排除A,故选C.

【思路点拨】先利用函数的奇偶性排除B,C,再利用函数的值排除A即可.

8.关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面ot、P，有下列四个命题：

①若m||a,n|IB且a|IB，则m||n；

②若m||a,n邛且al。，则m||n；

③若m?a,n?P且alp,则mln；

④若mla,nip且aip,则mln.

其中假命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

参考答案：

C

略

9.已知双曲线回回的离心率为凶，则凶的渐近线方程为（）

回回回国

（A）」（B）U（C）二（D）二

参考答案：

C

略

io.已知网、耳是两条不同的直线，a、6是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

A,若加工且掰_Lx,则aJ•尸B.若加4%〃〃尸，且州〃力，则

all

c.若mLa,nil且州_L”，则a，,D.若mijnll且用力”，

则a〃尸

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

II.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面

半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.

参考答案:

4

【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题.

【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可.

4322

【解答】解：设球半径为,r,则由3V,*+V水斗枝可得3X3M兀r+九rx8=兀rx6r,

解得r=4.

故答案为：4

12.对于下列命题：①在△ABC中，若皿乂一加四,则△A8C为等腰三角形；②已知

〃，b,c是ZkABC的三边长，若a・2,67,.・司则△ABC有两组解；③设

°川201丁2<，—.2丁012月，一.侬20丁12<,则④将函数A?叫MV图象向左

平移'个单位，得到函数"‘'"一+3图象其中正确命题的序号是.

参考答案:

③④

4+8/

①2独•仙加，贝以4■龙，或24+2B・，，."・8,或2,所以△/比为等腰三角

形或直角三角形，故此命题错；②由正弦定理知藐百,

bsinA25.2012石,2<W

:.仙B•丁显然无解，故此命题错；③°・皿丁•仙丁・亍,

&・旧华CT皿华-ng一忑

332,33,.\a>b>c；

④…限♦加卜伞示分2M3局,正确

13.等比数列⑸｝的前n项和为S.,已知S”2sz,3s3成等差数列，则瓜｝的公比

为.

参考答案：

~3

【考点】等比数列的性质.

【分析】先根据等差中项可知4s*SI+3S3,利用等比数列的求和公式用a和q分别表示出

Si,S?和S”代入即可求得q.

【解答】解：•.•等比数列｛aj的前n项和为S“，己知答2s2,3s3成等差数列,

二3n=aiq"',又4sz=Si+3s3,即4(ai+a1q)=ai+3(ai+aiq+aq),

_1

解q.

i

故答案为石

14.已知函数75)=*+3/(2"，令”/(2),

则二项式5,展开式中常数项是第项.

参考答案：

5

y=-!-s»r+—OBxfxe[o»—])

15.函数221I2”的单调递增区间是.

参考答案：

149

------+-------+------

16.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=l,则工+一.p二v+"+'的最小值

为.

参考答案：

18

17.某几何体的三视图如下图所示，其左视图为正三角形，则该几何体的表面积为

（俯视图）p

参考答案:

24+2市

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A,B,C三所大学的自主招生.若每位学

生只能申请其中一所大学，目申请其中任何一所大学是等可能的.

（1）求恰有2人申请A大学的概率；

（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）.

参考答案：

（1）记"恰有2人申请A大学”为事件A,

/、C,:X2:248

P(A)=-=E=^-

答：恰有2人申请A大学的概率

（2）X的所有可能值为1,2,3.。

i::

_CXA3+3XAs_42_14

P（X=2）~~81—27,

,、CrXAs3364

P(X=3)

X的概率分布列为：。

1Q2-3。

1144

PC-P—PT

27279

所以X的数学期望E（X）=1X2+2X总+3X9会

19.（本小题满分12分）

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC

过椭圆中心0,且“一"■•,\BC\=2\AC\.

（1）求椭圆E的方程；

⑵在椭圆E上是否存点°,使得|@『一3『=2?

若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由.

(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点尸，作Oo'T'的两条切线,

切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为相、〃，证明：3一为定

值.

参考答案:

解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长1=2,则A(2,0),

W+Z=l

设椭圆E的方程为4y------------------1分

由椭圆的对称性知|OC1=|O8|又：AC8c=0,\BC\=2\AC\

J.ACLBC,|OC|=|AC|.♦.△40C为等腰直角三角形，

.•.点C的坐标为(1,1),点8的坐标为(一1,-1),----------------------3分

将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得一不

-1

・••所求的椭圆E的方程为44-...................................................4分

(2)解法一：设在椭圆E上存在点Q,使得1。『一1胡|’-2,设夜。,儿)，则

可

+UTo-2y*=6/+2yo-2=1

即点。在直线如+了-2=0上，.........................................6分

...点。即直线>十/-2二°与椭圆后的交点，

22

…1A(-.0)(-,0)

•.•直线”+尸-2二°过点3,而点椭圆3在椭圆E的内部，

满足条件的点Q存在，且有两个.--------------------------------------8分

解法二：设在椭圆E上存在点Q,使得1磔「一10<|'-2,设。.鼻)，则

一|以『=&+叶式外+lfTA-2yf'=6耳+2凡-2=1

即3。**2=0------①--------------------------------------6分

又•.•点。在椭圆E上，.•M+3,T=O.---------------②

由①式得比=23。代入②式并整理得：7«—9%+2=0,__③

•••方程③的根判别式A=81-56=25>0,

二.方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个..........8分

(3)解法一：设点用。，乂)，山m、N是。。的切点知，±MPfON±AP,

：.O.M、P、N四点在同一圆上，-----------------------------9分

且圆的直径为OP,则圆心为6'重乙

e功“，一少=更长

其方程为224-------------------10分

即/t/一¥-皿=0―④

即点M、N满足方程④，又点、M、N都在。。上,

J，4

：.M.N坐标也满足方程。0J7-3-------------⑤

4

tr+jUr=-

⑤-④得直线MN的方程为r"3,--------------------------11分

4

H=----

,令x=0得3鼻，

,又点尸在椭圆E上,

V.即白T二定值.12分

y

J=—―=-^,

解法二：设点史无勇入”（巧，影A则JJ5--------9分

，-力=*<L巧4M+jyr=-,

直线PM的方程为办化简得3...............④

4

x^x«jyr=-,

同理可得直线PN的方程为3--------------⑤----------------10分

4

v?+Ayj=-

（

4

把P点的坐标代入④、⑤得I3

4

«»jyr=-

••.直线MN的方程为r3,...........................................................11分

44

m=­n=

令，=0•得3。，令x=0得3鼻，

,_4

••."一3|»|''一3|1,又点P在椭圆E上，

f—f+X—

/.3iw3»,即3m7/4=定值.-------------------------------12分

x=14-/cDsa

《

20.在直角坐标系xO），中，直线/的参数方程为1产=2+，64c为参数，O4acir）,

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

/一6℃066-叩—。+21=0,已知直线/与曲线c交于不同的两点A,B.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵设P(L2),求I网24■网的取值范围.

参考答案：

(1)直线M的普通方程为**a-yma-g1a♦2cosa=0曲线C的直角坐标方程为

/+炉一8-盯+21-。(2)电％]

【分析】

(1)消去参数可得直线।的普通方程，利用工二夕立国色丁二,而e可以化成直角坐标方程；

(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..

不=1Hcosax»a=sin<zi/casasm4Z

<<

【详解】解：(1)因为口=2Hrina,所以卜Bsa=2a>saH&iaBsa,两式相

减可得

直线’的普通方程为da-jrawa-riaa+2cma=0

因为工二/COS0y=psnO

所以曲线C的直角坐标方程L+V-&-町+21・9.

(2)将直线J的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,

整理得关于工的方程：^-4(™a♦cosaX14=0.

因为直线I与曲线C有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为小右,

则4W=4(sina+aBa),±=4

并且A二】6(G・a・<x»a)2-16-32CnaoKa>0,

一0<a<—

注意到0«a<“，解得2.

因为直线1的参数方程为标准形式，所以根据参数上的几何意义，

有『二4?=16(?inaicosa)2-8

-16sm2ai-8,

因为°"<为所以而加w((Ul,16弱加+配偎24]

因此I尸川',口『的取值范围是他24]

【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化,

利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.

/(x)=sin0x+sm~|

21.(本小题满分12分)设函数'I2AxeR.

=工

(1)若0一万，求/(X)的最大值及相应的X的取值集合；

_71

(2)若“一京是/(X)的一个零点,且0<0<10,求0的值和/(X)的最小正周期.

参考答案：

=刖8+而卜.g卜曲。X-C8S

(D/(X)：：：2分»

当CB-1时，/(x)=m:一8$?=应

222

而所以/(x)的.大值为后，•一••:4分~

HtB1---=-+2*Ji,A：€Z,BPx=—+4in,i€Z,-

2422

相应的X的集合为｛x|xN=+4Kt"eZ)...........................

•七分3

/昨4丝一4=。丝上=E

(2)依题意\8；184；，即84"eZ,8

分

整理，得0=既+2,...................9分

又0<。<10,所以04肽+2<10,4C,,...................10分

/(x)=V2sm[2x--1.、

而上WZ,所以k=0,0=2,所以I4人/。。的最小正周期为71.

••,12