2023年湖北省长阳县高考考前提分数学仿真卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在平面四边形ABCO中，满足==且A5+AD=1(),8D=8,沿着8。把A3D折起,

使点A到达点P的位置，且使PC=2,则三棱锥P—38体积的最大值为()

1672

B.1272

3

2.正方体A5CO-A4GR,片(i=l,2,…,12)是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面4GB平行的直线

有几条()

3.已知复数二满足:zi=3+4i（i为虚数单位），贝ij[=（

A.4+3iB.4-3;C.-4+3zD.-4-3/

4.已知a>0,Z»0,a+h=1,若a=a+—,P—h+—,则a+6的最小值是（

5.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22"+1(/?GN)的素数(如：2/+1=3)为费马索数，在不超过3()的正偶

数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()

2

15

6.点”在曲线G:y=31nx上，过“作x轴垂线/,设/与曲线v='交于点N,0P=0M+ON口jjAAAiii<

---------，且p点的纵坐t

X

标始终为0,则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()

A.()B.1C.2D.3

7.大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极

衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,

12,18,24,32,40,50,…，则大衍数列中奇数项的通项公式为()

8.已知2=(1,2),b=+»c=(6一2,-1),若a//B，则5-c=()

A.-7B.-3C.3D.7

9.“a=2”是“直线以+2>-1=0与x+(a-l)y+2=0互相平行”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.在三棱锥。一ABC中，AB=BC=CO=D4=1,且AB，BC,C。，ZM,M,N分别是棱8C,CD的中点,

下面四个结论：

①ACLBO；

②MN//平面ABD；

③三棱锥A-CMN的体积的最大值为正；

12

④AO与8C一定不垂直.

其中所有正确命题的序号是()

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

11.在AABC中，角A,8,c的对边分别为凡仇C,若c-acosB=(2a-b)cosA,则AABC的形状为()

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

12.若将函数〃x)=2sin(x+S-l的图象上各点横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，贝IJ下歹!］

说法正确的是()

A.函数g(x)在(0,看］上单调递增B.函数g(x)的周期是/

C.函数g(x)的图象关于点,2,。［对称D.函数g(x)在(0,小上最大值是1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-孙z中的坐标分别是A(0,0,逐)，8(省,(),())，C(0,1,0),D(51,5,

则该四面体的外接球的体积为.

14.已知集合4=口€卬1—2》＜5},5={-2,-1,1,2),则=.

x-y+2..0,

15.已知实数x，＞满约束条件＜2x+y—5,,0,,则z=-x+3y的最大值为.

y--i,

16.(5分)已知cos(a-巴)=-±,且aw(-色,0),则2cos%+5/5sin(2a-与的值是____________.

2524

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆。：［+%•=1(〃＞。〉0)的离心率为乎，点「(—I,曰)在椭圆上.

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设直线y="+〃?交椭圆C于两点，线段AB的中点M在直线x=l上，求证：线段AB的中垂线恒过定

点.

18.(12分)已知函数=一公+(“-1)］11r,g(x)=8-xlnx的最大值为1.

(1)求实数分的值；

⑵当a＞1时，讨论函数/(x)的单调性；

(3)当a=0时，令1(x)=2f(x)+g(x)+21nx+2,是否存在区间［也可=(1,+8),使得函数尸(x)在区间［人〃］

上的值域为［4(〃2+2),左(〃+2)］?若存在，求实数我的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.(12分)在三棱锥S-48c中，NB/1C=WBA=4SC4=90°,^SAB=45。/SAC=60。,/)为棱.48的中点，SA=2

⑺证明：SD-LBC.

(⑺求直线S。与平面SBC所成角的正弦值.

20.(12分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性

驾驶员，其中平均车速超过90也2//2的有30人，不超过90初7/〃的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速

超过90加2/〃的有5人，不超过90初?/〃的有15人.

(1)完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过9(场〃/〃与驾驶员的性

别有关；

平均车速超过90攵m/〃平均车速不超过

合计

的人数9(次m/力的人数

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

(2)根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过9(北加/〃

的人数为假定抽取的结果相互独立，求J的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2-

参考公式：K--------------------------其中r〃=a+6+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

临界值表:

2

P(K..k0)0.0500.0250.0100.0050.001

3.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民

提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于18()厘米

的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

(1)求出易倒伏玉米茎高的中位数加；

(2)根据茎叶图的数据，完成下面的列联表:

抗倒伏易倒伏

矮茎

高茎

（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？

n[ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg.K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

22.(10分)在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(a-J§ft)sinA+%sinB=csinC.

(1)求角C的值；

(2)若sinAsin3=匕且，c=2,求AABC的面积.

4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

过P作PELBD于E,连接CE,易知CELBO,PE=CE,从而可证及）_L平面PCE,进而可知

1Q

Vp.BCD=VR_PCE+VD.PCE=ME.BD=&PCE，当S/CE最大时，Vp―8CD取得最大值，取PC的中点Z7，可得

EFA.PC,再由S”cE=gpCEF=飞PE27,求出PE的最大值即可.

【详解】

PB=BC

在△3尸£）和ABCD中，\PD=CD,所以ABPD为BCD,则NP5£>=NCS£>,

BD=BD

过P作PEJ.B。于E,连接CE,显然ABPE^ABCE,则且PE=CE,

又因为PEDCE=E，所以B£>_L平面PCE，

所以Vp_BCD=VB_PCE+VD-PCE=2S&PCE,BD=—S/CE>

当凡皿.最大时，Vp-so取得最大值，取PC的中点尸，则E尸，PC，

所以Sg=；PCEF=’产炉一1，

因为PB+PO=10,BD=8,所以点P在以3,。为焦点的椭圆上(不在左右顶点)，其中长轴长为1(),焦距长为8,

所以总的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE最大值为庐不=3，

所以S"CE最大值为2近，故VP_BCD的最大值为|x20=生£.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

2.B

【解析】

先找到与平面A。乃平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.

【详解】

考虑与平面AGB平行的平面［4平面戍，平面/鸟巴吕？％，

共有C；+C；+C；=21,

故选：B.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.

3.A

【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出2,再根据共挽复数的概念即可求解.

【详解】

3+4z3i-4

由zi=3+4i,则z=^一^=工^=4—3i,

所以三=4+3z.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的四则运算、共轨复数的概念，属于基础题.

4.C

【解析】

根据题意，将b代入a+1，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】

Va>0,Z»0,a+h=l,

1,11,1u

a+/n3=a+-+b+-=\+—>1+------=5

：.abab（a+b\,

当且仅当a=b=-时取“=”号.

2

答案：C

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”

的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是

最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.

5.B

【解析】

基本事件总数〃=15,能表示为两个不同费马素数的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个，根据古

典概型求出概率.

【详解】

在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数〃=15

能表示为两个不同费马素数的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个

31

则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P=^=-

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题.

6.C

【解析】

设M«,31nf),则则丽=+即可得lnf+：=O,设g(f)=lnf+J,利用导函数判断g©的零

点的个数，即为所求.

【详解】

设M(f,31nf),则N(J],所以而=丝士”=俏£,3+，],

\)3(33t)

依题意可得Inf+-!■=(),

3t

设g⑺=lnr+],则g'«)=J—3=眨，

3ft3厂3t

当0<f<：时,g'Q)<0,则gQ)单调递减；当r>；时,g'⑺>0,则g⑺单调递增，

所以g⑺mm=g(£|=lTn3<0,且g1/]=—2+三>0,g⑴=；〉0,

.1.g(f)=始f+(=0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.

故选:C

【点睛】

本题考查利用导函数处理零点问题，考查向量的坐标运算，考查零点存在性定理的应用.

7.B

【解析】

直接代入检验，排除其中三个即可.

【详解】

由题意4=0,排除D,%=4,排除A,C.同时B也满足=12,%=24,cig=40,

故选：B.

【点睛】

本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解.

8.B

【解析】

由平行求出参数加，再由数量积的坐标运算计算.

【详解】

由a/区，得2m—(m+3)=0,则m=3，

b=(3,6)»c-(1,-1)»所以5.0=3-6=-3.

故选：B.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.

9.A

【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定

【详解】

当。=2时，直线方程为2x+2y-1=0与x+y+2=0,可得两直线平行；

若直线以+2y—1=0与x+(a-l)y+2=0互相平行，则a(a-l)=2,解得4=2,

电=-1，贝a=2”是“直线ax+2y-1=0与x+(a—l)y+2=0互相平行”的充分不必要条件，故选A

【点睛】

本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题.

10.D

【解析】

①通过证明AC,平面OBO,证得ACJ_80；②通过证明MN//6O,证得例N//平面/WD；③求得三棱锥

4-CMN体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AQ与3c一定不垂直.

【详解】

设AC的中点为。，连接。氏。力，则ACLQB,AC1OD,又080。。=。，所以AC_L平面08。，所以

故①正确；因为所以MN//平面故②正确；当平面D4c与平面ABC垂直时，VA.CMN

最大，最大值为匕C“N=VNACM工幻旦=显，故③错误；若AZ)与BC垂直，又因为AB_LBC,所以

平面ABE),所以又BD_LAC,所以8D_L平面ABC,所以因为08=。。，所以显然BO

与08不可能垂直，故④正确.

故选：D

D

B

【点睛】

本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力,

属于中档题.

11.C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由sin(A+3)=sinC,化简可得sinBcosA=sinAcosA,最后分类讨论可得；

【详解】

解：因为c-acosB-(2a-b)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+3)-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinJ?cosA=sinAcosA

71

当(：054=0时4=一，AABC为直角三角形；

2

当cosA。0时sinA=sin3即A=3，AABC为等腰三角形；

...AABC的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

12.A

【解析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到g(x)解析式；利用整体对应的方式可判断出g(x)在0,今上单调递增，A正确;

关于点［-对称，C错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B错误；根据正弦型函数在区间内值域的求

解可判断出最大值无法取得，。错误.

【详解】

将/(X)横坐标缩短到原来的；得：g(X)=2sin(2x+方＞1

,(c万、,7T(717t

当时，2x+-e|^-,-

•.♦sinx在［£,彳］上单调递增.•.g(x)在上单调递增，A正确;

g(x)的最小正周期为：7=引=］.,・［不是g(x)的周期，B错误；

当x=一■时'2x+*=0,g［—^］=­l

1ZO\'乙)

・•.g(x)关于点卜色,一“对称，C错误;

当xe(0《)时，2*+会［，5.-.g(x)G(0,l)

此时g(x)没有最大值，。错误.

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段

区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.也

2

【解析】

将四面体补充为长宽高分别为由」,石的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.

【详解】

采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为8,1,括，长方体

的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线石=3,所以球半径为体积为

4彳9乃

—Tir=——.

32

【点睛】

本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.

14.{-1,1,2)

【解析】

由于A={xeR|l-2x<5}={xwR|x>-2},B={-2,-l,l,2},则4口3={-1,1,2}.

15.8

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.

【详解】

x->1+2..0,

根据约束条件2x+y-5,,0,,画出可行域，图中阴影部分为可行域.

J.1，

7

又目标函数z=—x+3y,§表示直线x-3y+z=0在y轴上的截距，

由图可知当x—3y+z=0经过点P(l,3)时截距最大，故2的最大值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

【解析】

由于cos（o1-工）=cos（工-a）=sina=-d,且ce（一四,0）,则cosa=J1-sin2a=，,^sin2a-2sinacosa=--,

2252525

贝！12cos2a+>/2sin（2a-^）=1+cos2a+夜（sin2acos；-cos2asin（）=1+sin2a=±.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（I）—+/=1；（II）详见解析.

4-

【解析】

(I)把点P代入椭圆方程，结合离心率得到关于〃的方程，解方程即可;

(II)联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段AB的中垂线方程即

可证明.

【详解】

得'*京

(I)由已知椭圆过点P=1,

得/=4b2，

所以/=4方=1,即椭圆方程为Z+/2=1.

4

V2=1

（II）证明：由，4+'—,得（1+4女+8k7m-+4m2—4=0,

y=kx+m

由△=64/加一4（1+4公）（4加一4）=-16m2+64公+16>0,得病<1+4公，

由韦达定理可得，

-1+4F

设AB的中点”为（乙），%），得-=1'即1+4/?=~44根，

,m1

/.y=o+m=------=----,

700°1+4公74k

二AB的中垂线方程为y+」7=-q（x-l）,即y=

4kkk\4J

故AB得中垂线恒过点.

（4）

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综

合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.

18.(1)1=0;(2)a=2时，/(x)在(0,”)单调增；l<a<2时，/(x)在单调递减，在

单调递增；a>2时，同理“X)在单调递减，在(0,1),(a—1,一)单调递增；⑶不存在.

【解析】

分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当x=L时，g(x)取得极大值，也是最大值，

e

由=：+=可得结果；(2)求出厂(力，分三种情况讨论a的范围，在定义域内，分别令尸(力>0求得X

的范围，可得函数/(力增区间，尸(力<0求得》的范围，可得函数“X)的减区间；(3)假设存在区间

［加，〃仁(1,”)，使得函数尸(x)在区间［m,可上的值域是m+2)*(〃+2)］,贝!)

{n问题转化为关于X的方程d-xhr+2=k(x+2)在区间(1,+8)内是否存在两

个不相等的实根，进而可得结果.

详解：⑴由题意得g'(x)=-lnx-l,

令g'x)=0,解得x=：,

当时，g'(x)〉0,函数g(x)单调递增；

当时，g'(%)<(),函数g")单调递减.

所以当X=g时，g")取得极大值，也是最大值，

所以6=解得8=0.

\e)ee

(2)/(x)的定义域为(0,”).

一,/\a—1—ax+ci—1(x—+l—ci\

f(x)=x-a^-----=-----------------=-------------------

xxx

①a—」=l即a=2,则/(x)=(x—1),故/(x)在(。，收)单调增

②若。一1<1,而a>l,故l<a<2,则当xw(a—1,1)时，/f(x)<0；

当xe（O,a-l）及xe（l,+oo）时，/,（x）>0

故/（x）在（a-1,1）单调递减，在（0,。一1）,。,母）单调递增.

③若a-l>l,即a>2,同理“X）在单调递减，在（0,1）,（a-1,仪）单调递增

(3)由(1)知/(x)=x2-xhu+2,

所以F'(x)=2x-lnx+l,令<y(x)=则<y'(x)=2-，>0对Vxe(l,+o。)恒成立，所以1(x)

在区间(1,欣)内单调递增，

所以产'（力>产'⑴=1>0恒成立,

所以函数尸（X）在区间（1,+8）内单调递增.

假设存在区间上〃,〃仁（1,+8）,使得函数尸（X）在区间卜％〃］上的值域是［M〃7+2），M〃+2）］,

F(???)=nr-mlnm+2-k[m+2^

则｛

F(n)=n2-nlnn+2-k^n+2)

问题转化为关于x的方程f-xlnx+2=A（x+2）在区间（1,例）内是否存在两个不相等的实根,

即方程左=匚独竺土2在区间（1,+a））内是否存在两个不相等的实根,

x+2

+2>x—4—21nx

XG(1,+OO),贝|J/?'(X)=

令人（加VF

p(x)=x2+3x-4-21nx,XG(1,+OO),则”(九)=28+3-2=(^_l)C+2)>()对Vxe(l,+oo)恒成立,所

以函数p（x）在区间（1,+8）内单调递增，

故p（x）>p⑴=0恒成立，所以“（X）>0,所以函数〃（x）在区间（1,+8）内单调递增，所以方程k=二1包吐2在

%+2

区间（1,长。）内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间即n］c（1,+8）,使得函数F（x）在区间\m,n］上的值域是,（〃?+2）,%（〃+2）］.

点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：（1）确定函

数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果

左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个

极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.

19.⑺证明见解析；(〃)5

【解析】

⑺过。作。于E,连接SE,根据勾股定理得到SE」8C,OE18C得至眇。"平面SE。，得到证明.

(〃)过点。作DF1SE于匕证明。尸1平面SBC,故々S/)为直线SQ与平面S3C所成角，计算夹角得到答案.

【详解】

⑺过。作QE/8C于用连接S/:,根据角度的垂直关系易知:

AC=1,AB=SB=&CS=CB="=BDc&CBD=3

DE=BDsin“BD=一

6,

/，，4

-+SET-2SE~+--3

JJ

#24-)5

2----SE2-----SESE'=~272

根据余弦定理：33,解得3,故SB=SET+BET,

故SE1BC,DE1BC,SECDE=E,故8c/平面SERSDu平面S££),

故SD/BC

(〃)过点。作/»/SE于?,

B。/平面SEQ,OFu平面SER故DF'BC，DF-LSE,BC0SE=E,

故DF1平面SBC,故45。为直线S。与平面SBC所成角,

SE2+SD2-DE22乖

SD2=SB2+BD：=~cosNESD=

2,根据余弦定理：2SESD5,

sinNESD=-

故2

【点睛】

本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20.(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过9(与性别有关(2)详见解析

【解析】

(1)根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过9(汰加//?

与性别有关.

(2)利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】

(1)

平均车速超过90人根/〃平均车速不超过

合计

的人数90切?/6的人数

男性驾驶员301040

女性驾驶员51520

合计352560

26x16

因为K=60X(30X15-5X10)2»13.71,

__40x20x35x257

13.71>10.828,所以有99.9%的把握认为，平均车速超过9(km