1.1.1集合的表示方法第2课时课件-高一上学期数学人教B版

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法基础知识列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以。但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为{0，1};又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合可用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24

};再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》}.用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序，例如，{1，2}与{2，1}表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为{0，1，2，3，...，100}，无限集有时也可用列举法表示。例如，自然数集N可表示为

{0，1，2，3，...，n，…}，值得注意的是，只含一个元素的集合{a}也是一个集合，要将这个集合与它的元素a

加以区别，事实上，a∈{a}描述法尝试与发现以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便，你觉得可以怎样表示?满足x>3的所有数组成的集合A;(2)所有有理数组成的集合Q.显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”，而不属于集合A的元素都不具有这个性质所以可以把集合A表示为{x

|x

是大于3的数}或{x|

x>3},即A=

{x|x是大于3的数)或A={x|x>3}.类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为Q＝{x

|x是两个整数的商}

上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质。一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质。此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为{x|x

是一组对边平行且相等的四边形}又如，所有能被3整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为{x|x=3n，n∈Z}类似地，所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为{x|x=3n+1，n∈N}不过这一集合通常也表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z}这就是说，集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I

|p(x)}典例精析用适当的方法表示下列集合：方程x(x－1)=0的所有解组成的集合A；平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.(1)因为0和1是方程x(x－1)0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0，1}.(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={(x，y)|x>0，y>0)}.思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：列举法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，an}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括习惯上，如果a<b，则集合{x|

a≤x

≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间，例如，集合{x

|1≤x≤2)可简写为闭区间[1，2]。类似地，如果a<b;集合{x|

a＜

x＜

b}可简写为(a，b)，并称为开区间；集合{x|

a

≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|

a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间。上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b－a

称为区间的长度，区间可以用数轴形象地表示。例如，区间[-2，1)可用下图表示，注意图中-2处的点是实心点，而1处的点是空心点。如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表示为区间(－∞，+∞);集合{x|x≥a}可表示为区间[a，+∞);集合{x|x＞a}可表示为区间____________；集合{x|x≤a}可表示为区间____________；集合{x|x＜a}可表示为区间____________；(a，+∞)(－∞，a](－∞，a)类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示。例如，区间[7，+∞)可以用下图表示。7x思考3：区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算。典例精析

基础自测1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为(

)A．{0,1,2,3,4}

B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4}

D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．D

2．第一象限的点组成的集合可以表示为(

)A．{(x，y)|xy>0}

B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0}

D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．C

3.能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为____________________.4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．其中，集合表示方法正确的是_____(填序号)．5.(1){x|－1≤x≤2)}可用区间表示为___________；(2){x|1<x≤3}可用区间表示为_________；(3){x|x>2}可用区间表示为____________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为______________.{x|x＝2n，n∈N*}

③

[－1,2]

(1,3]

(2，＋∞)

(－∞，－2]

典例剖析用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；

思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；

(3)要写成点集形式。

x－y=12x+3y=4的解是

归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素。(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次。(3)用花括号括起来。2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”。(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示。又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合。对点训练

用描述法表示集合

思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件。解析：(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0且y>0}．(3)要使该式有意义，需有解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0}．x≠02－x≥0，归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式。2．准确说明集合中元素所满足的特征。3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号。4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系。对点训练2．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0}；②所有奇数组成的集合为{x|x＝2n＋1}；③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．其中正确的有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个A

解析：①正确；②不正确，应为{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正确，{(x，y)|y＝1－x}表示的是点集，而{x|y＝1－x}表示的为数集．集合与方程的综合问题(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(

)A．1

B．2 C．0

D．0或1D

思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；

(2)先求出a的值，再求元素之积。

归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根。(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用。对点训练3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。

(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，

求a的取值范围。解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，∴4－2a+b=0，9－3a+b=0，解得a=5，b=6，因此a=5，b=6(2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素。由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]。对集合中的代表元素认识不到位用列举法表示下列集合：(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(3)C={方程组的解}.x＋y=3x－y=－1错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y，习惯认为是x，误认为A＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C＝{1,2}．解析：(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以当x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，所以用列举法表示为A＝{2,5,6}．(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有

满足条件，所以用列举法表示为B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．x=0,y=6,x=1,y=5,x=2,y=2,(3)方程组

的解是有序实数对，其解的集合可以表示为

，用列举法表示为{(1,2)}．x＋y=3,x－y=－1,(x，y)|x=1,y=2,误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么。集合中的“新定义”问题“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合