第02讲：常用逻辑用语期末高频考点题型讲与练 解析版

第02讲：常用逻辑用语期末高频考点题型讲与练【考点梳理】考点一：充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件考点二：充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.考点三：全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”考点四：含量词的命题的否定p綈p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【题型归纳】题型一：充要条件和必要条件的判断1．（2023下·广西钦州·高一统考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，得，充分性成立；由，得，必要性不成立，从而可判断.【详解】由，得，但由，得，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A2．（2023上·安徽蚌埠·高一统考期末）下列命题中正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的既不充分也不必要条件C．“幂函数为反比例函数”的充要条件是“或”D．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”【答案】BD【分析】根据充分条件、必要条件的定义一一判断即可.【详解】对于A：由可得，故充分性成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故A错误；对于B：若，，满足，则，故充分性不成立，若，，满足，则，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；对于C：若幂函数为反比例函数，则，解得，故C错误；对于D：若函数在区间上不单调，则，因为真包含于，所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故D正确；故选：BD3．（2023上·四川泸州·高一统考期末）下列命题中是假命题的有（

）A．“”是“”的充分但不必要条件B．“”是“”的必要但不充分条件C．“”是“”的既不充分也不必要的条件D．“”是“不等式在上恒成立”的充要条件【答案】AC【分析】利用特例及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】对于A：若，满足，但不满足，反之，若，例如，令，，显然不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；对于B：当时，由得不到，即充分性不成立，反之，若，可得，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C：，可得，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D：在上恒成立，则，，则“”是“不等式在上恒成立”的充要条件，故D正确．故选：AC．题型二：根据必要条件不充分条件求参数问题4．（2021上·云南德宏·高一统考期末）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解不等式化简集合，，再由题意可得，由此可得的取值范围．【详解】解：由，即，解得或，所以或，，命题是命题的必要不充分条件，，则．实数的取值范围是．故选：C．5．（2019上·福建厦门·高二校联考期末）已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是的必要条件，列不等式组，可得实数a的取值范围．【详解】由是的必要条件，可得，解得故选：D.6．（2023上·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合、，分析可知，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，或，因为是的充分不必要条件，则，则或，解得或.故选：D.题型三：根据充分不必要条件求参数问题7．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.【详解】对称为轴，若，又开口向上，在上单调递增，又，故在上单调递增成立；若函数在上单调递增，单调递减，不成立，则得，不能推出，故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.8．（2022上·四川成都·高一校联考期末）设命题p：﹐命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】p是q的充分不必要条件得到两者间的真子集关系,再列不等式组求解.【详解】p：，∴，∴，q：，p是q是充分不必要条件，则是的真子集，则，解得，故选：A．9．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数值的正负判断各选项中所在象限，由此可判断出结果.【详解】对于A：时，为第三象限或轴负半轴或第四象限角，，为第一象限或轴正半轴或第四象限角，故为第四象限角，故A错误；对于B：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，，为第一象限或第三象限角，故为第一象限角，故B错误；对于C：时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，，为第一象限或第三象限角，故为第三象限角，故C错误；对于D：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，故为第二象限角，故D正确；故选：D.题型四：充要条件问题10．（2023上·安徽黄山·高一统考期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据根与系数的关系及充分条件、必要条件【详解】因为方程有一正根和一负根，则有，所以，故p是q的充分必要条件.故选：C11．（2023上·四川遂宁·高一统考期末）“函数在区间上不单调”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.【详解】由函数在区间上不单调，可得，即；由，得，得函数在区间上不单调，所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件.故选：C12．（2023上·北京大兴·高一统考期末）“”是“函数存在零点”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若函数存在零点，则有实数解，即有实数解，因为，所以，而，由得，则“”是“函数存在零点”的充分必要条件.故选：C题型五：含量词的命题的否定问题13．（2023上·重庆·高一统考期末）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“，”的否定是：，.故选：A14．（2023上·甘肃临夏·高一校考期末）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据特称命题否定形式直接求解即可.【详解】命题“，”的否定为“，”.故选：A15．（2023上·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知命题，都有．则为（

）A．，使得 B．，总有C．，总有 D．，使得【答案】A【分析】利用全称量词命题的否定求解即可.【详解】因为量词命题的否定步骤是：改量词，否结论，所以命题，都有的否定为，使得.故选：A.题型六：根据全称命题的真假求参数16．（2023上·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若命题“，”为真命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可.【详解】由已知，，则，即，所以的取值范围是.故选：C.17．（2022上·江苏常州·高一校考期末）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全称命题的真假，转化为可求解.【详解】命题“”是真命题，则，又因为，所以，即实数的取值范围是.故选：A.18．（2022上·安徽合肥·高一校考期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.【详解】因为命题“，”为假命题，所以在上有解，所以，而一元二次函数在时取最大值，即解得，故选：A题型七：根据存在量词命题的真假求参数问题19．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）若“，”是假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定对于恒成立，变换，根据三角函数的值域得到答案.【详解】“，”是假命题，即对于恒成立，即，，，故.故选：B20．（2023上·河北邢台·高一邢台一中校考期末）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据是假命题，得出为真命题，利用恒成立知识求解.【详解】因为是假命题，所以为真命题，即，使得成立.当时，显然符合题意；当时，则有，且，解得.故选：A.题型八：集合和常用逻辑用语综合问题21．（2022上·山西晋中·高一校联考期中）已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，【详解】由题意可知恒成立．①当时，恒成立；②当时，，解得．综上：．故选：C22．（2023上·上海松江·高一校考期末）若，，(1)当时，求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）解不等式化简集合，把代入，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）由给定条件，可得，再利用集合包含关系列出不等式求解作答.【详解】（1）由，得，即有，解得，即，由，得，即，解得或，则，，当时，，所以（2）由（1）知，，由是的充分条件，得，则或，解得或，所以实数的取值范围是或.23．（2022上·云南·高一统考期末）已知命题为假命题.(1)求实数的取值集合；(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据一元二次方程无解，即可由判别式求解，（2）根据集合的包含关系，即可分类讨论求解.【详解】（1）当时，原式为，此时存在使得，故不符合题意，舍去；当时，要使为假命题，此该一元二次方程无实数根，所以故；（2）由题意可知是A的真子集；当时，；当时，所以的取值范围是或，24．（2023上·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数的定义域为A．(1)求集合A；(2)已知集合，，若是的充分不必要条件，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由使得偶次根式、对数函数有意义列式即可.（2）由已知可得集合A是集合B的真子集，结合集合的包含关系即可求得结果.【详解】（1）要使函数有意义，则，解得．故．（2）是的充分不必要条件，，则集合A是集合B的真子集．则有，解得，所以实数m的取值范围是．【强化精练】一、单选题25．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用命题的充分而不必要条件定义即可得到二者间的逻辑关系.【详解】由，可得，则由“”可以得到“”；由“”不能得到“”.故“”是“”的充分而不必要条件.故选：B26．（2023上·浙江绍兴·高一浙江省柯桥中学校考阶段练习）的否定是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可判断选项.【详解】根据题意命题是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即.故选：C．27．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分、必要性定义，指数函数单调性判断题设条件间的关系.【详解】由，则，故，充分性成立；由，则，即，必要性成立；所以“”是“”的充要条件.故选：C28．（2023下·云南楚雄·高一统考期末）“”是“对任意恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的解法和二次函数的性质，分别求得实数的取值范围，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，又由在上恒成立，可得，解得，所以“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件.故选：A.29．（2023下·河南新乡·高一统考期末）“”是“对任意，恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出两条件所对应的的取值范围，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，即，所以，由，恒成立，即在上恒成立，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，因为真包含于，所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.故选：A30．（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）已知，且，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由不等式的性质，结合必要不充分性的定义即可判断.【详解】由，得，当，均为负数时，显然不成立，充分性不成立.由，得，即，必要性成立.故选:B31．（2023上·甘肃天水·高一统考期末）已知，则“”是“函数在内单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求得“函数在内单调递减”时的取值范围，根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】若函数在内单调递减，当时，在内单调递减，符合题意.当时，的开口向上，对称轴为，则，解得.当时，的开口向下，对称轴为，则，解得.综上所述，若函数在内单调递减，则.所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件.故选：A32．（2022·山西晋中·统考二模）已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据p是q的充分不必要条件，由⫋求解.【详解】解：因为p是q的充分不必要条件，所以⫋，则m≤－1，故选：D.33．（2023上·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）设命题p：，命题q：一元二次方程有实数解．则是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求命题q为真时的范围，结合条件的定义进行求解.【详解】因为命题，命题一元二次方程有实数解．等价于，即；因此可知，则：是的充分不必要条件.故选：A.34．（2023上·安徽芜湖·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．若，则“”是“”的必要不充分条件D．在中，角，均为锐角，则“”是“是钝角三角形”的充要条件【答案】D【分析】利用充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件的定义进行逐项判定.【详解】对于A，因为能够得到，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；对于B，因为时，，而当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，B错误；对于C，当时，，无法得出；当，，所以，C错误；对于D，因为角，均为锐角，当时，，由于所以，即，所以是钝角三角形；反之依然成立，D正确.故选：D.二、多选题35．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）下面命题正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A、C、D，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B.【详解】对于A，，得到或，由可以得到，但是若，显然成立，但不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“任意，则”的否定是“存在，则”，故B正确；对于C，由，则，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误；对于D，且，则由无法得到，但是由可以得到，即“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：BD.36．（2023下·湖南株洲·高一统考期末）下列命题正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”的否定是“”C．的充要条件是D．若，则至少有一个大于1【答案】BD【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件；对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误；对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确；故选：BD.37．（2023上·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下面命题正确的是（

）A．若，则“”是“”的充要条件B．“”是“一元二次方程有一正一负两个实数根”的充要条件C．设，则“”是“且”的充分不必要条件D．“”是“”的充分不必要条件【答案】BD【分析】AC选项，可举出反例；B选项，根据根的判别式及韦达定理得到，B正确；D选项，先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，D正确.【详解】A选项，若，满足，但无意义，故A错误；B选项，当时，即时，一元二次方程有一正一负两个实数根，故“”是“一元二次方程有一正一负两个实数根”的充要条件，B正确；C选项，若，满足，但不满足且，故充分性不成立，C错误；D选项，时，因为在上单调递增，故，充分性成立，当时，也满足，故必要性不成立，D正确.故选：BD38．（2023上·广西防城港·高一统考期末）下列命题不正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“任意，都有”的否定是“存在，使得”C．设，则“且”是“”的必要不充分条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】BC【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断ACD；利用含有一个量词的命题的否定判断B作答.【详解】对于A，，而有，不一定有，如，“”是“”的充分不必要条件，A正确；对于B，命题“任意，都有”是全称量词命题，其否定是“存在，使得”，B错误；对于C，因为且成立，必成立，即“且”是“”的充分条件，C错误；对于D，当时，若，有，即“”不能推出“”，反之，，即有“”是“”的必要不充分条件，D正确.故选：BC39．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）若，则使“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】若，,则是的必要不充分条件，解指数不等式可判断A；取可判断B；C选项中利用可判断；D选项中利用指数函数的值域进行判断.【详解】对于A，由可得，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确；对于B，当时，，此时，得不到，故B错误；对于C，时，，此时,故“”不是使“”成立的充分条件.因为,所以.当时，必有.所以“”是使“”成立的必要条件.故“”是使“”成立必要不充分条件，故C正确；对于D，当时，，此时,故“”不是使“”成立的充分条件.当时，与中至少有一个正数，不妨设,则,又因为，则必有,所以“”是使“”成立的必要条件.故“”是使“”成立必要不充分条件，故D正确.故选;ACD.四、填空题40．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为．【答案】【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分条件得到集合的包含关系，即可得解.【详解】由，即，解得，记，，因为是的充分条件，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：41．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.【详解】因为命题“”是假命题，所以命题“”是真命题，即在上恒成立，因为当时，，所以在上恒成立，而，所以，所以实数a的取值范围为.故答案为：.42．（2023上·重庆·高一校联考期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围为．【答案】【分析】命题“”为假命题，等价于“方程无实根”，则，求解即可．【详解】命题“”为假命题，等价于“方程无实根”，则，解得，即实数的取值范围为．故答案为：．43．（2022上·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是.【答案】【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依据，，分类讨论，数形结合，求解a的范围即可【详解】由得：；当时，，则，解得：,∵，，满足题意；当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；当时，,结合图象可得：，解得：，则；综上所述：原命题成立的充要条件为，故答案为：1<a<1.三、解答题44．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知集合.(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出，再列出不等式组计算即可.（2）分和两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可.【详解】（1）由题意，，解得，.由“”是“”的充分不必要条件，得，则且等号不能同时取到，解得，故实数的取值范围为.（2）当时，得，即，符合题意；当时，得，即，由，得或，解得或，或；综上所述，实数的取值范围为.45．（20