2023人教版新教材A版高中数学必修第二册同步练习-强化练7　函数极值的求解及其应用

专题强化练7函数极值的求解及其应用

1.(2021山西怀仁期末)已知函数尸F(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是

A.-1是函数F(x)的极小值点

B.-4是函数f{x)的极小值点

C.函数f(x)在区间(-8,-4)上单调递增

D.函数f(x)在区间(-4,-1)上先增后减

2.(2020福建三明期末质量检测)函数/"(x)=ln/一X的图象大致为()

3.若函数/'(x)=#+(h)『alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1,则实数a的取值范围为

()

A.[|,2)B.[|,+8)

C.(0,|)D.(T,0)U[|,+8)

4.(2021河南洛阳孟津第一高级中学综合训练)已知函数/'(才)=^+3且/+卜02+£)矛+1心＞0),若

f(x)有极值，且《)与f'(x)(f'3为f(x)的导函数)的所有极值之和不小于卷则实数a

的取值范围是()

A.(0,3]B.(1,3]

C.[1,3]D.[3.+OO)

5.(多选)设函数/U)卢,则下列说法正确的是()

Inx

A.f(x)的定义域是(0,+8)

B.当xG(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方

C.f(x)存在单调递增区间

D.f(x)有且仅有两个极值点

6.(多选)已知函数/'(x)=xsin广aV(aGR),则下列说法正确的是()

A.当于1时，函数f(x)当且仅当尸0时取极小值

B.当a=-l时，函数f(x)有无数个零点

C.Vad(-8,_1],f(x)W0

D.若/Xx)在区间[04]上的最小值是0,则a》l

7.(2021河南新乡期末)若函数f(x)=^\-/+2x(成0)在(0,1)上有极值点，则力的取值范围

为.

8.(2022辽宁沈阳期中)已知函数f(x)=4+2-nx-kx,若产2是函数f(x)的唯一极值点，则实数

X2

A的取值范围是.

9.(2021安徽池州期末)已知函数/W=(l+cos其中加为常数.

(1)当ZZFO时，求曲线f(x)在产0处的切线方程；

(2)若函数/'(*)在区间„上只有一个零点，求加的取值范围.

10.(2022江西吉安期末)已知函数f(x)=axe"-(x+l)2(aCR).

(1)当炉T时，求/'(x)的极值；

⑵若f(x)W0在xW[T,1]上恒成立,求a的取值范围.

11.(2021湖南岳阳平江一中期末)已知函数/<x)=a『生Inx(aWR).

X

⑴若Mx)是定义域上的增函数,求a的取值范围；

(2)若a》(,函数F(x)有两个极值点用,用(水就，求f(幻-丹⑷的取值范围.

答案全解全析

1.B由题中导函数的图象可得f(x)在(-8,-4)上单调递减，在(-4,+8)上单调递增，故-4是

函数M的极小值点,T不是F(x)的极值点.故选B.

2.B函数f(x)的定义域为｛xCRlx7。｝.

当x>0时，f(x)=21nx-x,

当x>2时,f'(4<0,当0<水2时,f'(x)>0,

在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，且f(x)在(0,+8)上的极大值为/(2)=21n

2-2<0,；.C、D错误.

当矛<0时，f(x)=21n(-%)-x,f'⑸-2r〈o,

X

...f(x)在(-8,0)上是减函数，；.A错误,B正确.

故选B.

解题模板

由函数解析式确定函数图象时，往往由解析式确定其性质，再由性质逐一确定其大致图象.

解题时,可通过求导得到极值点,从而确定函数的大致图象.

3.BVf｛x)+(a-1)^-51nx,x>0,

：.f'(X)=X+(a-1)_J-+(aT)…二(%+agi).令/，但引得产1或产

XXX

,：函数尸f(x)存在唯一的极值，

...尸1为f(x)的极值点，a20,

，当xd(0,1)时，f'(x)<0,函数/'(X)单调递减，当XW(1,+8)时，f'(x)>0,函数/'(X)单调

递增，

f(x)极小值=f(l)=：+a-l=a-',

又f(x)极小Bl,.•.a-罗1,解得且斗故选B.

4.B由题意得f'(x)=3*+6ax+2a?+工(a>0),

a

因为F(X)有极值,所以f'(x)=3V+6ax+2a2+上0有2个不等实数根，

a

即4二(6H)2—4X3X(2Q2+J=12(Q2_5)>(),即?>0,因为a0,所以H>L

令力(x)=F'(才)=3*+6己彳+2才+工(3〉1),

则h'(x)=6户6a,令为'(x)=0,得x=~a,故x=~a是f'(x)的极值点.

设f(x)的极值点为不，莅,则X,,王为方程f'(x)=39+6ax+2aLi+L=0的根,

n>j2i

则Xi+x2=-2a,^2=—3+—3a,

因为/(A,)+r(Aa)=xl+3axl+(2a2+：)为+1+%尹3a+(2。2+N)及+]

=(*+品)3-3(①+总)Xi*2+3a(xi+.尸-6a*i及+(2a2+(及+及)+2

=(-2a*6a(手+抒3a(-2a)?-6a符+套)+(24+0(-2a)+2=-8a+12a3-4a-2+2=0,

所以f(x)+/U)+F'修)=-，+〉-胃，

a3

令g(a)=-a2+L(a>l),易得g(a)在(1,+8)上单调递减,且g(3)=-^,所以kaW3.故选B.

5.BC由题意得解得x>0且xWl,

所以函数卢的定义域为(0,1)U(1,+8),所以A不正确；

Inx

当XG(0,1)时，InKO,e*>0,故f(x)<0,

所以f(x)在(0,1)上的图象都在x轴下方,所以B正确;

ex(lnx-^)

易得f'(x)=

(Inx)2

设g(x)=lnX--,则g'(x)」+W

XXx£

当x>0时,g'(x)>0,

所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增,

又g(e)=l,>0,

e

所以f'(x)>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C正确;

又g⑴=T<0,所以存在XoG(1,e),使得g(x())=0,

则f'(x)=0有且只有一个根岛

当xR(0,1)时，f'(x)<0,F(x)单调递减，

当xW(1,m)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

当xC(Xo,+8)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

所以函数f(x)只有一个极值点,所以D不正确.

故选BC.

6.AC对于A,易知函数f(x)是偶函数，当,3=1时，f(x)=xsin广只当*>0时，f'(x)=sin

户xcos户2x2sinx-x+2x=x+sinx,

令g(x)=x+sinx,则g'(x)=l+cosx20,所以g(x)在(0,+8)上单调递增,则g(x)>g(0)=0,所以

f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(-8,0)上单调

递减,故M在产0时取得极小值,故A正确.

对于B,当a=-l时，f(x)=xsin『V=x(sinx-x),令/'(x)=0,得A=0,故函数f(x)有且仅有一个

零点，故B错误.

对于C,假设f(x)W0恒成立，因为函数f(x)是偶函数，所以Vxe(0,+8),f(x)W0,即sin

A+ajWO,

)，令人(入)=-普-0,+8),sin.,.*>-1,.言<1,故C正确.

'x/min工工

对于D,当户0时，f(x)=0,满足题意，此时a£R;

当代(0用时,易知心(一警)3,令加3=-等1e(0用),则

令〃(x)=-xcos户sinx(x£(。用),

贝U(x)=-cos户xsinA+COSA=xsinx>0,

.•.〃(*)在(0彳］上单调递增，

'.n{x)>z;(0)=0,即/(x)〉0,...Mx)在(0,手上单调递增，...///(x)噂)=-：,；.心-玄故D错误.

故选AC.

7.答案(-2,0)

解析f'(x)=糜*-2户2(水0),

设g{x)=me'-2A+2(Z»<0),则g，(x)=mex~2,

由水0得g，(x)-mex-2<0,所以g(x)=F'(x)在(0,1)上为减函数，

依题意得匕‘样=m6解得-2〈欣0.

故勿的取值范围为(-2,0).

解题模板

函数f(x)存在极值点等价于其导函数f'(x)存在变号零点，解题时可结合函数的单调性与

函数零点存在定理解决问题.

8.答案(-8,右

解析易知f(x)的定义域为(0,+8),

f'(*)=型宇+把-幺因为户2是函数f{x}的唯一极值点,所以f'(x)=0有唯一的实数根尸2,

XsX

即方程(『2)(e*-AV)=o有唯一的实数根产2,

所以e*-4f=0无解或有唯一解年2,即函数片后的图象与直线片衣无交点或只有一个横坐标为2

的交点.

设g(x)弃,则g'(x)=c%(x~2),

X2X3

当XR(0,2)时,g'(x)<0,g(x)为减函数；

当xC(2,+8)时,g，(x)>o,g(x)为增函数，

所以当A=2时,g(x)取极小值,也是最小值,为今

因为当『*0时,g(x)f+8；当Xf+8时,g(*)f+8,所以k^—.

4

所以A的取值范围为(一8,口.

9解析(1)当折0时，f(x)=(l+cosx)e：则/'(x)=(-sinx)e'+(l+cosx)e*=(l-sin户cos

x)e',

所以f70)=(1-0+1)e°=2.

又A0)=(l+l)e°=2,

所以曲线f(x)在产0处的切线方程为广2=2(『0),即2尸六2=0.

(2)由(1)知f'(x)=(l-sin户cosx)e'=[l—&sin(x—；)卜，

因为OWxW],所以-jWsin(x—W芋，

所以TW&sin(x—；)Wl,

所以0W1-&sin(x-gW2,

所以f'(x)=[l-V^sin—：)卜'20,

故函数f(x)在区间„上单调递增，

因为函数f(x)在区间„上只有一个零点，

(/(0)=2-m<0,1t

所以f/RE、八解得2〈勿We"

jy=e2-m>0,

即力的取值范围是[2,ez].

10.解析(1)当寸T时，f(x)=-xe*-(户1)；

f'(x)=-(e*+xe*)-2(«¥+l)=-(-rH)(e*+2),

令f'(x)=0,得x=-l.

当x变化时，f'(X)与/'(x)的变化情况如下表:

X(-8,-1)-1(-1,+°°)

f'(X)+0—

f{x)单调递增极大值单调递减

f(x)极大值=f(Te)无极小值.

(2)f'(*)=0(。'+胫")-2(户1)=(户1)(ae*-2),

,/MW0在xS［T,1］上恒成立，

-WO在xe［T,1］上恒成立.

(i)当aWO时，f(x)在［T,1］上单调递减，则f(x)11M=f(T)=-ae“W0,得a=0.

(ii)当a>0时，令f'(x)=0,得x=-\或年Ina

①若a22e,则若'(x)20在［T,1］上恒成立，

此时f(x)在［T,1］上单调递增，则/'(x)则=f(l)=ae-4>0,不符合题意；

②若0<a<2e,则In->-1,令，'(x)>0,得K-1或x>ln3令f'(x)<0,得T〈xGn

aaa

.."(x)在(—Lin上单调递减，在(in+8)上单调递增，

故当xR［T,1］时，M的最大值为f(T)与f(l)中的较大者，

要满足MW0在xe［T,1］上恒成立,只需=一解得0<a<.

综上,a的取值范围为［O耳

方法技巧

不等式恒成立问题的常见解法:①分离参数,。巳代旧恒成立心巳咒旧力或aWf(x)恒成立

(aWf(x%n);②数形结合，画出相应函数的图象，利用函数图象的位置关系求解;③讨论参数,

排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

11.解析⑴/'(X)的定义域为(0,+8),f，(才)=3+1」