沪科版数学九年级上册全册单元测试卷

最新沪科版九年级上册数学第21章单元测试卷(150分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题4分，共40分)1．下列函数中，不是反比例函数的是()A．x＝eq\f(5,y)B．y＝－eq\f(k,x)(k≠0)C．y＝eq\f(x－1,7)D．y＝－eq\f(1,|x|)2．抛物线y＝－x2不具有的性质是()A．开口向下B．对称轴是y轴C．与y轴不相交D．最高点是原点3．某公司举行年会，一共有n个人参加，若每两个人都要握手一次，握手的总次数为y，则y与n之间的函数表达式为()A．y＝n2＋nB．y＝n2－nC．y＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)nD．y＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n4．关于反比例函数y＝eq\f(2,x)的说法正确的是()A．图象经过点(1，1)B．图象的两个分支分布在第二、四象限C．图象的两个分支关于x轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜2B．x＞2C．x＜－1D．x＜－1或x＞26．函数y＝eq\f(a,x)与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()(第5题)7．二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过点(1，0)，则代数式2－a－b的值为()A．－3B．0C．4D．－48．(2015·苏州)若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为()A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝59．把函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为y＝x2－3x＋5，则()A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5D．b＝－9，c＝2110．如图所示，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点(都不与正方形ABCD的顶点重合)，且AE＝BF＝CG＝DH，设四边形EFGH的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是()(第10题)二、填空题(每题5分，共20分)11．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的长为x米，则菜园的面积y(平方米)与x(米)的函数表达式为________．(不要求写出自变量x的取值范围)(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)12．如图，A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的表达式为________．13．如图，A、B是双曲线y＝eq\f(k,x)的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A的右侧，则b的取值范围是____________．14．函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，现给出以下结论：①3b＋c＝－6；②抛物线的对称轴是直线x＝eq\f(3,2)；③当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＞0；④两函数图象交点间的距离是2eq\r(2).其中正确结论的序号有________．三、解答题(15，16题每题10分，17题12分，18，19题每题14分，20，21题每题15分，共90分)15．(2015·珠海)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.(1)求证：2a＋b＝0；(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．16．人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．当车速为50千米/时时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(千米/时)的反比例函数，求f与v之间的函数表达式，并计算当车速为100千米/时时，视野的度数是多少？17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，其x≥0的部分如图．(1)求该抛物对应的函数的表达式，并写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y＝ax2＋bx＋c的x＜0的部分；(3)利用图象写出x为何值时，y＞0.(第17题)18．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？19．(2015·南充)反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)与一次函数y＝mx＋b(m≠0)交于点A(1，2k－1)．(1)求反比例函数的表达式；(2)若一次函数的图象与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的表达式．20．某农户生产经销一种季节性农副产品，已知这种产品的成本价为30元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价格x(元/千克)有如下关系：w＝－x＋60.设这种产品每天的销售利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数表达式．(2)当销售价格定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)为了尽快将产品销售完，且该农户想要每天的销售利润达到200元，那么销售价格应该定为多少？21．如图，已知二次函数图象的顶点为A(1，－3)，并经过点C(2，0)．(1)求该二次函数的表达式；(2)直线y＝3x与该二次函数的图象交于点B(非原点)，求点B的坐标和△AOB的面积；(3)点Q在x轴上运动，求出所有使得△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．(第21题)答案一、1.D2.C3．C点拨：y＝eq\f(1,2)n(n－1)＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n.4．D点拨：对于函数y＝eq\f(2,x)，当x＝1时，y＝2，故A不正确；∵2＞0，∴图象的两个分支分布在第一、三象限，故B不正确；图象的两个分支是关于原点对称的，故C不正确；当x＜0时，图象分布在第三象限，y随x的增大而减小，故D正确．5．D6．D点拨：当a＞0时，抛物线开口向上，双曲线的两个分支在第一、三象限；当a＜0时，抛物线开口向下，双曲线的两个分支在第二、四象限.故选项D正确．7．C点拨：将点(1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，得0＝a＋b＋2，故a＋b＝－2，故2－a－b＝2－(－2)＝4.8．D点拨：∵二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，∴－eq\f(b,2)＝2，解得b＝－4，∴关于x的方程x2＋bx＝5为x2－4x＝5，其解为x1＝－1，x2＝5.9．A点拨：y＝x2－3x＋5可变形为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(11,4)，所以原函数的表达式是y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(19,4)＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7.10．B点拨：由已知可得题图中四个直角三角形全等，面积相等，AE＝x，AH＝1－x，所以y＝1－4×eq\f(1,2)x(1－x)＝2x2－2x＋1，所以图象为开口向上，对称轴是直线x＝eq\f(1,2)的抛物线的一部分，故选B.二、11.y＝－eq\f(1,2)x2＋15x12．y＝eq\f(4,x)点拨：设这个反比例函数的表达式为y＝eq\f(k,x)，点A的坐标为(m，n)，m＞0，n＞0，则mn＝k.在△ABP中，AB＝m，AB边上的高为n，所以eq\f(1,2)mn＝2，所以k＝mn＝4，所以这个反比例函数的表达式为y＝eq\f(4,x).13．0＜b＜214．①②④点拨：把点(3，3)的坐标代入y＝x2＋bx＋c中，可得3b＋c＝－6；点(0，3)和点(3，3)都在抛物线上，所以抛物线的对称轴是直线x＝eq\f(3,2)；从两函数的图象可以看出，当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方，即x2＋bx＋c＜x，所以x2＋(b－1)x＋c＜0；两函数图象的两个交点分别是(1，1)和(3，3)，这两点到原点的距离分别为eq\r(2)和3eq\r(2)，所以这两点之间的距离是3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2).故①②④正确．三、15.(1)证明：由抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，得－eq\f(b,2a)＝1.∴2a＋b＝0.(2)解：抛物线y＝ax2＋bx－8与抛物线y＝ax2＋bx＋3有相同的对称轴，且方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4.设ax2＋bx－8＝0的另一个根为x2，则满足：4＋x2＝－eq\f(b,a).∵2a＋b＝0，即b＝－2a，∴4＋x2＝2，∴x2＝－2.(第17题)16．解：由题意，可设f与v之间的函数表达式为f＝eq\f(k,v)(k≠0)．∵当v＝50时，f＝80，∴80＝eq\f(k,50).解得k＝4000，∴f＝eq\f(4000,v).当v＝100时，f＝eq\f(4000,100)＝40.∴当车速为100千米/时时，视野为40度．17．解：(1)由抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)，得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝c，,0＝16a＋4b＋c，,－3＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝2，))所以该抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2，其顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(25,8))).(2)如图所示．(3)由图象可知，当－1＜x＜4时，y＞0.18．(1)证明：因为(－2m)2－4(m2＋3)＝－12＜0，所以方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，所以不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴都没有公共点．(2)解：设把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移a(a＞0)个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为y＝x2－2mx＋m2＋3－a.由得到的函数图象与x轴只有一个公共点，可知方程x2－2mx＋m2＋3－a＝0有两个相等的实数根，所以(－2m)2－4(m2＋3－a)＝0.解得a＝3.所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．19．解：(1)∵反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象过点A(1，2k－1)，∴eq\f(k,1)＝2k－1，解得k＝1.∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(1,x).(第19题)(2)如图，∵A(1，2k－1)，k＝1，∴点A(1，1)，点A到x轴的距离AM＝1.由题意知S△AOB＝eq\f(1,2)OB·AM＝3，∴eq\f(1,2)OB×1＝3，即OB＝6.故B(6，0)或B′(－6，0)．①当一次函数的图象过点A(1，1)，B(6，0)时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋b＝1，,6m＋b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,5)，,b＝\f(6,5).))∴一次函数的表达式为y＝－eq\f(1,5)x＋eq\f(6,5).②当一次函数的图象过点A(1，1)，B′(－6，0)时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋b＝1，,－6m＋b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,7)，,b＝\f(6,7).))∴一次函数的表达式为y＝eq\f(1,7)x＋eq\f(6,7).综上可知，一次函数的表达式为y＝－eq\f(1,5)x＋eq\f(6,5)或y＝eq\f(1,7)x＋eq\f(6,7).20．解：(1)y与x之间的函数表达式为y＝w(x－30)＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋90x－1800.(2)∵y＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225，∴当销售价格定为45元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)令y＝200，则－(x－45)2＋225＝200，解得x1＝50，x2＝40.对于w＝－x＋60，w随着x的增大而减小，∴当x＝40时，销售量w更大．故销售价格应该定为40元/千克．21．解：(1)由二次函数图象的顶点为A(1，－3)可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.∵其图象过点C(2，0)，∴0＝a－3，解得a＝3，∴该二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3＝3x2－6x.(2)解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,y＝3x2－6x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝9，))∴点B的坐标为(3，9)．由A(1，－3)，B(3，9)可求得直线AB对应的函数表达式为y＝6x－9.令y＝0，得x＝eq\f(3,2).设直线AB与x轴的交点为D，则OD＝eq\f(3,2)，∴S△AOB＝S△BOD＋S△AOD＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×9＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×3＝9.(第21题)(3)△AOQ是等腰三角形分以下三种情况：①AO＝AQ，此时点Q与点C重合，∴点Q的坐标为(2，0)．②OQ＝OA.由A(1，－3)可求得OA＝eq\r(10)，∴OQ＝eq\r(10)，∴此时点Q的坐标为(－eq\r(10)，0)或(eq\r(10)，0)．③QO＝QA，如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，则AQ＝x，OE＝1，AE＝3.设OQ＝x，则AQ＝x，EQ＝x－1.在Rt△AEQ中，AQ2＝EQ2＋AE2，∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴此时点Q的坐标为(5，0)．综上，满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－eq\r(10)，0)或(eq\r(10)，0)或(5，0)．最新沪科版九年级上册数学第22章单元测试卷(150分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题4分，共40分)1．若eq\f(m＋n,n)＝eq\f(5,2)，则eq\f(m,n)等于()A.eq\f(5,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,2)2．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为()A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．4∶1(第3题)3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为()A．4B．5C．6D．84．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是()(第4题)5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BDC．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD(第5题)(第6题)(第7题)6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()A．60mB．40mC．30mD．20m7．如图，△ABO是由△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O上，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为()A．(2m，n)B．(m，n)C．(m，2n)D．(2m，2n)8．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于()A．1∶2B．1∶5C．1∶4D．1∶3(第8题)(第9题)(第10题)9．(2014·南通)如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为()A．1B．2C．12eq\r(2)－6D．6eq\r(2)－610．(2015·齐齐哈尔)如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝eq\f(1,3)S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题5分，共20分)11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500000的地图上测得所居住的城市距A地32cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.12．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．(第12题)(第13题)(第14题)13．(2015·南京)如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝eq\f(1,x)，则y2与x的函数表达式是____________．14．(2015·潍坊)如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，依次类推，则Sn＝________.(用含n的式子表示)三、解答题(16题10分，19、20题每题14分，21题16分，其余每题12分，共90分)15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(第20题)(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝________．(不写解答过程，直接写出结果)16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且eq\f(AD,AB)＝eq\f(CE,CB).求证：DE∥AC.(第16题)17．如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N(不含A，B)，使得△CDM与△MAN相似？若能，请求出AN的长；若不能，请说明理由．(第17题)18．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．(第18题)19．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？(第19题)20．(2015·资阳)如图所示，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第20题)21．(2015·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2(m＞0)与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B(x1，0)，C(x2，0)，且x2－x1＝4.直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0)，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；(3)当t＞2时，是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(第21题)答案一、1.D2.B3．C点拨：因为DE∥BC，所以AE∶AC＝AD∶AB＝3∶9＝1∶3，则AC＝6.4．A5．A点拨：因为△ABC∽△DBA，所以eq\f(AB,DB)＝eq\f(BC,BA)＝eq\f(AC,DA).所以AB2＝BC·BD，AB·AD＝AC·DB.6．B点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(BE,CE).即eq\f(AB,20)＝eq\f(20,10)，∴AB＝40m.7．D点拨：将△A′B′O经过位似变换得到△ABO，由题图可知，点O是位似中心，位似比为A′B′∶AB＝1∶2，所以点P′(m，n)经过位似变换后的对应点P的坐标为(2m，2n)．8．B点拨：延长FE，CD交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，易证△AFE∽△DHE，∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(AF,HD)，即eq\f(1,3)＝eq\f(AF,HD)，∴HD＝3AF.易证△AFG∽△CHG，∴eq\f(AG,GC)＝eq\f(AF,HC)＝eq\f(AF,3AF＋2AF)＝eq\f(1,5).故选B.(第9题)9．D点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD∶AB＝AG∶AC.又∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝eq\f(1,2)BC＝6.∴AM＝eq\r(AB2－BM2)＝12eq\r(2).∵DG∥BC，∴eq\f(AN,AM)＝eq\f(DG,BC).即eq\f(AN,12\r(2))＝eq\f(6,12).∴AN＝6eq\r(2).∴MN＝AM－AN＝6eq\r(2).∴FH＝MN－GF＝6eq\r(2)－6.故选D.10．D点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝eq\f(1,2)AB.∵点D、点N分别是BC，AC的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝eq\f(1,2)AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确．∵DN∥AB，∴△CDN∽△CBA.∴S△CND∶S△CAB＝(DN∶AB)2＝1∶4.∴S△CND＝eq\f(1,3)S四边形ABDN.②正确．连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM＝eq\f(1,2)AC，DM∥AC.∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD＝∠AND.∴∠EMD＝∠FND.∵FN是AC边上的中线，∴FN＝eq\f(1,2)AC.∴DM＝FN，∴△DEM≌△FDN.∴DE＝DF.③正确．∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.∴DE⊥DF.④正确．故选D.二、11.160点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为xkm，根据题意可列比例式为eq\f(1,500000)＝eq\f(32,x×105)，解得x＝160.12.eq\f(16,3)或3点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝eq\f(16,3)；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.(第13题)13．y2＝eq\f(4,x)点拨：如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则S△AOC＝eq\f(1,2)，△AOC∽△BOD，∴eq\f(S△AOC,S△BOD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,OB)))eq\s\up12(2).∵点A为OB的中点，∴eq\f(S△AOC,S△BOD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，∴S△BOD＝2.设y2与x的函数表达式是y2＝eq\f(k,x)(k≠0)，则eq\f(1,2)|k|＝2，∴k＝±4.∵函数y2的图象在第一、三象限，∴k＞0，∴k＝4，∴y2与x的函数表达式是y2＝eq\f(4,x).14.eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)点拨：在正△ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝eq\f(1,2)BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝eq\r(AB2－BB12)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴eq\f(S1,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2).∴S1＝eq\f(3,4)S.同理可得：S2＝eq\f(3,4)S1，S3＝eq\f(3,4)S2，S4＝eq\f(3,4)S3，….又∵S＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴S1＝eq\f(3,4)S＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,4)，S2＝eq\f(3,4)S1＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2).S3＝eq\f(3,4)S2＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)，S4＝eq\f(3,4)S3＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(4)，…，Sn＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n).三、15.分析：(1)根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置，进而得出答案；(2)将△A1B1C1三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2得出各点坐标，进而得出答案；(3)利用相似图形的性质得出相似比，进而得出答案．解：(1)如图：△A1B1C1即为所求；(第15题)(2)如图：△A2B2C2即为所求；(3)1∶416．证明：∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(CE,CB)，∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(BE,BC)又∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC.17．解：分两种情况讨论：(1)若△CDM∽△MAN，则eq\f(DM,AN)＝eq\f(CD,MA).∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝eq\f(1,4)a.(2)若△CDM∽△NAM，则eq\f(CD,NA)＝eq\f(DM,AM).∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a，即N点与B点重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N(不含A，B)，使得△CDM与△MAN相似，此时AN＝eq\f(1,4)a.18．解：由题意可得DE∥BC，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，即eq\f(AD,AD＋DB)＝eq\f(DE,BC).因为AD＝16m，BC＝50m，DE＝20m，所以eq\f(16,16＋DB)＝eq\f(20,50).解得DB＝24m.答：这条河的宽度为24m.19．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF，所以12－2t＝4t，解得t＝2，所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则eq\f(EC,AD)＝eq\f(FC,CD)，所以eq\f(12－2t,12)＝eq\f(4t,24).解得t＝3，即当t＝3时，△EFC∽△ACD.②若△FEC∽△ACD，则eq\f(FC,AD)＝eq\f(EC,CD)，所以eq\f(4t,12)＝eq\f(12－2t,24).解得t＝1.2，即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．20．(1)证明：由AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，得△ADE≌△DCF.(2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH＝90°，所以∠QEC＋∠AED＝90°.又因为∠AED＋∠EAD＝90°，所以∠EAD＝∠QEC.因为∠ADE＝∠C＝90°，所以△ECQ∽△ADE，所以eq\f(CQ,DE)＝eq\f(EC,AD).因为E是CD的中点，所以EC＝DE＝eq\f(1,2)AD，所以eq\f(EC,AD)＝eq\f(1,2).因为DE＝CF，所以eq\f(CQ,DE)＝eq\f(CQ,CF)＝eq\f(1,2).即Q是CF的中点．(3)解：S1＋S2＝S3成立．理由：因为△ECQ∽△ADE，所以eq\f(CQ,DE)＝eq\f(QE,AE)，所以eq\f(CQ,CE)＝eq\f(QE,AE).因为∠C＝∠AEQ＝90°，所以△AEQ∽△ECQ，所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.所以eq\f(S1,S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EQ,AQ)))eq\s\up12(2)，eq\f(S2,S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AQ)))eq\s\up12(2).所以eq\f(S1,S3)＋eq\f(S2,S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EQ,AQ)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AQ)))eq\s\up12(2)＝eq\f(EQ2＋AE2,AQ2).在Rt△AEQ中，由勾股定理，得EQ2＋AE2＝AQ2，所以eq\f(S1,S3)＋eq\f(S2,S3)＝1，即S1＋S2＝S3.21．解：(1)由题意知x1，x2是方程mx2－8mx＋4m＋2＝0的两根，∴x1＋x2＝8.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8，,x2－x1＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,x2＝6.))∴B(2，0)，C(6，0)．则4m－16m＋4m＋2＝0，解得m＝eq\f(1,4)，∴该抛物线对应的函数表达式为y＝eq\f(1,4)x2－2x＋3.(2)由(1)可求得A(0，3)，设线段AC所在直线对应的函数表达式为y＝kx＋b，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,6k＋b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝3.))∴线段AC所在直线对应的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋3.要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：①当0＜t＜6时，设直线l与AC的交点为F，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)t＋3)).∵Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,4)t2－2t＋3))，∴PF＝－eq\f(1,4)t2＋eq\f(3,2)t.∴S△APC＝S△APF＋S△CPF＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t))·t＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t))·(6－t)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t))·6＝－eq\f(3,4)(t－3)2＋eq\f(27,4).当t＝3时，△APC面积的最大值是eq\f(27,4).②当6＜t≤8时，延长AC交直线l于H，则Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)t＋3))，∴PH＝eq\f(1,4)t2－eq\f(3,2)t，∴S△APC＝S△APH－S△PCH＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t2－\f(3,2)t))·t－eq\f(1,2)(eq\f(1,4)t2－eq\f(3,2)t)·(t－6)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t2－\f(3,2)t))·6＝eq\f(3,4)(t－3)2－eq\f(27,4).此时，当t＝8时，△APC面积的最大值是12＞eq\f(27,4).综上，当t＝8时，△APC面积的最大值是12.(3)由题意可知：OA＝3，OB＝2，Q(t，3)，t＞2.当P在直线AD下方时，令△AOB∽△AQP，∴eq\f(AO,AQ)＝eq\f(OB,QP)，∴eq\f(3,t)＝eq\f(2,3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t2－2t＋3)))，解得t＝0(舍去)或t＝eq\f(16,3).令△AOB∽△PQA，∴eq\f(AO,PQ)＝eq\f(OB,QA)，∴eq\f(3,3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t2－2t＋3)))＝eq\f(2,t)，解得t＝0(舍去)或t＝2(舍去)．当P在直线AD上方时，令△AOB∽△AQP，∴eq\f(AO,AQ)＝eq\f(OB,QP)，∴eq\f(3,t)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t2－2t＋3))－3)，解得t＝0(舍去)或t＝eq\f(32,3).令△AOB∽△PQA，∴eq\f(AO,PQ)＝eq\f(OB,QA)，∴eq\f(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t2－2t＋3))－3)＝eq\f(2,t)，解得t＝0(舍去)或t＝14.综上所述，满足条件的点P有3个，此时t的值分别是eq\f(16,3)，eq\f(32,3)，14.最新沪科版九年级上册数学第23章单元测试卷(150分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题4分，共40分)1．(2015·天津)cos45°的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,3)3．如图，要测量河两岸A，C两点间的距离，已知AC⊥AB，测得AB＝a，∠ABC＝α，那么AC等于()A．a·sinαB．a·cosαC．a·tanαD.eq\f(a,sinα)(第3题)(第5题)(第6题)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是()A．a＝c·sinBB．a＝c·cosBC．b＝c·sinAD．b＝eq\f(a,tanB)5．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是eq\f(4,3)，则sinα的值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(5,3)6．如图所示，在△ABC中，cosB＝eq\f(\r(2),2)，sinC＝eq\f(3,5)，BC＝7，则△ABC的面积是()A.eq\f(21,2)B．12C．14D．217．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝2，则tan∠DBE的值是()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(5),5)8．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝()A．1B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D.eq\f(4\r(3),3)(第7题)(第8题)(第10题)9．阅读材料：因为cos0°＝1，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，cos90°＝0，所以，当0°＜α＜90°时，cosα随α的增大而减小．解决问题：已知∠A为锐角，且cosA＜eq\f(1,2)，那么∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜90°10．如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3m，台阶AC的坡度为1∶eq\r(3)，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为()A．6mB．7mC．8mD．9m二、填空题(每题5分，共20分)11．若∠A是锐角，且sinA是方程2x2－x＝0的一个根，则sinA＝________．12．如图所示，在等腰三角形ABC中，tanA＝eq\f(\r(3),3)，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的长是________．(第12题)(第13题)13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sin30°＝eq\f(1,2)，sin45°＝eq\f(\r(2),2)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)；观察上述等式，当∠A与∠B互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B的余弦函数值之间的关系：______________．三、解答题(19～21题每题12分，22题14分，其余每题10分，共90分)15．计算：(1)2sin30°＋eq\r(2)cos45°－eq\r(3)tan60°；(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠B＝60°，解这个直角三角形．17．(2015·襄阳)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq\f(1,3)，cosC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2).求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．(第17题)18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(1)若sinC＝eq\f(12,13)，BC＝12，求△ABC的面积．(第18题)19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tanA＝2.求CD的长．(第19题)20．(2015·珠海)如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点，已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)(第20题)21．(2014·临夏)为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1cm)．(第21题)22．(2015·重庆)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)(第22题)答案一、1.B2．B点拨：由余弦定义可得cosA＝eq\f(AC,AB)，因为AB＝10，AC＝6，所以cosA＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故选B.3．C点拨：因为tanα＝eq\f(AC,AB)，所以AC＝AB·tanα＝a·tanα.4．B点拨：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据余弦的定义可得，cosB＝eq\f(a,c)，即a＝c·cosB.5．A点拨：由题意可知m＝4.根据勾股定理可得OP＝5，所以sinα＝eq\f(4,5).6．A点拨：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝3x，∵cosB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠B＝45°，则BD＝AD＝3x.又sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(3,5)，∴AC＝5x，则CD＝4x.∵BC＝BD＋CD＝3x＋4x＝7，∴x＝1，AD＝3，故S△ABC＝eq\f(1,2)AD·BC＝eq\f(21,2).7．B8．C点拨：设BD＝x，则CD＝2－x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴DE＝BDsin60°＝eq\f(\r(3),2)x，DF＝CDsin60°＝eq\f(2\r(3)－\r(3)x,2).∴DE＋DF＝eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(2\r(3)－\r(3)x,2)＝eq\r(3).9．C点拨：由0＜cosA＜eq\f(1,2)，得cos90°＜cosA＜cos60°，故60°＜∠A＜90°.10．D点拨：过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3m．设DE＝xm，在Rt△CDE中，CE＝eq\f(DE,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)xm．在Rt△ABC中，∵eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,\r(3))，AB＝3m，∴BC＝3eq\r(3)m．在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝(x－3)m，∴AF＝eq\f(DF,tan30°)＝eq\r(3)(x－3)m．∵AF＝BE＝BC＋CE，∴eq\r(3)(x－3)＝3eq\r(3)＋eq\f(\r(3),3)x，解得x＝9，∴这棵树DE的高度为9m.二、11.eq\f(1,2)点拨：解方程2x2－x＝0，得x＝0或x＝eq\f(1,2).因为∠A是锐角，所以0＜sinA＜1，所以sinA＝eq\f(1,2).12．4eq\r(3)点拨：∵tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.又AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝60°，∴CD＝BC·sin∠DBC＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).(第13题)13.eq\f(4,3)点拨：如图，过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，M，N关于AC对称，DM＝1，∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan∠ADN＝eq\f(GN,GD)＝eq\f(4,3).14．sinA＝cosB三、15.解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)＋eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－eq\r(3)×eq\r(3)＝1＋1－3＝－1.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(7,12).16．解：因为∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.因为sinA＝eq\f(BC,AB)，所以eq\f(1,2)＝eq\f(6,AB)，得AB＝12.因为tanB＝eq\f(AC,BC)，所以eq\r(3)＝eq\f(AC,6)，得AC＝6eq\r(3).(第17题)17．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.∵cosC＝eq\f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，∵tanB＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3).∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝2.∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∴DE＝AE.又∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°.∴sin∠ADC＝eq\f(\r(2),2).18．(1)证明：∵AD⊥BC，∴tanB＝eq\f(AD,BD)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC).又tanB＝cos∠DAC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝BD.(2)解：由sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13)，可设AD＝12x，则AC＝13x，由勾股定理得CD＝5x.由(1)知AC＝BD，∴BD＝13x，∴BC＝5x＋13x＝12，解得x＝eq\f(2,3)，∴AD＝8，∴△ABC的面积为eq\f(1,2)×12×8＝48.(第19题)19．解：如图所示，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tanA＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝2x，∴AE＝3x，CE＝eq\r(5)x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得x＝eq\f(7,3)eq\r(5)，∴CE＝eq\r(5)×eq\f(7,3)eq\r(5)＝eq\f(35,3)，则CD＝14－eq\f(35,3)＝eq\f(7,3).20．解：在Rt△ADB中，tan60°＝eq\f(123,DB)，∴DB＝eq\f(123,\r(3))＝41eq\r(3)米．又∵FB＝OE＝10米，∴CF＝DB－FB＋CD＝41eq\r(3)－10＋40＝(41eq\r(3)＋30)(米)．∵α＝45°，∴EF＝CF≈100米．答：点E离地面的高度EF约为100米．21．解：(1)在Rt△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，∴AD＝eq\r(452＋602)＝75(cm)，∴车架档AD的长是75cm.(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵AE＝AC＋CE＝45＋20＝65(cm)，∴EF＝AEsin75°＝65sin75°≈62.79≈63(cm)，∴车座点E到车架档AB的距离约为63cm.点拨：解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形计算．22．解：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，在Rt△PEM中，tan31°＝eq\f(PE,ME)，∴ME≈eq\f(30,0.60)＝50(米)．∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．答：两渔船M，N之间的距离约为20米．(2)如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．(第22题)∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，∴AG＝24×0.25＝6(米)．∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．∴S△ADH＝eq\f(1,2)AH·DG＝eq\f(1,2)×36×24＝432(平方米)．∴需要填筑的土石方为432×100＝43200(立方米)．设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，根据题意，得10＋eq\f(43200－10x,2x)＝eq\f(43200,x)－20.解方程，得x＝864.经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．最新沪科版九年级上册数学期末测试卷(150分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题4分，共40分)1．下列函数中，不是反比例函数的是()A．x＝eq\f(5,y)B．y＝－eq\f(k,x)(k≠0)C．y＝eq\f(x－1,7)D．y＝－eq\f(1,|x|)2．反比例函数y＝eq\f(k－3,x)图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是()A．k＜3B．k＞0C．k＞3D．k＜03．已知x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是()A.eq\f(x＋y,y)＝eq\f(7,2)B.eq\f(x－y,y)＝eq\f(3,2)C.eq\f(x,x＋y)＝eq\f(5,7)D.eq\f(x,y－x)＝eq\f(5,3)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()A．(2，3)B．(4，3)C．(3，3)D．(3，2)(第5题)(第6题)6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气体内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，安全起见，气球的体积应()A．不小于eq\f(5,4)m3B．小于eq\f(5,4)m3C．不小于eq\f(4,5)m3D．小于eq\f(4,5)m37．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()A．4kmB．2eq\r(3)kmC．2eq\r(2)kmD．(eq\r(3)＋1)km(第7题)(第8题)(第10题)8．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为()A．9∶4B．3∶2C．4∶3D．16∶99．(2015·广东)如图，已知正△ABC的边长为2.E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是()(第9题)eq\a\vs4\al(,)10．(中考·荆州)如图，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB，BC上的点P2和P3(入射角等于反射角)，且1＜BP3＜eq\f(3,2)，则P1C长的取值范围是()A．1＜P1C＜eq\f(7,6)B.eq\f(5,6)＜P1C＜1C.eq\f(3,4)＜P1C＜eq\f(4,5)D.eq\f(7,6)＜P1C＜2二、填空题(每题5分，共20分)11．如图，上午10时小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为________m.12．如图，点A在双曲线y＝eq\f(1,x)上，点B在双曲线y＝eq\f(3,x)上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为________．(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)13．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，化简eq\r(（a＋c）2)＋eq\r(（c－b）2)的结果为：①c；②b；③a－b；④a－b＋2c.其中正确的有________(填写所有正确的序号)14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象交于二、四象限的A，B两点，与x轴交于C点．已知A(－2，m)，B(n，－2)，tan∠BOC＝eq\f(2,5)，则此一次函数的表达式为________________．三、解答题(15～19题每题10分，20题12分，21，22题每题14分，共90分)15．计算：(1)2sin30°＋cos60°－tan60°·tan30°＋cos245°.(2)|eq\r(3)－5|＋2·cos30°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)＋(9－eq\r(3))0＋eq\r(4)16．如图所示，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA.若BE＝6，EC＝7，AC＝12，求AD的长．(第16题)17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(4，8)、B(4，2)、C(8，6)．(1)在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为eq\f(1,2)的△A1B1C1，并写出A1、C1点的坐标；(2)如果△ABC内部一点P的坐标为(x，y)，写出点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．(第17题)18．如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq\f(k2,x)相交于A(1，2)、B(m，－1)两点．(1)求m的值；(2)若A1(x1，y1)、A2(x2，y2)、A3(x3，y3)为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系；(3)观察图象，请直接写出不等式k1x＋b＞eq\f(k2,x)的解集．(第18题)19．(2014·北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．(1)求抛物线对应的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．(第19题)20．如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的表达式为y＝eq\f(1,18)x2＋eq\f(1,6)x(0≤x≤10)．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得A，R的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．(1)求发射点L与雷达站R之间的距离；(2)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．(第20题)21．(2015·资阳)北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq\r(3)≈1.7)(第21题)22．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过点B作PC的垂线，垂足为点H，连接HD、HQ.(1)图中有________对相似三角形；(2)若正方形ABCD的边长为1，P为AB的三等分点，求△BHQ的面积；(3)求证：DH⊥HQ.(第22题)答案一、1.C2．C点拨：因为反比例函数y＝eq\f(k－3,x)图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，所以k－3＞0，解得k＞3，所以选C.3．D点拨：设x＝5k，y＝2k，则eq\f(x＋y,y)＝eq\f(5k＋2k,2k)＝eq\f(7,2)，eq\f(x－y,y)＝eq\f(5k－2k,2k)＝eq\f(3,2)，eq\f(x,x＋y)＝eq\f(5k,5k＋2k)＝eq\f(5,7)，eq\f(x,y－x)＝eq\f(5k,2k－5k)＝－eq\f(5,3)，故选D.4．B点拨：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得BC＝6，则sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故选B.5．B点拨：由题意可知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A的坐标为(0，3)，且AB与x轴平行，所以点B的坐标为(4，3)，故选B.6．C点拨：设p＝eq\f(k,V)，因为点(1.6，60)在双曲线上，故60＝eq\f(k,1.6)，所以k＝96，所以当p＝120kPa时，V＝eq\f(4,5)m3，结合图象可知，为保证安全，应使气球的体积不小于eq\f(4,5)m3.(第7题)7．C点拨：如图所示，过点A作AD⊥OB，垂足为点D.在Rt△AOD中，由题意可知，∠AOD＝30°，∠OAD＝60°，所以AD＝sin30°×OA＝eq\f(1,2)×4＝2(km)．因为∠DAB＝90°＋15°－60°＝45°，所以△DAB是等腰直角三角形，所以AB＝eq\r(2)AD＝2eq\r(2)km.8．D点拨：设CF＝x，则BF＝3－x，由折叠得B′F＝BF＝3－x.在Rt△FCB′中，由勾股定理得CF2＋CB′2＝FB′2，即x2＋12＝(3－x)2，解得x＝eq\f(4,3).由已知可证Rt△FCB′∽Rt△B′DG，所以S△FCB′与S△B′DG之比为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)∶1))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,9).(第9题)9．D点拨：在△ABC中，∵AE＝BF＝CG＝x，∴BE＝CF＝AG＝2－x.又∵∠A＝∠B＝∠C，∴△AEG≌△BFE≌△CGF.如图，过点G作GH⊥AE，在Rt△AGH中，sinA＝eq\f(GH,AG)，∴GH＝AG·sinA＝(2－x)·sin60°＝(2－x)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)x，∴S△AEG＝eq\f(1,2)·AE·GH＝eq\f(1,2)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(\r(3),2)x))＝－eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),2)x.∵正△ABC的边长为2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\r(3).∴y＝S△EFG＝S△ABC－3S△AEG＝eq\r(3)－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)x2＋\f(\r(3),2)x))＝eq\f(3\r(3),4)x2－eq\f(3\r(3),2)x＋eq\r(3)，∴y＝eq\f(3\r(3),4)(x－1)2＋eq\f(\r(3),4).又∵y与x是二次函数关系，∴y关于x的函数图象是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),4)))为顶点，且开口向上的抛物线，∴D选项正确．10．A点拨：易证得△AP1P2∽△CP1P0∽△BP3P2.∴eq\f(BP3,BP2)＝eq\f(CP1,CP0)＝eq\f(AP1,AP2).∴eq\f(BP3＋AP1,BP2＋AP2)＝eq