全等三角形的计算与证明大题专练八年级数学上册尖子生培优题典22

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题全等三角形的计算与证明大题专练〔重难点培优30题〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题〔共30小题〕1．〔2021•通州区一模〕：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据等式的性质得出BC＝EF，进而由全等三角形的判定可求解．【解析】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC与△DEF中，AB=∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．2．〔2021秋•新宾县期末〕，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．〔1〕求证：△ADE≌△ABC；〔2〕求证：AE＝CE．【分析】〔1〕证得∠DAB＝∠CAB，根据ASA即可得出△ABC≌△ADE；〔2〕由〔1〕可得AE＝AC，即可判定△AEC为等边三角形，即可得出答案．【解析】〔1〕证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，在△ABC和△ADE中，∠BAC∴△ABC≌△ADE〔ASA〕；〔2〕证明：由〔1〕得△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵∠2＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．3．〔2021春•九龙坡区校级月考〕如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．〔1〕求证：BD＝CE；〔2〕假设∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．【分析】〔1〕证明△ABD≌△ACE〔SAS〕，由全等三角形的性质可得出BD＝CE；〔2〕由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性质求出∠DAE＝20°，那么可求出答案．【解析】解：〔1〕证明∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE〔SAS〕，∴BD＝CE；〔2〕∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C＝40°，∵∠E＝80°，∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．4．〔2021•三水区一模〕如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．〔1〕求证△AMB≌△CNA；〔2〕求证∠BAC＝90°．【分析】〔1〕由HL证明△AMB≌△CNA即可；〔2〕先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解析】证明：〔1〕∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，AB=∴Rt△AMB≌Rt△CNA〔HL〕；〔2〕由〔1〕得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．5．〔2021秋•河东区期末〕如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC与DE交于点G，∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BE＝CF．〔1〕求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；〔2〕假设∠F＝30°，GE＝2，求CE．【分析】〔1〕由“HL〞可证Rt△ABC≌Rt△DEF；〔2〕由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】〔1〕∵BE＝CF∴BE+CE＝CF+CE即BC＝EF在Rt△ABC和Rt△DEF中BC∴Rt△ABC≌Rt△DEF〔HL〕〔2〕∵Rt△ABC≌Rt△DEF∴∠ACE＝∠F∵∠F＝30°∴∠ACE＝30°∴AC∥DF∴∠CGE＝∠D∵∠D＝90°∴∠CGE＝90°∵在Rt△CGE中，∠ACB＝30°，GE＝2∴CE＝2GE＝46．〔2021秋•綦江区期末〕如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．〔1〕假设AC＝BC＝7，求DE的长；〔2〕求证：BE+CD＝BC．【分析】〔1〕证明△ADE为等边三角形，可得结论；〔2〕在BC上截取BH＝BE，证明两对三角形全等：△EBF≌△HBF，△CDF≌△CHF，可得结论．【解析】解：〔1〕∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB，又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴D、E分别是AC、AB的中点，∴AD=12AC，AE=∴AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AE=7〔2〕证明：在BC上截取BH＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BF＝BF∴△EBF≌△HBF〔SAS〕，∴∠EFB＝∠HFB＝60°．∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝60°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFB＝120°，∴∠CFH＝60°，∴∠CFH＝∠CFD＝60°，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CHF〔ASA〕．∴CD＝CH，∵CH+BH＝BC，∴BE+CD＝BC．7．〔2021•淮安模拟〕如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．【分析】求出CF＝BE，根据SAS证△AEB≌△CFD，推出CD＝AB，∠C＝∠B，根据平行线的判定推出CD∥AB．【解析】解：CD∥AB，CD＝AB，理由是：∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，∴CF＝BE，在△AEB和△CFD中，CF=∴△AEB≌△CFD〔SAS〕，∴CD＝AB，∠C＝∠B，∴CD∥AB．8．〔2021•官渡区一模〕风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图，在小明设计的“风筝〞图案中，AB＝AD．∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．【分析】由“ASA〞可证△BAC≌△DAE，可得AC＝AE．【解析】证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，∠B∴△BAC≌△DAE〔ASA〕，∴AC＝AE．9．〔2021•平阳县一模〕如图，在四边形ABCD中，∠A＝Rt∠，对角线BD平分∠ABC，且BD＝BC，CE⊥BD于点E．〔1〕求证：△ABD≌△EBC；〔2〕当∠ADB＝60°时，求∠DCE的度数．【分析】〔1〕由“AAS〞可证：△ABD≌△EBC；〔2〕由等腰三角形的性质可求∠BDC＝75°，即可求解．【解析】证明：〔1〕∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BC，∠A＝∠CEB＝90°，∴△ABD≌△EBC〔AAS〕〔2〕∵∠ADB＝60°，∴∠ABD＝30°，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，且BD＝BC，∴∠BDC＝75°，∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝15°．10．〔2021•宜兴市一模〕：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．求证：〔1〕AD＝BC；〔2〕AE∥CF．【分析】〔1〕根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的判定得出△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得出即可；〔2〕求出∠EDA＝∠FBC，根据全等三角形的判定得出△EDA≌△FBC，根据全等三角形的性质得出∠E＝∠F即可．【解析】证明：〔1〕∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠CBD，在△ADB和△CBD中∠∴△ADB≌△CBD〔AAS〕，∴AD＝BC；〔2〕∵∠ADB＝∠CBD，∠ADB+∠EDA＝180°，∠CBD+∠FBC＝180°，∴∠EDA＝∠FBC，在△EDA和△FBC中DE∴△EDA≌△FBC〔SAS〕，∴∠E＝∠F，∴AE∥CF．11．〔2021•金台区一模〕如图，AD⊥CD，BC⊥CD，∠AED＝∠EBC，AD＝CE，求证：AE＝EB．【分析】由“AAS〞可证△ADE≌△ECB，可得AE＝BE．【解析】证明：∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴∠C＝∠D＝90°，在△ADE和△ECB中，∠D∴△ADE≌△ECB〔AAS〕，∴AE＝BE．12．〔2021秋•常州期末〕：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：△ABC≌△EAD．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，∴∠D＝∠ACB，在△ABC与△EAD中，∠CAB∴△ABC≌△EAD〔AAS〕．13．〔2021秋•淮安区期末〕如图，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF．【分析】求出BC＝EF，根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．【解析】证明：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．14．〔2021秋•玄武区期末〕如图，AC、BD交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，求证：AB＝DC．【分析】由“ASA〞可证△ABO≌△DCO，可得结论．【解析】证明：∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，又∵∠OBC＝∠ABC﹣∠1，∠OCB＝∠DCB﹣∠2，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△ABO和△DCO中，∠1=∠2OB∴△ABO≌△DCO〔ASA〕，∴AB＝DC．15．〔2021秋•秦淮区期末〕如图，AD＝CB，AB＝CD．求证：∠ABC＝∠CDA．【分析】根据SSS可证明△ABD≌△CDB，即可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，进而可证明结论．【解析】证明：在△ABD和△CDB中，AB=∴△ABD≌△CDB〔SSS〕，∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∵∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD，∠CDA＝∠CDB﹣∠ADB，∴∠ABC＝∠CDA．16．〔2021秋•苏州期末〕如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．求证：CF∥DE．【分析】根据条件证明△ACF≌△BDE可得∠AFC＝∠BED，进而可得CF∥DE．【解析】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，在△ACF和△BDE中，∠A∴△ACF≌△BDE〔AAS〕，∴∠AFC＝∠BED，∴CF∥DE．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：〔1〕△AEH≌△BEC．〔2〕AH＝2BD．【分析】〔1〕由“ASA〞可证△AEH≌△BEC；〔2〕由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得结论．【解析】解：〔1〕∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，∠DAC∴△AEH≌△BEC〔ASA〕；〔2〕∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．18．〔2021•苏州模拟〕如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．【分析】由“SAS〞可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．【解析】证明：∵BF＝CE∴BF+CF＝CE+CF∴BC＝EF在△ABC和△DEF中AB∴△ABC≌△DEF〔SAS〕∴∠ACB＝∠DFE∴CG＝FG19．〔2021秋•大荔县期末〕如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，进而得到AO＝CO，再证明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．【解析】证明：∵△BEO≌△DFO，∴OF＝OE，DO＝BO，又∵AF＝CE，∴AO＝CO，在△ABO和△CDO中，AO=∴△ABO≌△CDO〔SAS〕，∴AB＝CD．20．〔2021秋•西安期末〕：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．【分析】利用ASA证明△ABC≌△DAE即可解决问题；【解析】证明：∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠CAB，在△ABC和△DAE中，∠BAC∴△ABC≌△DAE〔ASA〕，∴BC＝AE．21．〔2021秋•盐池县期末〕如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．〔1〕求证：△ABE≌△CBD；〔2〕证明：∠1＝∠3．【分析】〔1〕由角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；〔2〕利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．【解析】证明：〔1〕∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=∴△ABE≌△CBD〔SAS〕；〔2〕∵△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．22．〔2021•雁塔区校级模拟〕如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED＝AB，∠E＝∠CPD．求证：BC＝EF．【分析】首先根据平行线的性质可得∠B＝∠CPD，∠A＝∠FDE，再由∠E＝∠CPD可得∠E＝∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF，进而证明即可．【解析】证明：∵AB∥DF，∴∠B＝∠CPD，∠A＝∠FDE，∵∠E＝∠CPD．∴∠E＝∠B，在△ABC和△DEF中，∠E∴△ABC≌△DEF〔ASA〕．∴BC＝EF．23．〔2021秋•遵化市期末〕：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．【分析】〔1〕根据利用HL即可判定△BEC≌△DEA；〔2〕根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B＝∠D，从而不难求得DF⊥BC．【解析】证明：〔1〕∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，又∵BE＝DE，BC＝DA，∴△BEC≌△DEA〔HL〕；〔2〕∵△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°．即DF⊥BC．24．〔2021秋•泰兴市期末〕如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．【分析】根据SAS即可求得△DCB≌△ECA，求得∠B＝∠A．因为∠AND＝∠BNC，根据三角形的内角和定理就可求得∠A+∠AND＝90°，从而证得BD⊥AE．【解析】解：AE＝BD，AE⊥BD，如图，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，∴∠DCB＝∠ECA，在△DCB和△ECA中，AC=∴△DCB≌△ECA〔SAS〕，∴∠A＝∠B，BD＝AE∵∠AND＝∠BNC，∠B+∠BNC＝90°∴∠A+∠AND＝90°，∴BD⊥AE．25．〔2021春•碑林区校级期中〕如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．〔1〕求证：△ABD≌△EDC；〔2〕假设AB＝2，BE＝3，求CD的长．【分析】〔1〕由“AAS〞即可证△ABD≌△EDC；〔2〕结合〔1〕可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．【解析】〔1〕证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．在△ABD和△EDC中，∠ABD∴△ABD≌△EDC〔AAS〕，〔2〕∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．26．〔2021•岳麓区模拟〕如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，点E在线段AD．上，BE的延长线交CD于点F，连接CE．〔1〕求证：△ACE≌△ABE．〔2〕当AC＝AE，∠CAD＝38°时，求∠DCE的度数．【分析】〔1〕先由角平分线的性质可得∠CAE＝∠BAE，再根据条件即可用SAS证明方法进行证明即可得出答案；〔2〕现根据等腰三角形的性质可得出∠ACE＝∠AEC＝71°，再根据平行线的性质，∠DCA+∠BAC＝180°，求解即可得出答案．【解析】证明：〔1〕∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，在△ACE和△ABE中，AC=∴△ACE≌△ABE〔SAS〕；〔2〕∵AC＝AE，∠CAD＝38°，∴∠ACE＝∠AEC＝71°，又∵∠CAD＝∠BAD＝38°，∴∠CAB＝∠CAD+BAD＝38°+38°＝76°，∵AB∥CD，∴∠DCA+∠BAC＝180°，∴∠DCE+∠ACE+∠BAD＝180°，∴∠DCE＝180°﹣71°﹣76°＝33°．27．〔2021春•盐田区校级期中〕如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．〔1〕求证：∠BDE＝∠CEF；〔2〕假设DE＝3，求EF的长．【分析】〔1〕由三角形内角和定理及平角的定义可得出答案；〔2〕证明△BDE≌△CEF〔ASA〕，由全等三角形的性质得出DE＝EF．【解析】〔1〕证明：∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，∴∠BDE＝∠CEF；〔2〕解：在△BDE和△CEF中，∠B∴△BDE≌△CEF〔ASA〕，∴DE＝EF，∵DE＝3，∴EF＝3．28．〔2021春•沙坪坝区校级月考〕如图，在ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．〔1〕假设∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．〔2〕求证：△ABC≌△DEF．【分析】〔1〕根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可；〔2〕根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】〔1〕解：∵∠B＝55°，∠ACB＝100°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，∵AB∥DE，∴∠CHE＝∠A＝25°；〔2〕证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中AB=∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．29．〔2021•南岗区模拟〕：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．〔1〕如图1，求证：AC＝DE；〔2〕如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【分析】〔1〕根据SAS证明△ABC与△DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．〔2〕根据全等三角形的判定解答即可．【解析】证明：〔1〕∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△DBE中，AB=∴△ABC≌△DBE〔SAS〕，∴AC＝DE；〔2〕由〔1〕得△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，∴AB＝BE，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠E，在△ABG与△EBH中，∠A∴△ABG≌△EBH〔ASA〕，∴BG＝BH，在△