电气测量技术2

丈量误差及其分析随机误差的处置随机误差的统计特性和概率分布随机误差的数学表达随机误差的统计特性随机误差的概率分布随机误差的数学表达根据误差实际，任何一次丈量中，普通都含有系统误差ε和随机误差δ，即ΔA=ε+δ=Ax-A0在普通工程丈量中，系统误差ε大于随机误差δ，即ε>>δ，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处置和估计系统误差即可。随机误差的数学表达在精细丈量中，系统误差曾经消除或小得可以忽略不计时，即ε≈0，可得ΔA≈δ=Ax-A0即随机误差等于丈量值与其真值之差。这种情况下，随机误差显得特别重要，所以在处置和估计误差时，必需且只需思索随机误差随机误差的数学表达当系统误差和随机误差都不能忽略时，系统误差和随机误差应分别处置和估计，然后按一定的方式合成最后的系统误差和随机误差，以估计丈量结果的准确度。随机误差的统计特性就单次丈量而言，随机误差无规律，其大小、方向不可预知。但当丈量次数足够多时，随机误差的总体服从统计学规律。对某量进展无系统误差等精度〔各种丈量要素一样〕反复丈量n次，其丈量读数分别为A1，A2，…Ai…An，那么丈量误差分别为：随机误差的统计特性有界性，即随机误差的绝对值不超越一定的界限。单峰性，即绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。对称性，等值反号的随机误差出现的概率接近相等。抵偿性，当n→∞时，随机误差的代数和为零。随机误差的统计特性①在一定的条件下，偶尔误差的绝对值不会超越一定的限制;〔有界性〕②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的时机要多；〔密集性、区间性〕③绝对值相等的正、负误差出现的时机相等，可相互抵消；④同一量的等精度观测，其偶尔误差的算术平均值，随着观测次数的添加而趋近于零随机误差的概率分布随机误差的概率分布有很多种。常见：正态分布、均匀分布、t分布、反正弦分布、梯形分布和三角分布等。正态分布随机误差是个随机变量，而这个随机变量是由大量的、相互独立的、微弱的要素所组成。在大多数情况下，随机误差的概率都服从正态分布或接近正态分布。随机误差的概率分布正态分布的随机误差概率密度函数随机误差的概率分布正态分布曲线随机误差的概率分布均匀分布随机误差的概率分布T分布随机变量的特征参数丈量数据的数学期望随机变量的方差和规范差丈量数据数学期望的估计算术平均值原理规范偏向的估计算术平均值的规范差丈量结果的置信度丈量数据的数学期望对一个被丈量在等精度条件下进展多次独立丈量，假设已消除了系统误差，那么所得丈量数据是一个随机变量，以A表示，其数学期望M(A)为式中n丈量次数Ai第i次的丈量结果根据随机误差的抵偿特性，随机误差的数学期望为零丈量数据的数学期望对随机误差表达式ΔA≈δ=Ax-A0两边取其数学期望，那么被丈量真值的数学期望就是真值本身，即M(A0)=A0在等精度反复丈量中，当n→∞时，丈量数据的数学期望就是被丈量的真值。数学期望表达了随机变量分布中心的位置随机变量的方差和规范差服从正态分布的随机变量，其方差定义为①随机误差的抵偿性会使正负误差相互抵消，故不能采用误差直接平均而须采用平方后平均。②方差对绝对值大的误差反映比较灵敏，而而可客观地表征丈量数据的离散程度。方差的量纲是丈量数据量纲的平方，所以在丈量结果的表示中不是很方便，因此经常不用方差而运用规范偏向，简称规范差。随机变量的方差和规范差规范差定义为方差的正的算术平方根规范差σ是丈量数据离散程度的表征规范差σ值愈小，丈量数据愈集中，概率密度曲线愈峻峭。规范差σ值愈大，丈量数据愈分散，概率密度曲线愈平坦。在一定的置信概率下，规范差σ值愈小，所对应的误差极限范围愈小，那么丈量数据的可靠性愈大。丈量数据数学期望的估计存在问题：丈量数据的数学期望是在丈量次数足够〔n→∞〕的条件下，定义的，而在实践丈量中，不能够满足这个条件.处理方法：根据有限的丈量数据求出数学期望的估计值或近似值。算术平均值是被丈量A数学期望〔真值〕M〔A〕的最正确估计，这一原理—算术平均值原理。丈量数据数学期望的估计算术平均值原理假设对某被丈量A进展n次等精度无系统误差独立丈量，测得数据为：Ai(i=1,2,3…n)被丈量列〔由A1,A2…An组成的数据列〕的最正确可信任值是丈量列的算术平均值。前提1:n次等精度(σ1=σ2=…σn=σ)前提2:无系统误差(ε=0)丈量数据数学期望的估计算术平均值的数学表达式A充分性：估计值包含了样本〔丈量列〕的全部信息无偏性：估计值围绕被估计参数M〔A〕摆动，且M()=M(A)AA有效性：估计值摆动幅度比单个丈量值Ai小A一致性：随着丈量次数n的添加，趋于被测参数的M〔A〕A丈量数据数学期望的估计特殊处置1:在实践运用中，当丈量次数比较大，丈量数据有效位数比较多时，计算非常烦琐-----可先假定一个准算术平均值，并计算出A求出当选择适宜时，△A的有效位数减少，计算可以简化丈量数据数学期望的估计特殊处置2：当用计算机处置数据时，为减少内存资源，可采用递推算法式中，---n个丈量数据的算术平均值式中，---前n-1个丈量数据的算术平均值丈量数据数学期望的估计规范偏向的估计存在问题：随机误差的定义为丈量值与真值之差，而真值是不能够知道的，这样随机误差就变成一个未知数，使得规范偏向的期望无法得到。处理方法：剩余误差替代随机误差而获得方差和规范差的估计值。←贝塞尔公式贝塞尔公式的证明1-利用相关性证明2-参考概率论中的证明丈量数据数学期望的估计求和，可得到剩余误差的代数和为零，即式中，vi---剩余误差，其定义为：阐明：n个剩余误差不是独立的，而只需n-1个独立变量。提示：利用来检验和vi计算能否正确丈量数据数学期望的估计方差估计值的适用算法和递推公式分别为：--n个丈量数据的方差估计值--前n-1个丈量数据的方差估计值丈量数据数学期望的估计算术平均值的规范差根据概率论可知，算术平均值也是一个随机变量，它本身也具有一定的随机性，即含有一定的随机误差。算术平均值是丈量值的数学期望的估计值，既然是估计值，就一定存在差值，这一差值就是随即误差。↑↑↑如何评价算术平均值的随机误差〔离散度〕的大小？和其他随机变量一样，算术平均值也是用其方差或规范差表示。丈量数据数学期望的估计证明等精度丈量于是算术平均值的规范差为丈量数据数学期望的估计成立前提：丈量次数趋于无穷大的条件实践运用中，采用算术平均值的方差和规范差的估计值算术平均值的方差估计值算术平均值的规范差估计值丈量数据数学期望的估计结论算术平均值的方差仅为单次丈量值方差的1/n。实践丈量中，丈量次数普通取10-20次。在有限次等精度丈量中，用算术平均值估计被丈量要比