安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二第一学期开学考试数学（理）试卷

高二第一期开学考数学试卷(理)

选择题(每题5分，共12小题)

1.设集合A={)，|y=2',xGR),xGR},则AnB=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

2.f(x)==_-在()

l-x

A.(-°°,1)U(1,+8)上是增函数

B.(-1)U(1,+8)上是减函数

C.(-8,1),(1,+8)分别是增函数

D.(-8,1),(1,4-00)分别是减函数

3.能反映一组数据的离散程度的是().

A.众数B.平均数C.中位数D.方差

4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是工，中获胜的概率是工，则甲不输的概率为()

23

5211

(A)-(B)-(C)-(D)-

6563

5.如图，已知点C为A0AB边AB上一点，且AC=2CB,若存在实数m,n,使得

OC=mOAi-nOt则加一〃的值为().

，x+y>_]

6.若变量x,y满足约束条件《2x-y<l«则z=3x-)，的最小值是()

A.-7B.-9C.-1D.-5

7.若A，B为互斥事件，贝I()

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)<1

C.P(A)+P(B)=1D.P(A)+P(B)>1

8.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去

掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）

79

844647

93

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

9.从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）

10.已知点尸是边长为4的正方形内任一点，则点尸到四个顶点的距离均大于2的概率是（）

A.子B.13C.1D.年

11.若直线办+力=1与圆V+y2=i有两个公共点，则点尸（a,h）与圆％2+y2=i的位置

关系是（）

A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能

12.已知函数/（x）=2cos2x—6sin2x,在口48。中，内角A3,C的对边分别是a,"c,

内角A满足/（4）=-1，若。=#，则口46c的面积的最大值为（）

A.3#>B.遇C.BD.243

24

二.填空题（每题5分，共20分）

13.一组样本数据x,4,5,6,y的平均数为5,标准差为4,则/+/=128.

14.已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中

收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5,3.5）,y关于x的线性回归方程为丫=

出+0.35,据此可估计x=7时，y=

15.从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的

序号为③④.

①至少有1个白球；都是白球.

②至少有1个白球；至少有1个红球.

③恰有1个白球；恰有2个白球.

④至少有1个白球；都是红球.

16.三棱柱ABC-ABG各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ZACB=120°,

CA=CB=2百，AA1=4,则这个球的表面积为.

三.解答题（共6小题，计70分）

17.（10分）己知A45C三内角A，B,C的对边分别为“，八点。为8c边的中点,

acos3=-（/?+2c）cosA,AD=\.

（1）求A；

（2）求AABC面积的最大值.

18.（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如

表：

年收入（万元）24466677810

年饮食支出），（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；

（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.

£（Xj-x）（y「y）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

n_

2

X（Xi-x）

£（xiyi-n

--1010

a=y-fcx-（参考数据：£Xi%=115,£X2=406.）

i=li=l

19.（12分）已知Sn为数列｛aj的前n项和，且向量方二（-4,n）,b=（Sn,n+3）垂直.

(1)求数列｛a“｝的通项公式;

(2)数列一二前n项和为Tn,求证：T„<-.

20.(12分)疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒.某小

区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天

的锻炼时间，其频率分布直方图如下：

(1)求。的值；

(2)估计这100位居民锻炼时间的平均值彳；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

(3)求中位数的估计值.

21.(12分)如图，四棱锥尸-ABC。中，底面ABCZ)是边长为2的正方形，平面平

®lABCD,AP=PB,APLPB,E为。尸的中点.

(1)求证：AP〃平面8DE；

(2)求点。到平面ACP的距离.

22.(12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购

进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,

则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种

机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数

0161718192021更换的易损零件数

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需

的费用（单位：元），〃表示购机的同时购买的易损零件数.

（I）若〃=19,求y与x的函数解析式；

（II）若要求"需更换的易损零件数不大于〃”的频率不小于05求〃的最小值；

（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零

件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机

器的同时应购买19个还是20个易损零件？

高二第一期开学考数学试卷

选择题(每题5分，共12小题)

I.设集合A={)，|y=2',xGR),8={x仅xGR),则AAB=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【解答]解：A={y|y>0),B={x|x<l}；

・・・AG8=(0,1].

故选：

2.f(x)=1■在()

l-x

A.(-1)U(1,+8)上是增函数

B.(-8,1)U(1,4-00)上是减函数

C.(-8,1),(1,+8)分别是增函数

D.(-8,1),(1,+8)分别是减函数

【解答】解：/(x)=上=-上

l-xX-1

X-1

由函数y=二上在x>0,XV0均为增函数，

x

则将产二L的图象向右平移1个单位，可得尸-，的图象，

XX-1

再向下平移1个单位，即可得到/(X)的图象，

则有了(X)在X>1,X<1上均为增函数，

则有函数/(X)的增区间为(-8,1),(1,+8).无减区间.

故选：C.

3.能反映一组数据的离散程度的是().

A.众数B.平均数C.中位数D.方差

【答案】D

4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,，甲获胜的概率是工，则中不输的概率为()

23

521、1

(A)-(B)-(C)-(D)-

6563

【答案】A

【解析】甲不输的事件，包括两人下成和棋或甲获胜，且两个事件互斥，所以甲不输概率为

236

5.如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB,若存在实数m,n,使得

元=加西+"而，则机的值为().

112

A.---B.0C.-D.一

333

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出m-n的值.

【详解】

OC^OB+BC-OB+-BA^OB+-BO+-OA^-OA+-OB,所以加―〃=—』.

333333

故选：A

x+y》-l

6.若变量x,y满足约束条件］2x-y<l，

贝ijz=3x-y的最小值是()

yCl

A.-7B.-9C.-1D.-5

x号》-1

【解答】解：由变量x,y满足约束条件2x-y<b作出可行域如图，

yCl

由图可知，最优解为A,

联立卜4y=7,解得C(0,-1).

l2x-y=l

由卜4y7解得4(-2,1),

ly=l

由［2x-y=l,解得8(1,1)

ly=l

r.z=3x-y的最小值为3X(-2)-

故选：A.

7.15.若A，3为互斥事件，贝IJ()

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)<1

C.P(A)+P(8)=1D.P(A)+P(B)>1

【答案】B

【解析】

因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以尸（A）+P（B）W1

8.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去

掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）

79

844647

93

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据84,84,86,84,87的中位数为84；

众数为：84；

故选：A.

9.从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）

【答案】B

42

【解析】成等差的基本事件有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},（1,3,5}=。=历=?,故选B

10.已知点尸是边长为4的正方形内任一点，则点尸到四个顶点的距离均大于2的概率是（）

A.—B.1-—C.AD.—

4443

【解答】解：满足条件的正方形ABCD如下图所示：

其中正方形的面积S正方形=4X4=16；

满足到正方形的顶点A、B、C、。的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示

则S阴影=16-4n,

故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、。的距离均不小于1的概率是「=,阴翱—=

S正方形

16-4兀一兀.

16丁

故选：B.

11.若直线"+川=1与圆好+；/=1有两个公共点，则点P（q,b）与圆/+卜2=1的位置

关系是（）

A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能

【答案】B

【解析】

【分析】

直线"+圾=1与圆V+y2=i有两个公共点，可得</,即为/<+/,

+b-

由此可得点与圆的位置关系。

【详解】

解：因为直线女+力=1与圆f+y2=l有两个公共点,

所以有-7=,

y]a2+b2j<

因为点P与圆心的距离为，容+万，圆的半径为1,

所以点P在圆外，故选B。

12.已知函数/(x)=2cos2x—Gsin2x,在口48。中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,

内角A满足/(4)=-1，若a=#，则口4?。的面积的最大值为()

A.36B.半C.乎D.2^/3

【答案】B

【解析】

/(x)=2cos2x—6sin2x=cos2x一道sin2x+1=2cos(2x+?)+1

/[

/(A)=2cosl2A+yj+l=-l=>cosl2A+1j=-l,A为三角形内角，则A=]

a=A/6>a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2—bc>2bc-bc=bc>当且仅当人=。时取等号

qG3百

QABC=­/?csinA<—x6x

22

填空题(每题5分，共20分)

13.一组样本数据x,4,5,6,y的平均数为5,标准差为4,则/+丫2=⑵.

【解答】解：平均数为工义(x+4+5+6+y)=5,即x+y=10,

5

方差为(x-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(y-5)2]=16,所以(%-5)2+

5

(y-5)2=78,BPx2+/-10(x+y)=28,

所以7+)2=28+10(x+y)=28+10X10=128.

故答案为：128.

14.已知某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)具有线性相关关系，在生产过程中

收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为(4.5,3.5),y关于x的线性回归方程为

y=芹+0.35,据此可估计x=7时，y=5.25.

【解答】解：由题意中心点为(4.5,3.5),代入回归方程为：丫=y+0.35,可得3.5=4$b+0.35,

解得b=07

所以：=0.7x+0.35,x=7时，=0.7X7+0.35=5.25,

故答案为：5.25.

15.从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的

序号为③④.

①至少有1个白球；都是白球.

②至少有1个白球；至少有1个红球.

③恰有1个白球；恰有2个白球.

④至少有1个白球；都是红球.

【解答】解：从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，

在①中，至少有1个白球和都是白球能同时发生，不是互斥事件，故①错误；

在②中，至少有1个白球与至少有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故②错误.

在③中，恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，是互斥事件，故③正确；

在④中，至少有1个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事件，故④正确.

故选：③④.

16.三棱柱ABC-各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ZACB=120°,

CA=CB=26,AA1=4,则这个球的表面积为.

【答案】64万

【解析】

试题分析：在&中，CA=CB=/3,NACB=120。，则根据余弦定理求出

4炉=2x(2府-

2x(2囱ycos120°=36==6,设A的与的外接圆的圆心分别为

外02,半径分别为分与，则4=苞=—"f=-^-r=2M,连接04，

2sin120

线段。4的中点o为球心，oq=；阳=2,连接

04,04=+00；=712^4=4,S球=44x16:64乃；

三.解答题（共6小题，计70分）

17.（10分）己知AA5C三内角A，B,C的对边分别为“，入c,点。为8c边的中点，

«cosB=-（/?+2c）cosA,AD=1.

（1）求A；

（2）求AABC面积的最大值.

【答案】（1）4=年（2）百

【解析】

（1）由正弦定理得：sinAcosB=-（sinB+2sinC）cosA

即：sinAcoscosAsinB=sin（A+B）=sinC=-2sinCeosA

VCG（O,^,）sinCw0/.cosA=——

2

VAG（0,7T）

3

:.AD=^（AB+AC）

（2）QO为BC边的中点

4AD*2=（AS+AC）2=AB2+2AB-AC+AC2,又AD=1

/.4=c2+2/?ccos——+〃2=b2-be2-hc>2bc-bc,即力c<4

3

当且仅当b=c时取等号

.-.SMec=|z?csinA<|x4x^^^（当且仅当Z?=c时取等号）

...AABC面积的最大值为百

18.（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如

表:

年收入（万元）244666778K）

年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；

（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.

n__

£（xx「1x）（y「y）

工=1

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=n_.

E（x「x）2

i=l

E（xy--nxy）

i=l1£1*__1010in

=yx-

n，a'b（参考数据：££x：=406・）

v2-2i=li=i

i=l

【解答】解：（1）Y=——（2+4+4+6+6+6+7+7+8+10）—6,

10

v=-^（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）=1.8.

丫10

10—

-Exiyi-10xy

h=izl____________115-10X6X1.8-7

10c5----

D-222

XX1-io7406-10X646

i=l

一，一一7—102

a=y-bx=l.8-TTX6=77^

46-115

关于x的线性回归方程为1°2”

,丫46115

（2）在为102•中，取x=9，得

.y46115

x9«102〜2.26.

y46115

...若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出为2.26万元.

19.（12分）已知S,,为数列⑸｝的前n项和，且向量£=（-4,n）,b=（S„,n+3）垂直.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）数列~二^|前n项和为T.，求证：T„<~.

1（2«„+1）44

〃1

【答案】（1）a=-+-（2）见解析

）"t22

【解析】(1)因为向量G=(-4,n),b=(S,,n+3)垂直，：+〃(打+3)=0：鼠=""；''

•汗之那

・・2：4=S〃-SN=^^=Lq=5]=(>：.an=^+--

一.L工

1111Z11、

证明：⑵国而=而，时jr-j

311_3

——------------：.’”<一

4打+1打+24

20.(12分)疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒.某小

区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天

的锻炼时间，其频率分布直方图如下：

(1)求a的值；

(2)估计这100位居民锻炼时间的平均值7(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

(3)求中位数的估计值.

【解答】解：(1)由题意，得(0.005+0.012+4+0.035+().015+0.003)X10=1.

解得a=0.03.

(2)估计这100位居民锻炼时间的平均值为:

x=5X0.005X10+15X0.012X10+25X0.03X10+35X0.035X10+45X0.015X10+55X0.003

X10=30.2(分钟).

(3)设中位数的估计值为x+30.

由(0.005+0.012+0.03)X10+0.035x=0.035(10-%)+(0.015+0.003)X10,

得x&,所以中位数的估计值为

7

21.(12分)如图，四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是边长为2的正方形，平面243人平

^ABCD,AP=PB,APLPB,E为CP的中点.

Bc

（1）求证："〃平面BDE；

（2）求点。到平面AC尸的距离.

【答案】（1）证明见解析：（2）班.

3

【解析】

【分析】

（1）连接AC交于0,则0为AC的中点，利用中位线的性质可得出0E〃巳4,然后利

用直线与平面平行的判定定理可证明出APH平面BDE；

（2）取A3的中点M，连接尸加，利用面面垂直的性质定理可得出平面ABCZ）,由

此可计算出三棱锥P-AC。的体积，并计算出AAPC的面积，并设点。到平面AC尸的距离

为〃，由VP_ACD=1SMCP•人可计算出点。到平面AC尸的距离的值.

【详解】

（1）如图，连接AC交于0,连接。£,则。为AC的中点.

又E为CP上的中点，所以0E〃/%.

又平面BDE，OEu平面8OE，所以AP〃平面8DE；

（2）如图，取A8的中点M，连接PM，

因为AP=PB,所以PM=AP=PB=叵,

又平面P4B_L平面ABC。，平面平面ABCD=AB，HWu平面243,

所以PM_L平面ABC。.

同理可得8CJ"平面P4B，•.•A。、8/?(=平面八48，..3。14尸，BCA.BP.

又因为A