2023年自考线性代数试题

全国2023年10月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明:在本卷中,AT表达矩阵A的转置矩阵,A表达矩阵A的随着矩阵,E是单位矩阵,闺表达方阵A的行列式,r（A）

表达矩A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。

L设A为3阶矩阵,囚，则卜2A*（)

A.-8B.-2

C.2D.8

2.设矩阵A=[则AB=(

)

A.0

D.

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（）

A.AB-BAB.AB+BA

C.ABD.BA

12

4.设矩阵A的随着矩阵A*=，则A/=()

34

」4-321-2、

AB.

21-22一34,

12、42

C.--D.

234,231

5.下列矩阵中不星初等矩阵的是（）

uor001

A.010B.010

、000,。0,

100、100、

C.030D.010

、001,3°L

6.设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有()

A.A+B可逆B.AB可逆

C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.设向量组a尸(1,2),a2=(0,2),B=(4,2),则()

A.ai,a2,B线性无关

B.B不能由ai,a2线性表达

C.6可由。1,a2线性表达，但表达法不惟一

D.B可由a1，a2线性表达,且表达法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的所有特性值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

2X]-x2+x3=0

9.设齐次线性方程组X]-X2-X3=0有非零解，则Z为()

入X]+x2+X3=0

A.-lB.0

C.lD.2

10.设二次型f(x)=xTAx正定，则下列结论中对的的是()

A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零

B.f的标准形的系数都大于或等于零

C.A的特性值都大于零

D.A的所有子式都大于零

二'填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上对的答案。错填'不填均无分。

11.行列式。1的值为________.

12

(121

12.已知A=卜则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为.

13.设矩阵A=[；:[，P=[)，则AP3=

14.设A,B都是3阶矩阵，且|A|=2,B=-2E,则|A」B|=.

15.已知向量组a1,=(1,2,3),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)线性相关，则数k=.

(1、

2

16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3,a3为该方程组的3个解，且a1=3«则该线性方程

a2,+a3

、4,

组的通解是.

Pl曾

17.已知P是3阶正交矩，向量a=30,贝ij内积(Pa,Pp)=_________.

[2)[2)

18.设2是矩阵A的一个特性值，则矩阵3A必有一个特性值为.

19.与矩阵A=(；相似的对角矩阵为.

20设.矩阵A=f1若二次正定,则实数k的取值范围是_________.

1-2kJ

三'计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

0120

21.求行列式D=:，'2

的值.

2101

0210

'0-10'-20、

22.设矩阵A=100,B=2-10,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

、001,00?

Q(1、，2)(-2、

23.若向量组四1,。2=一1，。3=6,a4=0的秩为2,求k的值.

、”〔3,"[-2kJ

’223'，2'

24.设矩阵人=1-10,b=1

21,

⑴求A-1;

(2)求解线性方程组Ax=b，并将b用A的列向量组线性表出.

25.已知3阶矩阵A的特性值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求

（1）矩阵A的行列式及A的秩.

（2）矩阵B的特性值及与B相似的对角矩阵.

'X]=2y,+2y2+y3

26.求二次型f（xi,X2,X3）=-4X1X2+2X1X3+2X2X3经可逆线性变换，x2=2yl-2y2+y3所得的标准形.

,x3=2y3

四'证明题（本题6分）

27.设n阶矩阵A满足A2=E，证明A的特性值只能是士1.

全国2023年7月高等教育自学考试

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.设3阶方阵A=（3,。2,。3），其中明»1,2,3）为4的列向量，若|5|=|（%+2。2,°2,。3）|=6,则）

A.-12B.-6

C.6D.12

30-20

、,由一力一21050

2.计算行列式=()

00-20

-23-23

A.-180B.-120

C.120D.180

3.若A为3阶方阵且|T|=2,则|24|二（)

A.1

B.2

2

C.4D.8

4.设a”a2,。3，%都是3维向量，则必有（）

A.<7,,a2,。3，线性无关B.。1，。2，a、,心线性相关

C.可由。2，a3,04线性表达D.不可由。2，。3，线性表达

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则,<A）=（）

A.2B.3

C.4D.5

6.设A、6为同阶方阵，且则（)

A.A与B相似B.|A|=|B|

C.A与B等价D.A与B协议

7.设A为3阶方阵，其特性值分别为2,1,0则I4+2E|=()

A.OB.2

C.3D.24

8.若4、8相似，则下列说法塔送的是()

A.A与B等价B.A与B协议

C.|A|=|B|D.A与B有相同特性值

9.若向量。=(1,-2,1)与8=(2,3,f)正交，则仁()

A.-2B.0

C.2D.4

10.设3阶实对称矩阵A的特性值分别为2,1,0,则()

A.A正定B.A半正定

C.A负定D.A半负定

二'填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

(3-2\r

r21-1

11.设A=01,B=，则nlA5=_________________.

—

【2“L010」

12.设A为3阶方阵，且IA|=3,则|3A」|=.

13.三元方程X[+X2+X3=l的通解是.

14.设0=(-1,2,2),则与。反方向的单位向量是.

6设A为5阶方阵，且M尸3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是.

16.设A为3阶方阵，特性值分别为-2,1,则|5A“|=.

2

17.若A、5为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且，3)=3,则*AB)=.

，2-10、

18.实对称矩阵-101所相应的二次型f(Xl,X2,X3)=.

、°I1,

19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解。产且r(A)=2,则Ax=b的通解是

20.设a=则A=aar的非零特性值是

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

20001

、13ij02000

21.计算5阶仃列式"0°2。0

10002

22.设矩阵X满足方程

'200'’100、(\-43、

0-10X00I20-1

、002,、010,-20,

求X.

23.求非齐次线性方程组

X)+x2-3均-x4=1

,3Xj-x2-3X3+4X4=4的通解.

X1+X-8尤4=0

5X2-93

24.求向量组a尸(1,2,-1,4),2=(9,100,10,4),a3=(-2,-4,2,-8)的秩和一个极大无关组.

，2-12、

25.已知4=5。3的一个特性向量4二（1,1,-1）r,求。，b及，所相应的特性值，并写出相应于这个特性值

、-1b-2,

的所有特性向量.

'-211-2'

26.设A=1-21a,试拟定a使44)=2.

11-22

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若。2，。3是Ax=6（bW0）的线性无关解，证明。2-5，。3-即是相应齐次线性方程组Ax=o的线性无关解.

全国2023年4月高等教育自学考试

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

1.已知2阶行列式？F=机”“2mil仇"2z

=〃，则=()

4”5c2%+C]a2+c2

X.m-nB.n-ni

C.m+nD.-(m+n)

2.设A,8,C均为〃阶方阵，AB=BAfAC=CA9则ABC=()

A.ACBB.CAB

C.CBAD.BCA

3.设A为3阶方阵，8为4阶方阵，且行列式囿=1,|B|=-2,则行列式||B|A|之值为（)

A.-8B.-2

C.2D.8

'71|3。[2。13'loo](100、

4.己知A=。21a22。23，B=a213a22^23,P-030,6310,贝(JB=()

、。31。32。33)(0313。32。33)001001

\7\7

A.PAB.AP

C.QAD.AQ

5.已知A是一个3X4矩阵，下列命题中对的的是（）

A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩（A）=2

B.若A中存在2阶子式不为0,则秩（A）=2

C.若秩（A）=2,则A中所有3阶子式都为0

D.若秩（4）=2,则A中所有2阶子式都不为0

6.下列命题中惜送的是（）

A.只具有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组线性无关，£线性相关，则（）

A.必能由。2,。3，尸线性表出B.。2必能由。3，£线性表出

C.。3必能由。2，£线性表出D.S必能由。2,。3线性表出

8.设A为mXn矩阵，mW〃，则齐次线性方程组Ax-0只有零解的充足必要条件是A的秩（）

A.小于mB.等于m

C.小于nD.等于n

9.设A为可逆矩阵，则与4必有相同特性值的矩阵为（）

A.ATB.A2

C.A'D.A*

10.二次型/（X1/2,X3）+君+X；+2苞々的正惯性指数为（）

A.OB.1

C.2D.3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上对的答案。错填、不填均无分。

20072008

11.行列式的值为__________________________

20092010

12.设矩阵4=',B=，则4%=____________________________.

1201J10。

13.设4维向量a=(3,-1,0,2)T,£=(3,1,-1,4)T.若向量丫满足2a+尸=3£,则/=.

14.设A为〃阶可逆矩阵，且囿=-1,则|Ar=.

n

15.设A为〃阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组AA=0的解，则

|A|=.

6齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为----------------.

17.设〃阶可逆矩阵4的一个特性值是-3,则矩阵'A?)必有一个特性值为

1-2-2

18.设矩阵人=—2x0的特性值为4,1,・2,则数x二

-200

7

1

“五0

19.已知A=:b0是正交矩阵，则〃+3

V2

00

20.二次型f(X1,X2,X3)=-4xiX2+2riX3+6龙X3的矩阵是。

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

abc

21.计算行列式。=a2b2c2的值。

a+/b+b3c+c3

22.已知矩阵B=(2,1,3),C=(1,2,3),求⑴A=fiTC；(2)屋。

23.设向量组a1=(2,1,3,iFg=(1,2,0,1产。3=(-1,1,-3,OF.=(1,1,1,1)\求向量组的秩及一个极大线性无关组，并

用该极大线性无关组表达向量组中的其余向量。

123-14

24.已知矩阵A=012，B=25.（1）求AZ（2）解矩阵方程AX=B。

1-3

001

IJX/

X1+2X2+3X3=4

25.Ha为什么值时，线性方程组■2々+以3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解

2X1+2X2+3X3=6

时，规定用一个特解和导出组的基础解系表达所有解）。

(、(

200\00

26.设矩阵A=03a的三个特性值分别为1,2,5,求正的常数〃的值及可逆矩阵P,使户14尸=020

0a3005

kJ

四'证明题（本题6分）

27.设A,B,A+B均为〃阶正交矩阵，证明（A+B）」=》+次。

全国2023年1月高等教育自学考试

说明：本卷中，AT表达矩阵A的转置，/表达向■”的转置，E表达单位矩阵，⑷表达方阵A的行列式，A->

表达方阵4的逆矩阵，r（A）表达矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

xyz2x2y2z

…

1.设行列式403=1,则行列式=()

11111>■

A.2B.l

3

D.§

C.2

3

2.设A,B,C为同阶可逆方阵，则(ABC)」=()

K.A'B'C'B.C'B'A'

C.C'A'B'D.A'C'B'

3.设a”a2,a3,%是4维列向量，矩阵A=(a”a2,a3,4).假如|A|=2,则卜2A|=()

A.-32B.-4

C.4D.32

4.设。1，a2»a3,«4是三维实向量，贝U()

A.%,a2，a3>。4一定线性无关B.一定可由。2，。3,线性表出

aa

C.5，2，3»。4一定线性相关D.a2,。3一定线性无关

5.向量组。产（1,0,0),a2=(1,1,0),a(1,1,1)的秩为()

A.1B.2

C.3D.4

6.设A是4X6矩阵，r（A）=2,则齐次线性方程组Ax=。的基础解系中所含向量的个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

7.设A是机X”矩阵，已知只有零解，则以下结论对的的是（）

A.mNnB.Ax=b（其中力是加维实向量）必有唯一解

C.r（A）=mD.Ax=O存在基础解系

4-52-

8.设矩阵A=5-73,则以下向量中是4的特性向量的是（）

6-94

A.（1,1,1）1B.（1,1,3）T

C.（1,1,0）7D.（1,0,-3）T

-11-

9.设矩阵A=13-1的三个特性值分别为小，42，43,则小+42+心=（）

111

A.4B.5

C.6D.7

10.三元二次型/（X|,12，13）=寸+4为巧+6为巧+4君+1212”3+9君的矩阵为（）

123143

A.246B.046

_369369

-126-