2023-2024学年福建省德化一中高三上学期第一次月考数学试题及答案

2023年秋季德化一中第一次月考高三数学试卷考试时间：120分钟；第I卷（选择题）8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）9xy2xAxx2BAB1.已知集合，，则＝（）2,33,20,3,3D.A.B.C.11b22aab1”的（2.“”是“）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件113已知sin，则sinsin，（）34151956A.B.C.D.86πfxx0)fxπ的最小正周期为，把函数π4.已知函数的图象向右平移个单位长36度，所得图象对应函数解析式为（）y2sin2xy2cos2xA.C.B.D.2π3πy2xy2x62xsinxfx2的大致图象是（5.函数（e为自然对数的底数）在）exexA.B.C.D.xbafx，则fafb06.设函数，若的最小值为（）1x第1页/共6页A.423B.422C142D.2437.用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，M为BC的中点，BC1200米，米，则彩虹（）的60长度约为（sin420.67，sin1.1）67A.(13401474)米B.(1340670)米C.(20001474)米(2000670)D.米ln1.010.018.设ae0.01，A.bacb，c0.99，则（）B.cbaC.abcD.acb二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得09.设ab0，则下列不等式中恒成立的是（）baabab1a1b1A.abb2B.C.D.b10.在中，若AB，则（）AsinAsinBB.D.ABC.sin2Asin2B2A2B11.已知定义在R上的函数满足fx2f(x)f(x)，在下列不等关系中，一定成立的是（）e2ff2e2ff2A.C.B.D.fee2e4f2fee2e4f2()，以x轴非负半轴为始边作锐角A1,012.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，，P1A，，P，则下列说法正确的是（1，它们的终边分别与单位圆相交于点）第2页/共6页APAPA.11OA1P的面积为B.扇形11P2sinC.2π12π3D.当时，四边形1P的面积为sin13第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.），则213.已知锐角满足tan_______________.14.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要45秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡和，第度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为一排和最后一排的距离为102米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，则旗杆AB的高度为______米．414x15.已知0x4，则的最小值为______.x1f(x)xm有两条直线与曲线，过点yf(x)m相切，则实数的取值范围是16.已知函数________．x第3页/共6页四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）3π2cos,x17.已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点5，且272P,π.求1010π2（1）sin；（2）.2acosB2cb，18.已知的内角,B,C的对边分别为a,b,c．（1）求A；（2）若a4，求的面积的最大值．1fxx3ax26xx3yfx时，函数取得极值.19.已知函数，当3（1）若在,m2上为增函数，求实数m的取值范围；fx有两个根，求实数m的取值范围.fxm0（2）若1x3时，方程π6πfxsinx0)20.设x,x是函数1x的最小值是2的两个零点，且.122（1）求函数的解析式;fxπ6（2）已知实数,满足a，且对xf(x)2a2a，求2的最小值.恒有2km,C21.如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径AB长为和D两点在半圆弧上，满足πBCCD.设COB0.2（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段长l最长，并求l的最大值；和DA组成，则当为何值时，观光道路的总第4页/共6页（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积S最大？1f(x)exax222.已知函数，f(x)为其导函数.2（1）若a2，求f(x)的单调区间；xf(x)exa有两个不相等的实根，求实数的取值范围.（2）若关于的方程第5页/共6页2023年秋季德化一中第一次月考高三数学试卷考试时间：120分钟；第I卷（选择题）8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）9xy2xAxx2BAB1.已知集合，，则＝（）2,33,20,3,3D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合对数型函数的定义域、集合交集的定义进行求解即可.【详解】x2903x3，2x0x2，A3,3，B,2，所以AB3,2，则故选：B11b22aab1”的（2.“”是“）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】AB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合指数函数性质，不等式的性质，即可判断．ab11ab，【详解】不等式等价于22abab1，由由可推出ab1不一定能推出ab，例如ab3时，ab1，但ab，ab11ab1”的充分不必要条件.所以“”是“22故选：A.第1页/共21页1313.已知sin，则sin（sin，）4151956A.B.C.D.86【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式展开求出sin，然后利用两角和的正弦公式计算即可.113【详解】因为sinsinsinsin，4117所以sin，341271101256所以sincossinsin.124故选：Bπ3πfxx0)4.已知函数π的最小正周期为的图象向右平移个单位长度，fx6所得图象对应函数解析式为（）y2sin2xy2cos2xA.C.B.D.2π3πy2xy2x6【答案】A【解析】【分析】先根据正弦函数最小正周期公式求出2，在根据左加右减求出平移后的解析式.2π【详解】因为0，所以π，故2，π3fx2x则，πππy2x2sin2x.则向右平移个单位长度后得到663故选：A2xsinxfx2的大致图象是（5.函数（e为自然对数的底数）在）exex第2页/共21页A.C.B.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可得答案.【详解】由题知f(x)的定义域为R，2(x)sin(x)2xsinxf(x)f(x)，x又因为exexexey所以f(x)为偶函数，即图象关于轴对称，排除A、C；4sin2f(2)0，排除D.又e2e2故选：B.6.设函数xbafx，则fafb0，若的最小值为（）1xA.423B.422C.142D.243【答案】A【解析】a,b【分析】求出函数f(x)的定义域，根据给定等式求出的关系，再利用“1”的妙用求解作答.xxfafb0a,b，得，f(x))000x1【详解】函数中，，解得，由，1x1xabab且，则1，整理得ab11a1b1a1bba31babbaba(ab)442423，当且仅当因此号，，即a=b取等ababaabab3331,b由a=b且ab1，得a，223331ba所以当a,b时，423.取得最小值22第3页/共21页故选：A7.用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，M为BC的中点，BC1200米，米，则彩虹（）的60长度约为（sin420.67，sin1.1）67A.(1340【答案】A【解析】1474)米B.(1340670)米C.(20001474)米(2000670)D.米OBM【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的底面半径，连接,,OM，进而在，最后利用弧长公式求得彩虹长度.中求【详解】在中，由勾股定理，可得：222，2连接PO，则在△APO中，sin，连接OB，OC，OM，则在OBMBM60060中，sinBOM，BO67067故BOM1.1，2.2，(22.2)67013401474则彩虹（）的长度约为.故选：Aln1.018.设ae0.01，bc0.99，，则（）0.01A.bac【答案】AB.cbaC.abcD.acb第4页/共21页【解析】【分析】构造函数fx1xexa,c，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，构造函数a,b，利用导数判断函数的单调性，即可比较，进而可得出答案.xgxx1x0exfx1xe【详解】令xfxex，，则fx0，所以上单调递减，fx在当x0时，f0.01f0，即0.99e1，所以ac所以0.99e，即，1xex1x1x2exxgxx0，gxx1x0，则令1exxex令hx1x2exx0，因为函数y1x,yex在上都是减函数，2所以hx1x2ex在上是减函数，hxh00，所以1x2exgx0x0，即x1ex所以函数在上是减函数，gx所以gg0，0.01ln1.010.01ln1.010，所以，所以ba，e即e综上所述，bac.故选：A.xfx1xe【点睛】关键点点睛：构造函数xgxx1x0是解决本题的关键.和ex二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得09.设ab0，则下列不等式中恒成立的是（）baabab1a1b1A.abb2B.C.D.b【答案】AB第5页/共21页【解析】【分析】利用作差比较逐一判断即可.ab0，所以abb2bab0abb2，因此本选项正确；【详解】A：因为baabbababaabB：因为ab0，所以0，因此本选项正确；ab11ba11ab0C：因为ab0，所以，因此本选项不正确；aaabbabD：因为ab0，所以101，因此本选项不正确，bbb故选：AB10.在中，若AB，则（）A.sinAsinBB.D.ABC.sin2Asin2B【答案】ABD【解析】2A2B【分析】对于选项A，由三角形大边对大角和正弦定理可判断；对于选项B，由余弦函数单调性可判断；对于选项C，由正弦的二倍角公式可判断；对于选项D，由余弦的二倍角公式可判断B，由三角形中大边对大角，可得ab，又由正弦定理，可知【详解】在中，若AsinAsinB，故A选项正确；又由余弦函数在π上单调递减，可知AB，故B选项正确；π由sin2A2sinA,和sin2B2sinBBA时，cosA0sin2Asin2BC2选项错误；由2A12sin2A，2B12sin2B，由A选项可知正确，故D选项正确.故选：ABD11.已知定义在R上的函数满足fx2f(x)f(x)，在下列不等关系中，一定成立的是（）e2ff2e2ff2A.C.B.D.fee2e4f2fee2e4f2【答案】AD第6页/共21页【解析】fxgx在R上单调递减，然后根据单调性比较大小即可.【分析】构造函数gx，求导得到e2x【详解】因为2fx，所以fx2fxxf0fx2fxfx令gx，则gx，e2xe2x因为，，所以，所以在gxR上单调递减，f2fxx0e2x0gx0f2f1，即g1g2，即2，故A正确，B错；ef1f2e2e4fe2ef2，即geg2，即24，故C错，D正确.f2fee4故选：AD.()，以x轴非负半轴为始边作锐角A1,0，12.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，P1A，，P，则下列说法正确的是（1，它们的终边分别与单位圆相交于点）APAPA.11OA1P的面积为B.扇形11P2sinC.2π12π3D.当时，四边形1P的面积为sin13【答案】ACD【解析】第7页/共21页A，，，P的坐标用两点间的距离公式计算即11【分析】由题意圆的半径r1在平面直角坐标系中写出1P可得A选项；选项B，利用扇形的面积公式计算即可；选项C，利用两点间的距离公式写出化简即SSAOAS可；选项D，分别表示出来化简即可OAA1POA111【详解】由题意圆的半径r1选项A：由题意得A,sin，Pcos,sin，11,sinA1,0，Pcos2+sinsin22coscos2sinsin2所以1P122cos2+1sin22-2+1sin222cosAPAP所以，故A正确；11AOP选项B：因为，1111Sr2，所以扇形OA1P的面积122故B错误；2sin+sin2选项C，1P1122sinsin22222222cos222212sin2第8页/共21页224sin22sin2sin2故C正确；SSAOASOA1选项D：OAA1P111111sin11sin2121sinsin22π因为，311π3Ssinsin所以OAA1P221112ππsinsinsin233134sincos4113sin2221π3sin2故D正确故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知锐角满足tan4sin，则2_______________.7【答案】【解析】8【分析】利用同角三角函数基本关系及倍角公式变形计算即可.sincostan4sin4sin，又为锐角，【详解】因为，所以1cos1所以4，即，4第9页/共21页127822cos2121所以4.7故答案为：814.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要45秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡和，第度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为一排和最后一排的距离为102米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，则旗杆AB的高度为______米．【答案】103【解析】【分析】根据题意求得角，利用正弦定理求得边长，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可.【详解】由题意可知45，ACE1806015105，所以EAC1804510530，CE由正弦定理可知在△AEC中，sinsin102sin30所以ACsin4520m，310所以在Rt△中ABACsin6020，2故答案为：103414x15.已知0x4，则的最小值为______.x9【答案】【解析】4x4x414x414x【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.4xx第10页/共21页【详解】44x44x414xx4x4114x1x945524x，x4x4xx4x4x44xx8x8x，12当且仅当，解得，x4x38又因为0x4，所以x时等号成立.3414x9因此，的最小值为.x49故答案为：.4【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“1”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题.1f(x)xm有两条直线与曲线，过点yf(x)m相切，则实数的取值范围是16.已知函数x________．【答案】(ln)【解析】【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，利用导数法求函数的最值即可求解.1x1fxfx，得x【详解】由，xx21x,x，则设切点为000101x0．yx切线方程为：0x20x0因为过点m有两条直线与曲线相切，yf(x)2101mx0x有两根，即m1x有两根．0所以0x2000x02x2gx1xgx解得解得令，则，xx2x2令即即gxx2；x2x2令0x2；gxx2第11页/共21页在2递减，在(2,递增．gx)gxgx当x2时，取得极小值也为的最小值，22gxg(2)1ln2ln2所以，故实数m的取值范围是(ln)．故答案为：(ln).四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）π3cos,，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点x17.已知5，且2272P,π.求1010π2（1）sin；（2）.672【答案】（1）10（2）4【解析】272101sin得出结果；,cos102，即可得（2）利用（1）中的三角函数值以及角的范围可求出sin【小问1详解】.423π24cos,，可得sin=1-2=由，5527210根据三角函数定义可知sin,cos，10第12页/共21页π672所以sin2，10π672即sin2；10【小问2详解】π0可知0由又0π且，2πππ0，可得；222472322所以sinsinsin，．5105102π可得.418.已知的内角,B,C的对边分别为a,b,c2acosB2cb，（1）求A；（2）若a4，求的面积的最大值．2π【答案】（1）A；343（2）.3【解析】1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解作答；ac（2）利用余弦定理结合均值不等式求出的最大值，再由面积公式求解即得；或利用正弦定理及三角形面积公式结合三角形的性质即得.【小问1详解】2acosB2cbBCsinB，由正弦定理及，得ABCπ，，即AcosBAcosB2cosAsinBsinB，AcosBABsinB2cosAsinBsinB0sinB0，1AAπ，，又22πA；3【小问2详解】第13页/共21页b22cbcA，法一：在中，由余弦定理得a21616bcbc，即bc，当且仅当bc时等号成立，314343SbcsinA，即的面积的最大值为；233bca833法二：在中，由正弦定理得，sinBsinCsinA8383bsinB,csinC，3311633163π3163B31SbcsinAsinBsinCsinBsinsinBBsinB2332216333114833π43sin2B2Bsin2B，4463π0B又，3πππ4332BB，即.所以当时，的面积的取得最大值6261fxx3ax26xx3yfx时，函数取得极值.19.已知函数，当3（1）若在上为增函数，求实数m的取值范围；,m2fx（2）若1x3时，方程有两个根，求实数m的取值范围.fxm0【答案】（1）,09,（2）32【解析】1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；（2）构造新函数，利用导数的性质，结合函数零点的性质进行求解即可.【小问1详解】1fxx3ax26xfxx22ax6，则，由352取到极值，所以，解得f3.x3时，fx0a因为第14页/共21页52afxx25x6x2x3又当时，，当x2时，f(x)>0，函数单调递增，当2x3时，fx0，函数单调递减，当时，x3f(x)>0，函数单调递增，x3时，函数yfx取得极值，符合题意.故当要使在上为增函数，则m22或m3，所以m0或m3,m2.fxm即实数的取值范围为,0.【小问2详解】152hxfxm令fxx3x26x1x3，，由（1）得，且31352x3x26xm1x3，hxx25x6x2x3hx故当，则，x1,3时，令hx0，解得1x2hx0，令2x3，解得，所以的递增区间为，递减区间为，1,22,3hx14239h(x)h2m，而hmh3m，hh3，故.故362h20014m92要使hx0有两个根，则.h339m,即实数的取值范围为.23π6πfxsinx0)20.设x,x是函数1x的最小值是2的两个零点，且.122（1）求函数的解析式;fxπ6（2）已知实数,满足a，且对xf(x)a2a，求422的最小值.恒有π6fxsin2x【答案】（1）（2）22【解析】第15页/共21页π61）根据三角函数图象性质可知周期Tπ，可计算得1，即可求出fxsin2x；πx12f(x)1，即只需1a2aa1（2可得26式即可求得2的最小值为22.【小问1详解】π6πfxsinx因为函数的两个零点之间的距离最小值为，2πT2π所以周期，22ππ，解得1；可得πfxsin2x即函数；6π6所以函数的解析式为；fxfxsin2x【小问2详解】πxπππ122xf(x)1由又可得，所以6662πxf(x)a22a，恒有6只需1a22a，所以a22a10，解得a1，即1；易知422422222，11，当且仅当时，等号成立；42即可得2的最小值为22.2km,C21.如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径AB长为和D两点在半圆弧上，满足πBCCD.设COB0.2第16页/共21页（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段和DA组成，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积S最大？π【答案】（1）时，观光道路的总长最长，的最大值为5ll3π（2）当时，鲜花种植面积最大S3【解析】BCCD2sinAD2cos【分析1）作出辅助线，表达出，，从而求出521π21l222sin2sinl4sin时，222322大值为5；11SsinSsinS，从而求出故1（2）表达出，，扇形COD的面积2211πSsincossin，求导得到其单调性，在当时，取得极大值，也是最大值，得到答S243案.【小问1详解】取BC的中点M，AD的中点N，连接OM，ON，由垂径定理可得：OM⊥BC，ON⊥AD，BOM,BCCD2BMOBsin2sin由题意得：，222ππ，故AD2AOsin2cos，2212l222sin2212sin24sin24sin5，则22222ππ00，sin，因为，所以2242212π21故当sin，即时，l4sin5取得最大值，最大值为5；2322第17页/共21页【小问2详解】111SBC2sinsin，2121222πSAD2cossin，2212S扇形COD的面积，12111SSSSsincossin故则，1224121412314cos2sin22cos432S2，4π000,1，因为故当，所以2π1ππ,1S0cos时，S0，时，时，，当3232πππ0故时，单调递增，当S时，单调递减，S332π当时，取得极大值，也是最大值，S3π故当时，鲜花种植面积最大.S31f(x)exax222.已知函数，f(x)为其导函数.2（1）若a2，求f(x)的单调区间；xf(x)exa有两个不相等的实根，求实数的取值范围.（2）若关于的方程，增区间为【答案】（1）f(x)的单调减区间为,0（2）【解析】1）根据函数f(x)单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；1（2）将方程f(x)ex有两个不相等的实根，转