北师大版 七年级数学 乘法公式

*桑茫公式跖

骸课前删忒

【题目】课前测试

(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=

【答案】|x(316-1)

【解析】

解：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

=*x(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

=*x(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)

=»-I)(34+1)(38+1)

寺(316-1).

故答案为：1x(316-1).

总结：本题考查的是平方差公式的应用，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等

于这两个数的平方差，(a+b)(a-b)=a2-b2.

【难度】4

【题目】课前测试

如果a+b+|Vc^l-ll=4V^2+2Vb+T-4,那么a+2b-3c=.

【答案】0

【解析】

解：原等式可变形为：

a-2+b+l+NcT'1|=4\/a-2+2Vb+l-5

(a-2)+(b+1)+|G-1|-4信-2阿+5=0

(a-2)-4孤互+4+(b+1)-2后I+l+|G>l|=0

(曰-2产+(后I-1)2+|G-l|=0;

即：Va—2'2=0,Jb+1'1=0<Vc—1-1=0,

••Va-2=2,Vb+l=l，Vc-l=l，

.1.a-2=4,b+l=l,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2;

.,.a+2b-3c=6+0-3x2=0.

总结：此题较复杂，能够发现所给等式的特点，并能正确地进行配方是解答此题的关键.

【难度】3

适用范围北师大版，七年级

知识点概述：本章重点部分是平方差公式和完全平方公式的熟练运用，本章节要求学生能

独立推导乘法公式、了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单运算。

适用对象:成绩中等偏上的学生

注意事项:需要学生熟练掌握平方差和完全平方公式

重点选讲：

f-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

①利用公式化简求值

I

②找规律

③乘法公式的几何应用

如衣椅理

摩如出精,锂1:平右爰公式

\1/

［管.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

归纳：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

结构特征：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，；另一项互为相反数;

②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.

摩如诅精,if2：完全平右公式

亍强♦完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

归纳：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

结构特征：

左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的

两倍。

砺艘需第

题型1:利用公式化简求值

223324

心艮据(x-1)(x+1)=x・1,(x-1)(x+x+l)=x-1z(x-1)(x+x+x+l)=x

-1，…的规律，则可以得出22叫22016+22015+...+23+22+2+1的结果可以表示为

【答案】22018.1

【解析】

22017+22016+22。15+...+23+22+2+1

=(2-1)(22017+22016+22015+...+23+22+2+1)

=220”.1.

故答案为：22。18.1.

总结：考查了多项式乘多项式，本题主要锻炼学生从已知的题中找规律，学生平时要注意培

养自己的总结概括能力.

【难度】4

【题目】题型1变式练习1:利用公式化简求值

简便计算：80002-16000x7998+79982=

【答案】4

【解析】

解:80002-16000x7998+79982

=80002-2x8000x7998+79982,

二(8000・7998)x(8000-7998),

=2x2,

=4.

故答案为：4.

总结：本题考查了对完全平方公式的灵活运用，主要考查学生运用公式进行计算的能力.

【难度】3

【题目】题型1变式练习2:利用公式化简求值

2

2

已知x_4x+l=0,那么dX的值是______________

x-4x+1

【答案】击

【解析】

解：把x2-4x+l=0方程两边都除以x得，x+§=4,

两边平方得，X2+方■+2=16,

X

所以,x2+-^-=14,

X

91

—_____-

X4-4X2+1xY;y14-410-

故答案为：击.

总结：本题考查了完全平方公式的应用，把已知条件与所求代数式进行变形出现x互为倒数

的和的形式是解题的关键.

【难度】4

题型2:找规律

如图，观察下列各式：

(X-1)(X+1)=x2-1

(X-1)(x2+x+l)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+l)=x4-1,

根据前面各式的规律可得(x-1)(xn+xn-1+...+X+1)=(其中n为正整数).

【答案】X-1-1

【解析】

解：(X-1)(Xn+XnT+...X+1)=Xn+1-1.

故答案为：xn+1-1.

总结：本题考查了平方差公式，发现规律：右边X的指数正好比前边X的最高指数大1是

解题的关键.

【难度】3

【题目】题型2变式练习1:找规律

若mi,m2，…m2oi5是从0,1,2这三个数中取值的一列数，若mi+m2+...+m20i5=1525,

222

(mi-1)+(m2-1)+...+(m2oi5-1)=1510,则在mizm2,...012015中,取值为

2的个数为_____________

【答案】510

【解析】

2

解：•；(m-1)2+(m2-1)2+...+(m2oi5-1)=1510,

.mi,m2，…，m2oi5是从0,1,2这三个数中取值的一列数,

..mi,m2，…，012015中为1的个数是2015-1510=505,

；mi+m2+…+m20i5=1525,

••.2的个数为(1525-505)+2=510个.

故答案为：510.

总结：此题考查完全平方的性质，找出运算的规律.利用规律解决问题.

【难度】3

【题目】题型2变式练习2:全等三角形的判定和性质

观察下歹II各式:(X-1)(x+1)=x2-1；(X-1)(x2+x+l)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+l)

=x4-1...

m

(1)根据上面各式的规律得：(x-1)(X-1+xm-2+xm-3+...+x+l)=；(其

中n为正整数)；

(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+...+268+269的值.

【答案】(1)xm-1(2)27。-1

【解析】

解：(1)(X-1)(Xm-1+Xm-2+Xm-3+...+x2+x+l)=xm-1;

(2)根据上面的式子可得:l+x+x2+x3+...+xn=(xn+1-1)-T(X-1),

.-.l+2+22+...+268+269=(269+1-1)+(2-1)=270一i.

总结本题考查了平方差公式，认真观察各式根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.

【难度】3

题型3:乘法公式的几何应用

如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把拿下的部

分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式,

则这个等式是（）

图⑴图②

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2

【答案】A

【解析】

解曲题可得:a2-b2=(a-b)(a+b).

故选：A.

总结：此题主要考查了平方差公式的几何背景.解题的关键是运用阴影部分的面积相等得出

关系式.

【难度】2

【题目】题型3变式练习1:乘法公式的几何应用

从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一

个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是()

困1图2

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

【答案】B

【解析】

解：•从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2-b2,

拼成的矩形的面积是：(a+b)(a-b),

根据剩余部分的面积相等得:a2-b2=(a+b)(a-b),

故选：B.

总结：本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思

想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来.

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:乘法公式的几何应用

如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD,

则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：

【答案】a2+2ab=a(a+2b);

a(a+b)+ab=a(a+2b);

a(a+2b)-a(a+b)=ab

【解析】

解：把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：a2+2ab=a(a+2b);

把图形分割成两个长方形，一边长分别是a+b,b，宽都是a，则有2(a+b)+ab=a(a+2b);

用整个图形的面积减去一个边长为a,a+b的长方形，得到另外一个长方形,边长是a,b,

即：a(a+2b)-a(a+b)=ab.

故本题答案为:a2+2ab=a(a+2b);a(a+b)+ab=a(a+2b);a(a+2b)-a(a+b)

=ab.

总结：本题考查了用面积分割法检验乘法算式，是学习乘法运算最常见的形式，这种方法形

象直观，容易理解.

【难度】2

【题目】兴趣篇1

如图，正方形ABCD的边长为a,点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为

b(a>b),连结AF、CF、AC.

(1)用含a、b的代数式表示GC=；

(2)若两个正方形的面积之和为60,即a2+b2=60,又ab=20,图中线段GC的长;

(3)若a=8,MFC的面积为S,则S=.

【答案】(1)a+b(2)10(3)32

【解析】

解：(1);GC=GB+BC,

.■.GC=a+b

(2)V(a+b)2=a2+b2+2ab=60+20x2=100

.-.a+b=10

.-.GC=10

(3)S«AFC=S4AFE+S口FGBE+SSBC-S-FGC

=4b(a-b)+b2+^-a2-7-b(b+a)

222

=《ab-7-b2+b2+7-a2--^-b2-《ab

22222

=—x82

2

=32

总结：本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并.运用几

何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点.

【难度】3

【题目】兴趣篇2

如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1-4班的卫生区，学校把它分成大小

不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班

的卫生区是一块边长为(x-2y)米的正方形，其中0<2y<x.

(1)分别用x、v的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；

(2)求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？

【答案】(I)x2-4y2x2-4y2(2)8xy

【解析】

解：(1)八年3班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

八年4班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

(2)[2x-(x-2y)]2-(x-2y)2=8xy.

答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米.

总结：本题考查的是平方差公式的几何表示，根据几何图形表示出相关图形的面积、正确应

用平方差公式和完全平方公式是解题的关键.

【难度】3

【题目】备选题目1

已知实数x,y满足方程(x2+2x+3)(3y2+2y+l)，则

x+y=__________________

【答案】

【解析】

4

解：•・•(x2+2x+3)(3y2+2y+l)=—,

(x+1)2+2][3y2+2y+l]x3=4,

.-.[(x+l)2+2][9y2+6y+3]=4,

22

.•.[(x+l)+2][(3y+l)+2]=4,

V(x+1)2>0,(3y+l)2>0,

/.x+l=0,3y+l=0,

..x=-1i,y=-—1,

4

­-X+y='3-

总结：本题考查了完全平方公式，巧妙运用了完全平方公式和非负数的性质，整理成平方的

形式是解题的关键.

【难度】3

【题目】备选题目2

若|x+y-4|+(xy-3)2=0,求x?+y2的值.

【答案】