【高等代数知识在几何学中的应用研究5300字（论文）】

PAGEPAGEI高等代数知识在几何学中的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u18982一、引言 13428二、相互渗透的知识 232247三、高等代数知识在几何学中的应用途径 315627（一）高等代数与解析几何课程的整合应用 320059（二）整合教材的内容取舍 327633四、高等代数在几何位置关系中的应用及证明 49994（一）平面位置关系 424800（二）直线位置关系 715849（三）线面位置关系 825443五、高等代数在几何向量关系中的应用 1026791例4.判断下列向量组是否共面 1013681解： 1016453结语 1130565参考文献 12一、引言解析几何课程是在大一与高等代数课程一起开展的，我们知道在高等代数里，矩阵的应用贯穿在整本书中，并且在高等代数中有一章着重讲解了线性关系以及矩阵的拓展增广矩阵；而在解析几何中，平面内与空间中的关系是我们的主要研究对象，在解析几何的学习中，很多情况下为了便于理解与方便计算，我们会转换为用高等代数里面的矩阵，行列式的运算来解决问题。在解析几何的应用中，高等代数中的线性关系是我们解决解析几何应用的利器，例如判断直线与直线的关系，直线与面的关系，面与面的关系的时候，我们可以利用已知的矩阵的秩与增广矩阵的秩的大小进行比较[1]。几何概念可以用代数方式展现，几何中抽象的运算也可以通过代数中的方法来计算；相反，几何对于代数的意义在于它使代数语言得到了形象的展现，使代数语言变得更加直观，便于理解其中的联系与得到新的启示，推动数学世界的发展。只要高等代数与解析几何不被联系在一起学习与研究，必然会减缓它们发展的脚步，其应用范围也会狭隘许多。但是当这两门学科共同学习与探究时，它们就相辅相成，相互促进，共同让数学世界变得更加圆满[2]。空间中的直线及平面都是我们在解析几何中常见的基础内容，自然来看，直线与平面的位置关系的判断与分析也是解析几何研究中的一项基本内容。但是，我们发现通过阅读每个大学的不同解析几何的课本，发现很多课本对于直线与平面的位置关系重点放在了它们的对称式方程与点法式方程上，并且利用高等代数知识去解决。而本文将通过运用矩阵及其秩来证明对平面和直线的位置关系、平面与平面位置关系、两直线位置关系以及向量之间的关系[3-4]。二、相互渗透的知识高等代数是一门讨论维度有限情况下的线性空间以及线性理论为主要内容的课程，其内容逻辑严谨，且相对抽象，是通过公理化来表述的，解析几何是一门研究平面内及空间中关系的一门课程，空间解析几何对于空间想象能力以及向量相关的计算能力的要求较高。将高等代数知识运用到几何学中去解决几何学的问题，是本文重点探讨的问题，具体思路为首先找到高等代数与解析几何之间的联系，通过大学数学课程的学习，我们不难发现，高等代数中的向量知识是一个非常好的切入点，几何向量作为线性空间的一个极好的表现形式，它简洁明了且直观，是数形结合最合适的媒介，把高等代数知识与几何学巧妙地连接起来。对于平面几何与空间几何知识的引入，我们可以借用高等代数中线性空间和线性变换内容，对于抽象的几何学内容来说，将抽象内容转变成数量的计算形式，这样，解析几何就不再是抽象而又晦涩难懂的内容，在理解甚至是教学这些内容的时候，都简单很多。例如：将二次曲面和二次型内容联系起来学习，不仅便于理解，更利于学习者理解数学中不同课程之间的联系。解析几何在高等代数中的映射如下：对向量代数知识来说，从2维和3维几何空间引入后，在学习及教学相关运算性质的同时，随着空间维数的增加理所当然地推广到n组向量；对线性空间知识部分来说，从向量之间的基本运算下手，再利用大量的例证阐述；对线性变换知识部分，通过实数轴的函数运算作为模型，同样利用大量例证[5-9]。高等代数是研究几何的一种科学技术，为研究解析几何相关知识提供技术与方法支持。为了更好的学习几何学的概念方法等相关知识，我们利用线性数学的知识来定义、形容和表述。由于高等代数与解析几何有着密不可分的关系，在高等代数中，许多知识点的引入、陈说也用到了解析几何中的相关知识，例如线性空间的定义描述，就是通过解析几何中的二维几何空间及三维几何空间模型，据此延展开来，高等代数与解析几何存在着密不可分的紧密联系，对于解析几何来说，它的一维、二维、三维空间知识是线性代数中n

维空间知识的特殊情况体现，而对于线性空间中的大部分理论来说，它又是一维、二维、三维几何空间的延伸[10]。三、高等代数知识在几何学中的应用途径（一）高等代数与解析几何课程的整合应用当前，教师专业化是师范教育发展的动力，其目标是培养优秀的教师。高等代数和解析几何是中学教师必备的基础课。中学数学课程内容的转变是课程内容的整合和课程内容的现代化。前者要求高等代数与解析几何的整合与发展，后者增加了现代数学思想的内容，压缩了传统数学课程的时间。课堂时间的压缩、高等代数与解析几何课程的整合已成为基础数学课程必须解决的问题。由此可见，改革高等代数与解析几何课程设置是数学教师专业化发展的需要郑立笋.应用型本科院校高等代数教学研究[J].高师理科学刊,2018,38(01):73-75.郑立笋.应用型本科院校高等代数教学研究[J].高师理科学刊,2018,38(01):73-75.教育观念在一定程度上制约了教学内容，教育观念的转变将导致教育内容的变革。传统高等教育的主要功能是传授知识。随着教育事业的不断发展，高等教育与社会经济的关系越来越密切，朝着多样化、一体化、个性化的方向发展。高校也在适应高等教育理念的转变。高师院校的课程结构必须适当调整，紧密联系各学科，这也是教育改革的发展趋势。在这些高等教育理念的影响下，高等代数与解析几何课程改革是适应高等教育理念变化的需要李玉瑛,张海峰.“高等代数”教材教改探索[J].山西科技,2016,31(06):126-128.李玉瑛,张海峰.“高等代数”教材教改探索[J].山西科技,2016,31(06):126-128.高等代数与解析几何的整合，有助于新旧知识的过渡。初学者如果对解析几何的有了一定的理解，那么，高等代数的学习内容就会变得相对容易很多。二者的整合既是数学学科内容上的简化，又是现代数学思想方法的反映。高等代数与解析几何的整合，不是简单的将两书的结合，而是要遵循数学教学思想和方法，在保证教学质量、保留基本知识点的基础上，删除课本上不必要内容。高等代数与解析几何的整合符合数学的特点和数学课程现代化的趋势。线性代数是高等代数的主要内容，具有深刻的几何背景。而解析几何则是用代数方法研究空间的几何问题。因此把高等代数与解析几何合成一门课具有内在的合理性。从历史上看，代数与几何的发展从来就是相互联系、相互促进的。他们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这两句话。不少例子都说明一旦抽象的代数概念找到了正确的几何直观，就能对它的发展提供新的动力甚至诞生新的研究领域。（二）整合教材的内容取舍行列式是线性代数的重要组成部分，但它离代数中心很远。因此，当前教科书中存在探讨行列式“舍去”的倾向。我们认为教材的整合只适合于讲授行列式的性质和简单操作。在有限维空间和线性变换理论的研究中，矩阵是特别有效的工具，因此增加矩阵分析的内容是有用的，其内容可以包括矩阵分解、向量和矩阵范数和极限、特征值估计、广义逆矩阵等。在类似变换矩阵理论中，规范形式是一个很好的结果，它可以使许多问题都很容易回答，它在其他数学分支如微分方程中也可以使用。因此，在传统教材中进行了详细的论述田洁.高等代数与解析几何课程整合的思考[J].亚太教育,2015(17):23-24.田洁.高等代数与解析几何课程整合的思考[J].亚太教育,2015(17):23-24.初等数学中的有关问题分析之后，得到了许多高等代数理论。它在初等数学教学中起着主导作用。了解他们之间的关系对高师学生是非常重要的。因此，在引入相关理论时，教材整合应适当引入这一背景。例如，当引入映射时，指出映射是函数概念的推广。在引入线性空间时，指出线性空间是解析几何中平面和空间概念的推广。此外，有必要介绍一些初等数学中的高等代数实例，以突出高师课程内容的特点刘朝霞.高等代数与解析几何课程整合的思考[J].赤峰学院学报(自然科学版),2013,29(15):11-12.刘朝霞.高等代数与解析几何课程整合的思考[J].赤峰学院学报(自然科学版),2013,29(15):11-12.最后，在教材内容整合中必须加强几何的地位和作用。事实上，代数和几何上一门课，代数是比重大于几何，代数几何，虽然不是平分秋色，也加强了几何的内容，特别是加强相关的曲线和曲面在几何图形内容，这些图形通常使用相关的问题在数学分析中的弧长和面积程新珠,刘莉.探析高等代数与解析几何之合并设课[J].数学学习与研究,2015(07):12+14.程新珠,刘莉.探析高等代数与解析几何之合并设课[J].数学学习与研究,2015(07):12+14.四、高等代数在几何位置关系中的应用及证明（一）平面位置关系我们都知道两个平面之间只存在相交、平行、重合这三种位置关系。定理1：设两个平面方程为当Ⅰ与Ⅱ平行时，当Ⅰ与Ⅱ相交时，不全相等当Ⅰ与Ⅱ重合时，而用矩阵的表示则为当Ⅰ与Ⅱ平行时，当Ⅰ与Ⅱ相交时，当Ⅰ与Ⅱ重合时，其中;证明：一般地，我们易建立线性方程组，下面我们Ⅰ与Ⅱ平行，则方程组无解，Ⅰ与Ⅱ无公共点，即由R(A)=1,可设，又，所以0，即，结论已成立。（2）Ⅰ与Ⅱ重合，即方程组有无穷个解而且只有一个方程，即当且仅当，，结论2成立。（3）Ⅰ与Ⅱ相交，即方程组有无穷个解而且有两个不同的方程，即，，结论3成立。例1.求过一点（-1，2，4），并且这一点与平面和平面交线的平面方程。解：因为平面经过点（-1，2，4），所以可设平面方程为,即所组成的方程组为由定理1我们可以得到，若两平面相交则有，其中，，即则所求的平面方程为：4（x+1）-3(y-2)=0（二）直线位置关系我们都知道两条直线只存在相交、平行、重合与异面四种位置关系。定理2：设两条直线的方程为，1. 直线与直线相交的充分必要的条件为：2.直线与直线重合的充分必要的条件为：3. 直线与直线平行的充分必要的条件为：4.直线与直线异面的充分必要的条件为：其中，证明：建立线性方程组下面我们讨论有关线性方程组解的情况，我们易知道或者当R(A)=2时（由非齐次线性方程组解的情况可知）=2,方程组有无穷解且直线与直线方向向量共线，则L1与L2重合，结论2成立。=3,线性方程组无解且直线与直线的方向向量共线,则L1与L2平行，结论3成立。当R（A）=3=3,线性方程组有唯一解,则直线与直线相交,结论1成立。=4,线性方程组无解且直线与直线的方向向量不共线,则与L2异面，结论4成立。例2.尝试判断直线与直线的位置关系：：解：因为A=,则R(A)=3,则R()=4即R(A)=3，R()=4，由定理2知直线与直线异面。（三）线面位置关系我们知道空间直线与平面一定有3种位置关系，分别为：相交、平行、直线在平面上。定理3：与平面：AX+BY+CZ+D=0的位置关系：直线与平面相交的充分必要条件为直线与平面平行的充分必要条件为直线在平面上的充分必要条件为其中，证明：显然，我们可以建立线性方程组，且可以讨论线性方程组解的情况，我们容易得到（1）当R（A）=2时①R（）=2,线性方程组有无穷多解,即直线L与平面Π有无穷多交点,直线L在平面Π上，结论3成立。②,线性方程组没有解,即直线L与平面Π没有交点,则有直线L与平面Π相互平行，结论2成立。（2）当R（A）=3时只有一种情况，线性方程组有唯一一个解，即直线与平面Π相交，结论1成立。例3.求过直线:与平面平行的平面方程。解：设我们所求的平面的方程为,因为该平面与平面平行，所以我们容易得出设A=3t,B=2t,C=t,则该平面方程为3tX+2tY+tZ+D=0，建立线性方程组直线在平面上，由定理3得，该方程有无穷多解，则有=即，所以D=，所以该平面方程为3X+2Y+Z+=0五、高等代数在几何向量关系中的应用记向量；（不全为零，不全为零，不全为零），则有若，即，则，，共面若，即，则，，异面其中证明：向量定理涉及三个向量，，共面问题，注意到，，共面的充要条件是其中有一个向量可由其余两个向量线性表示，于是若，即,于是，，线性相关，从而，，共面。若，即，于是，，线性相关，从而，，共面。一般地，向量共面的等价条件是该向量的极大无关组中至多只有两个向量，从而共面的充要条件是。例4.判断下列向量组是否共面，，，，，解：由，可知，故，，共面。2）由，可知，故不共面。结语随着社会的不断发展，需要越来越多的实用型人才。这就要求学生学习基本知识和相应的基本技能，提高自己在市场上的竞争力。因此，传统的课程已经不能适应社会发展的需要，必须进行课程改革。一些学者提出了高等代数与解析几何的结合。将高等代数与解析几何这两门学科相互结合，可以使问题更加简便化，同时更加的能激发同学们对数学的兴趣，给数学注入活力。将高等代数知识运用到解析几何中，有利于学生在已知的结构上进行进一步的完善，并且再次巩固了高等代数知识[11-13]。利用已有的知识去学习新知识，相对而言是比较容易的。在判断线线关系、线面关系、面面关系、向量间的关系等时，利用代数的知识去求解也是比较简单的。对于老师来说将高等代数知识运用解析几何中，能使解析几何课程的教学效果提高，使计算简便化，并且培养了学生的主动思维和创新思维具有促进作用。在文中通过用高等代数知识中的矩阵中的秩去解释