ch6期望效用函数

ch6期望成效实际一、个体行为决策准那么〔一〕偏好关系成效是一种纯客观的心思感受，因人因地因时而异。偏好是建立在消费者可以察看的选择行为之上的。偏好关系〔preferencerelation)是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维〔或二元〕关系〔binaryrelation〕表述出来。1.偏好关系的表述令C为商品〔或者消费〕集合，C中有M种可供选择的商品。它是M维实数空间中的一个非负子集，它总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者称之为商品束〔commoditybundle〕或者消费束〔consumeboundle〕。我们可以在消费束的集合上建立下面的偏好关系〔preferencerelation〕或者偏好顺序〔preferenceordering〕：〔1〕弱偏好于x，x至少与y一样好。〔2〕强偏好于x；但，不成立。〔3〕无差别于x、y；即：和2.偏好应满足的根本公理〔Axiom〕条件：〔1〕完备性〔completeness〕:

中有一种关系成立。完备性假定保证了消者具备选别判别的才干。〔2〕自返性〔reflexivity〕：，那么有

自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性。〔3〕传送性：

传送性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一向性。同理：

〔4〕延续性〔continunity〕对于恣意的X、y，集合和是闭集，那么和是开集。即假设x是一组至少与y一样好的消费束，而且它趋近于另一消费束z，那么z与y至少同样好。这样就可以得到一条延续的无差别曲线。

〔4〕单调性〔monotonicity〕，单调性阐明添加一点商品至少与原来的情况同样好。只需商品是有益的，单调性就必然成立。强单调性阐明同样的物品，假设其中有些种类的数量严厉多于原来的物品，消费者那么必定严厉偏好于他们。且那么〔5〕部分非饱和性〔localnon-satiation〕和〉0，总存在使得在技术上，部分非饱和性和单调性保证了无差别曲线具有一个负的斜率。部分非饱和性假设的含义是，即使仅允许对消费束做微小的调整，消费者也可以更好。部分非饱和性假设意味着不存在无差别区域。由于假设有无差别区域，就可以在区域内以x0画出一个邻域，其内一切消费束与x0无差别。这显然违背了部分非饱和性假设。显然，强单调性成立意味着部分非饱和性成立。〔6〕凸性〔convexity〕严厉凸性〔strictlyconvexity〕：

凸性可了解为边沿替代率递减。平均消费束比端点消费束更受偏好。凸性(Convexity)x2y2x1y1xyz=(tx1+(1-t)y1,tx2+(1-t)y2)，〔0≤t≤1〕Z偏好于x,y。〔二〕确定性环境下的成效函数1.基数成效与序数成效基数成效：19世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等以为，人的福利或称心可以用他从享用或消费过程中所所获得的成效来度量。对称心程度的这种度量叫做基数成效.序数成效：20世纪意大利的经济学家帕累托等发现，成效的基数性是多余的，消费实际完全可以建立在序数成效的根底上。所谓序数成效是以成效值的大小次序来建立称心程度的高低，而成效值的大小本身并没有任何意义.2.成效函数定义假设对于有和成立，那么函数关系是一个代表了偏好关系的成效函数。

定理1：一个成效函数可以经过正单调变换而获得另一个成效函数与原来的成效函数具有同样的偏好关系：且是单调递增函数，那么有：

定理2：假设消费者在消费集C上的偏好关系具有完备性、自返性，传送性和延续性，那么存在一个可以代表偏好顺序的延续成效函数u:C→R。〔三〕消费者成效最大化问题

令那么最大化问题为：

上述约束式为瓦尔拉斯〔walrasianbudgetset〕预算集。最优解：

〔三〕不确定性环境下的行为选择1.关于风险与不确定性奈特〔Knight.F〕<风险、不确定性和利润〉中关于确定型、风险和不确定性的解释：确定性：是指自然形状如何出现知，并交换行动所产生的结果知。它排除了任何随机事件发生的能够性。

风险：是指那些涉及知概率或能够性方式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可能发生的一切事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。不确定性：是指发生结果尚未不知的一切情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的能够形状〔结果〕，但对于每一种形状发生的概率不清楚。由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实践中常常根据客观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的能够性，因此学术界经常把具有客观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入客观概率或设定概率分布的概念，其二者的界限就模糊了，几乎成为一个等同概念。2.不确定性下的偏好选择〔1〕不确定性下选择的表述方法自然形状：特定的会影响个体行为的一切外部环境因素。通常我们用S表示自然形状的集合：S={1，…，S}。自然形状的特征：自然形状集合是完全的、相互排斥的〔即有且只需一种形状发生〕自然形状的信心〔belief〕：个领会对每一种形状的出现赋予一个客观的判别，即某一特定形状s出现的概率P〔s〕满足：0≤p〔s〕≤1，这里的概率p〔s〕就是一个客观概率，也成为个体对自然的信心。不同个体能够会对自然形状持有不同的信心，但我们通常假定一切的个体的信心一样，这样特定形状出现的概率就是独一的。①形状依存结果的优序选择〔形状偏好〕用彼此排斥和详尽无遗的自然形状组成的集合，而不是用概率来反映个人所面临的随机性。假定：X:不确定环境下可选择行为的集合;S:能够的形状集合C:可选择行为的结果的集合行为xX和sS结合产生的结果cC函数把行为、形状和结果对应起来：当经济主体在可行的行为之间进展选择时，他们以被选行为产生的结果为根底进展选择。但是行为对于决议特别的结果来说，经常是不充足的。其他要素会与选择的行为相互作用产生一个特别的结果。这些其他要素，超越了经济行为人的控制，被称为自然形状。大量的自然实形状的存在使得目前所采取的任何行为的未来结果是不确定的。在决议行为的过程中，主体对自然形状是不确定的，这些形状将共同确定被选行为的结果。选择行为a就为每一自然形状决议了一个结果c=，对X中行为的选取从而被视为对依赖形状〔或偶尔形状〕结果的选取。经过察看函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件下的决策。假设c关于自然形状是不变的，即自然形状不会影响产生的结果，那么可以以为是确定条件下的决策。假设不同的形状导致不同的结果，那么可以以为是不确定条件下的决策②行为结果的概率分布选择既然在行为、现实的形状和结果之间的关系经过函数来描画，在S上定一个概率测度：对恣意xX，存在一个C上的概率分布：

这个概率表述阐明，在一个行为既定的情况下，特定结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的能够性情况的概率。由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主体选择的行为，因此，我们可以等价地以为，对于行为结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。因此，不确定性条件下的行为选择可以了解为行为主体在不同的概率分布中进展选择。这意味着，行为主体表现本人偏好关系的可行行为集合X必需具备如下性质：

在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P〔.〕来表示行为x，其中，p〔c〕是使选择x的结果等于c的概率。因此，对于一切的c∈C，p〔c〕≥0且〔2〕不确定性下的理性决策原那么A.数学期望最大化原那么数学期望收益最大化准那么是指运用不确定性下各种能够行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这一准那么有其合理性，它可以对各种行为方案进展准确的优劣比较，同时这一准那么还是收益最大准那么在不确定情形下的推行。问题：能否数学期望最大化准那么是一最优的不确定性下的行为决策准那么？典型案例：圣彼德堡悖论〔SaintPetersburyParadox〕思索一个投币游戏，假设第一次出现正面的结果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前两次反面，第三次正面得4元，……假设前n-1次都是反面，第n次出现正面得元。问：游戏的参与应先付多少钱，才干使这场赌博是“公平〞的？该游戏的数学期望值：但实验的结果阐明普通理性的投资者参与该游戏情愿支付的本钱〔门票〕仅为2-3元。圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只情愿支付有限的价钱？B.期望成效原那么DanielBernoulli〔1700-1782〕是出生于瑞士名门著名数学家，1725-1733年期间不断在圣彼德堡科学院研讨投币游戏。其在1738年发表<对机遇性赌博的分析>提出处理“圣彼德堡悖论〞的“风险度量新理论〞。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望〞来作为决策准那么，而是用“品德期望〞来行动的。而品德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富人对于财富添加的边沿成效是不一样的。即人们关怀的是最终财富的成效，而不是财富的价值量，而且，财富添加所带来的边沿成效〔货币的边沿成效〕是递减的。伯努利选择的品德期望函数为对数函数，即对投币游戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：

其中，为一个确定值。另外，Crammer〔1728〕采用幂函数的方式的成效函数对这一问题进展了分析。假定：那么

因此，期望收益最大化准那么在不确定情形下能够导致不可接受的结果。而贝努力提出的用期望成效取代期望收益的方案，能够为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的处理方案。根据期望成效，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样糟。C.后期望成效实际：由阿莱斯悖论等各种实验引发的新的期望成效实际，如前景实际、遗憾实际、加权的期望成效实际、非线性的期望成效实际等等行为金融学和非线性经济学对期望成效的新的解释。二、VNM期望成效函数期望成效实际是不确定性选择实际中最为重要的价值判别规范。期望成效函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好构造的描写，具有广泛的用途。〔一〕成效函数的表述和定义不确定性下的选择问题是其成效最大化的决议不仅对本人行动的选择，也取决于自然形状本身的选择或随机变化。因此不确定下的选择对象被人们称为彩票〔Lottery〕或未定商品〔contingentcommodity〕想象消费者参与一次抽奖〔lottery〕，一切能够产生的结果为C，假定C的结果是有限的，我们用N=1，…，N来标示这些结果，每一结果发生的概率为，这样，我们可将该简单抽奖〔simplelottery〕记为：比简单抽奖更为复杂的是复合抽奖〔compoundlottery〕，其抽奖结果是众多的简单抽奖。复合抽奖记为：其中，是一个简单抽奖。对于每一个复合抽奖，我们可以计算出一个引至抽奖〔reducedlottery〕。它将复合抽奖简化为简单抽奖。任何复合抽奖的引至抽奖，可以通过下面的向量加法获得：期望成效表述〔expectedutilityrepresenting〕：对一件抽奖商品的期望成效表示为对抽奖结果的成效函数的数学期望:其中，是VNM成效函数。更普通地，我们可以表述为：其中，是一个随机变量。其含义为：一种未定商品的成效等于该未定商品所涉及确实定商品的成效的均值。〔二〕期望成效函数的公理化陈说1.不确定性下的偏好关系表述个体一切可选择抽奖的集合称为抽奖空间，记为：同样地，假设个体在抽奖空间上存在一个偏好关系，即可以根据本人的规范为一切抽奖排出一个优劣顺序。2.根本公理公理1：第一式阐明，抽奖的概念同样适宜于确定性财富。某一确定的拥有x，相当于抽奖的中签率为100%，其价值为x.因此，确定商品空间是未定商品空间的一个子集。第二式那么阐明，同样一张抽奖有两种表示方式；第三式是复合抽奖原理的表达，它阐明经济主体只关怀抽奖结果最终的概率分布，而不在乎抽奖〔彩票〕的构成形式。公理2：延续性〔continuity〕：对于恣意的下面的集合为闭集：和

延续性假设将保证概率的微小变化不会改动原有的两个抽奖商品之间的偏好顺序。如：假设消费者对“高兴和平安的开车游览〞的偏好强于“待在家中〞，那么，他对于一个“高兴与平安的开车旅行〞与一个具有充