高中文科数学高频考点与核心归纳：基本初等函数、函数的图象和性质

基本初等函数、函数的图象

和性质-2--3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数及其表示【思考】

求函数的定义域、函数值应注意哪些问题?例1(1)下列函数中,其定义域和值域分别与函数

y=10lgx的定义域和值域相同的是(

)A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=

.

答案

(1)D

(2)12

-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析

(1)y=10lg

x=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x的定义域和值域均为R;y=lg

x的定义域为(0,+∞),值域为R;y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);

的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.(2)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可;若已知f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出;实际问题除要考虑解析式有意义外,还应考虑现实意义.2.当求形如f(g(x))的函数值时,应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(1)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当

则f(6)=(

)A.-2 B.-1 C.0 D.2(2)(2018全国Ⅰ,文13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数的性质及其应用【思考1】

在函数的单调性、奇偶性、周期性中,哪些是函数的局部性质,哪些是函数的整体性质?例2(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b答案解析解析关闭答案解析关闭-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.单调性是函数在其定义域上的局部性质,函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.2.奇偶性和周期性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.3.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0,偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(1)已知函数f(x)=3x-,则f(x)(

)A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数(2)(2018全国Ⅰ,文12)设函数f(x)=

则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,0)答案

(1)B

(2)D

-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1.综上所述,x的取值范围为(-∞,0).-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数的图象及其应用【思考】

如何根据函数的性质判断函数的图象?例3A.2 B.4 C.6 D.8C解析

f(x)的图象如图所示.-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.因为函数的图象直观地反映了函数的性质,所以通过对函数性质的研究能够判断出函数图象的大体变化趋势.通过对函数的奇偶性、单调性、周期性以及对称性的研究,观察图象是否与之相符合,有时还要看函数的零点和函数图象与x轴的交点是否相符.2.注意y=f(x)与y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及y=af(x)+b的关系.-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(1)(2018全国Ⅱ,文3)函数

的图象大致为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四利用函数思想求参数的范围【思考】

在不等式恒成立的前提下,如何求不等式中参数的范围?例4已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.(1)求f(x)在区间[0,1]上的值域;(2)当c为何值时,不等式ax2+bx+c≤0在区间[1,4]上恒成立?-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)如图所示,由图象知,函数在区间[0,1]上单调递减,则当x=0时,y=18;当x=1时,y=12.故f(x)在区间[0,1]上的值域为[12,18].-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(方法二)不等式-3x2+5x+c≤0在[1,4]上恒成立,即c≤3x2-5x在[1,4]上恒成立.令g(x)=3x2-5x,∵x∈[1,4],且g(x)在[1,4]上单调递增,∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2.即当c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思恒成立问题大多是在不等式中,已知变量的取值范围,求参数的取值范围,常用的处理方法有:(1)分离参数法,在给出的不等式中,若能分离出参数,即a≥f(x)恒成立,只需求出f(x)max,则a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,只需求出f(x)min,则a≤f(x)min,转化为函数求最值.若不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即f(x)≥g(x)恒成立,只需求出g(x)max,则f(x)≥g(x)max(若f(x)≤g(x)恒成立,只需求出g(x)min,则f(x)≤g(x)min),再解不等式求出参数a的取值范围,转化为函数求最值.(2)数形结合法,数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象,再通过观察两图象(特别是交点处)的位置关系,列出关于参数的不等式.-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(3)确定主元法,在给出的含有两个变量x,a的不等式中,常把x看成是主元(未知数),把a看成参数.若问题中已知a的范围,求x的范围,则把a作主元,x作参数,可简化解题过程.-22-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4(1)已知函数f(x)=x3-2x+ex-

,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是

.

-23-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)已知当x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,求a的取值范围.-24-规律总结拓展演练1.函数及其图象与性质研究函数问题时务必要“定义域优先”.对于函数的图象要会作图、识图、用图;对于函数的性质(周期性、奇偶性等)要常用、善用、活用.2.与周期函数有关的结论(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,其中的一个周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,其中的一个周期是T=2a.(3)若f(x+a)

,则f(x)是周期函数,其中的一个周期是T=2a.-25-规律总结拓展演练3.与函数图象的对称性有关的结论(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.(3)若f(x+a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称;若f(x+a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x=a对称.-26-规律总结拓展演练1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(

)A.y=x+sin2x B.y=x2-cosxC.y=2x+

D.