5.4.2正弦函数余弦函数的性质第二课时课件-高一上学期数学人教A版

yxo--1234-2-31

正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）y=sinx(xR)

x6yo--12345-2-3-41

x6o--12345-2-3-41

yy=cosx(xR)

定义域值域周期性R[-1,1]T=2波动的曲线生生不息复习引入1.定义域、值域与周期性sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函数x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称2.奇偶性与对称性对称中心对称中心对称轴对称轴3.过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.1.函数y＝sinx与y＝cosx图象也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sinx，y＝cosx的哪些性质？2.过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升,对应y＝sinx，y＝cosx的哪些性质？单调性最值

正弦函数、余弦函数都是周期函数，那么我们现在应该怎样研究正、余弦函数的单调性？（1）先研究它们在一个周期上的性质；（2）再利用它们的周期性，将性质扩展到整个定义域.学习新知

上节课我们借助于正弦函数和余弦函数的图象研究了它们的周期性、奇偶性.

观察正弦函数的图象，你觉得先选择哪一个周期研究单调性比较好？不妨同时考虑函数值的变化特点，作出合适的选择.正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]

其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1010-1减区间为[，]

其值从1减至-1？？？[

+2k

,

+2k],kZ[

+2k

,

+2k],kZ余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…

-1010-1增区间为其值从-1增至1[

+2k

,

2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k

,

2k+

],kZyxo--1234-2-31

研究周期不妨选[-

π,π].xyo--1234-2-31

yxo--1234-2-31

y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

正弦、余弦函数的最值当x＝

时，ymax=1；当x＝

时，ymin=－1.当x＝

时，ymax=1；当x＝

时，ymin=－1.例1．求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)y＝sin2x，x∈R;(2)y=sin(3x+)－1解：令w＝2x，使函数y＝sinw，w∈R取得最大值的集合是｛w｜w＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝w＝＋2kπ，得x＝＋kπ.典型例题即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝．函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.(2)当3x+=2k

+即x=(k

Z)时,y的最大值为0.例1．求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)y＝sin2x，x∈R;(2)y=sin(3x+)－1典型例题巩固练习你能归纳出形如和的函数求最值的一般思路和方法吗？归纳总结例2.不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又y=sinx在上是增函数

sin()<sin()即：sin()–sin()>0cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

解：

cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是减函数从而cos()-cos()

<0典型例题(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小．归纳总结比较三角函数值大小的步骤：巩固练习

解：令

，则．因为

的单调递增区间是

，且由，得

，所以，函数的单调递增区间是

．例3．求函数

的单调递增区间．典型例题

变式求函数的单调递增区间．解：令

，则

．因为

的单调递减区间是

由，得所以，所求单调递增区间是求单调区间的步骤(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cosx)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式．(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．归纳总结总之，求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.练习2.求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函数在上单调递减[

+2k,

+2k],kZ函数在上单调递增[

+2k,

+2k],kZ(2)y=3sin(2x-)

单调增区间为所以：提示:单调减区间为变:y=3sin(－2x)巩固练习(4)(3)y=(tan)sinx解：

单调增区间为单调减区间为

提示:首先应有

为减区间当即当即

为增区间。深化练习（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？