2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l经过A（﹣2，3），B（﹣1，2）两点，则直线l的倾斜角是（）A．π4 B．3π4 C．π32．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程为（）A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x=-116 D．3．（5分）圆C1：xA．相离 B．相交 C．内切 D．外切4．（5分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态5．（5分）若函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）6．（5分）直线l的方向向量为m→=(1，-1，0)，且l过点A（1，1，2），则点P（2，﹣2，1）到直线A．2 B．3 C．6 D．27．（5分）已知空间三点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（）A．|AB|＝|AC| B．点P（8，2，0）在平面ABC内 C．AB⊥AC D．若AB→=2CD→8．（5分）已知直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+my﹣2m＝0相交于点P，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（）A．5 B．25 C．35 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知直线l0：x+y+1＝0，则下列结论正确的是（）A．点（0，1）到直线l0的距离是2 B．直线l1：x﹣y+1＝0，则l0⊥l1 C．直线l2：mx+（m2﹣2）y+2＝0（m为常数），若l0∥l2，则m＝﹣1或m＝2 D．直线l3：x+y﹣1＝0，则l0和l3的距离为2（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝mn（）A．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n B．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-C．若mn＞0，且m＞n，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D．若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以x＝n为准线的抛物线方程为y2＝4mx（多选）11．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q为底面ABCD内两动点且满足A1P→=A1A→+xAB→+xA．C1B．直线PQ与DD1为异面直线 C．线段PQ长度最小值等于(2D．三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为a12．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，直线l：y＝k（x+A．若|AF2|+|BF2|＝m，则|AB|＝4a﹣2m B．若AB的中点为M，则kOMC．|AB|的最小值为2bD．AF1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为．14．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝2，AA1＝3，M是底面ABCD的中心，设AB→=a→，AD→=b→，A15．（5分）已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且PF→=2FQ→，则|16．（5分）已知曲线C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是12，P为其上顶点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且垂直于PF2的直线与C四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3a=5（1）求sinA的值；（2）若b＝4，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若DA＝DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中：①圆C过A（1，0）和B（﹣1，2），且圆心在直线l：2x+y+2＝0上；②圆C过E(0，3（1）在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，过直线x＝3上的点P（3，﹣4）分别作圆C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），求直线QR的方程，并求弦长|QR|．20．（12分）已知圆⊙：x2+y2＝4上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足CN→（1）求动点C的轨迹方程C；（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，AD＝1，AB=3，BC（1）求证：平面SBD⊥平面SAC；（2）若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64，求B到平面SCD22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离比到直线x+4＝0的距离小2．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率为k1，k2的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中k1+k2=12．设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点F作FD⊥AB，垂足为D

2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l经过A（﹣2，3），B（﹣1，2）两点，则直线l的倾斜角是（）A．π4 B．3π4 C．π3【解答】解：设直线的倾斜角为α，由已知可得直线的斜率k＝tanα=3-2又α∈[0，π），所以α=3π故选：B．2．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程为（）A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x=-116 D．【解答】解：因为抛物线y＝4x2，可化为：x2=14则抛物线的准线方程为y=-1故选：D．3．（5分）圆C1：xA．相离 B．相交 C．内切 D．外切【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+6y+9＝0的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，∴圆x2+y2﹣8x+6y+9＝0的圆心是C2（4，﹣3），半径＝4．又∵圆x2+y2＝9的圆心是C1（0，0），半径r2＝3．∴|C1C2|＝5，∵|r1﹣r2|＝1，r1+r2＝7，∴|r1﹣r2|＜|OC|＜r1+r2，可得两圆相交．故选：B．4．（5分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态【解答】解：对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B：当T＝270，P＝128时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当T＝300，P＝9987时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于D：当T＝360，P＝729时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；故选：D．5．（5分）若函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）【解答】解：函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2图象是开口向上，对称轴为x＝1﹣a，则函数f（x）在（﹣∞，1﹣a）上单调递减，在（1﹣a，+∞）上单调递增，又函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3）上是单调函数，所以1﹣a≥3，解得a≤﹣2，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．故选：A．6．（5分）直线l的方向向量为m→=(1，-1，0)，且l过点A（1，1，2），则点P（2，﹣2，1）到直线A．2 B．3 C．6 D．2【解答】解：∵A（1，1，2），P（2，﹣2，1），∴AP→=（1，﹣3，﹣1），又∴AP→在m→方向上的投影|AP→|•cos＜∴P到l距离d=|故选：B．7．（5分）已知空间三点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（）A．|AB|＝|AC| B．点P（8，2，0）在平面ABC内 C．AB⊥AC D．若AB→=2CD→【解答】解：因为|AB|62+(-2)2+(-3)因为AB→•AC→=（6，﹣2，﹣3）•（﹣2，3，﹣6）＝﹣12﹣6+18＝0，所以AB⊥AC因为AB→=（6，﹣2，﹣3），AC→所以AP→=AB→+AC→因为AB→=（6，﹣2，﹣3），2CD→=2（﹣1，﹣9，故选：D．8．（5分）已知直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+my﹣2m＝0相交于点P，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（）A．5 B．25 C．35 【解答】解：由直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+my﹣2m＝0相交于点P，故P为直线l1上任意一点，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0，得圆心为C（2，1），半径r=5，与y轴正半轴交于点M设M（0，2）关于直线x+y+2＝0对称点D的坐标为（m，n），则n-2m-0×(-1)=-1m2+∴D（﹣4，﹣2），∴|DC|=(-4-2)2∴|PM|+|PN|＝|PD|+|PN|≥|DN|≥|DC|-5=2故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知直线l0：x+y+1＝0，则下列结论正确的是（）A．点（0，1）到直线l0的距离是2 B．直线l1：x﹣y+1＝0，则l0⊥l1 C．直线l2：mx+（m2﹣2）y+2＝0（m为常数），若l0∥l2，则m＝﹣1或m＝2 D．直线l3：x+y﹣1＝0，则l0和l3的距离为2【解答】解：对于A：直线l0：x+y+1＝0，则点（0，1）到直线的距离d=|0+1+1|12对于B：直线l0：x+y+1＝0的斜率k1＝﹣1，直线l1：x﹣y+1＝0的斜率k2＝1，所以k1•k2＝﹣1，故l0⊥l1，故B正确；对于C：直线l0：x+y+1＝0，直线l2：mx+（m2﹣2）y+2＝0（m为常数），若l0∥l2，则m＝m2﹣2，解得m＝2或﹣1，当m＝2时，两直线重合舍去；当m＝﹣1时，两直线平行，故m＝﹣1．故C错误；对于D：直线l0：x+y+1＝0，直线l3：x+y﹣1＝0，则直线l0∥l3，所以这两直线的距离d=|1+1|12故选AB．（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝mn（）A．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n B．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-C．若mn＞0，且m＞n，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D．若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以x＝n为准线的抛物线方程为y2＝4mx【解答】解：对A选项，∵m＝n＞0，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：x2+y2＝n，∴曲线C是圆，其半径为n，∴A选项错误；对B选项，∵mn＜0，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：x2∴曲线C是双曲线，其渐近线方程为x2即y=±-mn对C选项，∵mn＞0，且m＞n，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：y2m+x2∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆，∴C选项错误；对D选项，∵曲线C：mx2+ny2＝mn是等轴双曲线，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：x2∴m+n＝0，且mn＜0，∴以原点为顶点以x＝n为准线的抛物线方程为y2＝4mx，∴D选项正确．故选：BD．（多选）11．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q为底面ABCD内两动点且满足A1P→=A1A→+xAB→+xA．C1B．直线PQ与DD1为异面直线 C．线段PQ长度最小值等于(2D．三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为a【解答】解：由A1P→=A1→A即P点在AC上，连接BD，则BD∥B1D1，由于AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故AA1⊥BD，又BD⊥AC，且AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，故BD⊥平面AA1C1C，C1P⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CP，则B1D1⊥C1P，∴C1P→•B因为异面直线B1Q与AA1所成角为30°，且AA1∥BB1，故B1Q与BB1所成角为30°，即∠QB1B＝30，则BQ=33故Q点在以B为圆心，BQ=33当Q为该圆弧与BD的交点，且P为AC，BD的交点时，直线PQ与DD1为相交直线，B错误：由于P点在AC上，Q点在以B为圆心，BQ=33故线段PQ长度最小值为点B到直线AC的距离2a2减去圆弧的半径BQ=33a，即最小值为（22三棱锥B1﹣APQ的高为BB1＝a，假设其体积可取到a318，则其底面积S△APQ=1又因为当P点位于C处，Q位于其所在圆弧与AB或BC的交点处时，△APQ的面积取到最大值，最大值为12×2a×22（a-33a因为16（3-3）a2＞16a2，故假设成立，即三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为故选：ACD．12．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，直线l：y＝k（x+A．若|AF2|+|BF2|＝m，则|AB|＝4a﹣2m B．若AB的中点为M，则kOMC．|AB|的最小值为2bD．AF1【解答】解：由题意可知，直线l过左焦点F1，作出图形如下：对于A，由椭圆的定义可知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a，∴|AB|＝4a﹣m，故A错误；对于B，联立方程y=k(x+c)x2a2+由韦达定理可得，x1+x2=-2ck2a2b2+a2k2，y1+y2∴AB的中点弦的斜率为kOM=y∴kOM•k=-b2a对于C，显然，当AB⊥x轴时，|AB|最短，此时(-c)∴y=±b∴|AB|=2但是由于直线AB的斜率k是存在的，直线AB不会垂直于x轴，所以|AB|＞2b2对于D，设A（x0，y0），则有AF1→=（c﹣x0∴AF1→⋅∴x02+y即点A在以原点为圆心，2c为半径的圆上，故原题等价于x2+y则必有x2≥0x解得55≤e≤1故选：B．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为3x﹣4y+5＝0或x＝1．【解答】解：设切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|2-k|k2+1=其方程为3x﹣4y+5＝0．又，当斜率不存在时，切线方程为x＝1．故答案为：3x﹣4y+5＝0或x＝1．14．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝2，AA1＝3，M是底面ABCD的中心，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=【解答】解：如图，取ABCD的中心M，连接D1M，AM，则D=1∴D1M→2==9=43则|D1M→故答案为：12a→15．（5分）已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且PF→=2FQ→，则|MQ|＝【解答】解：如图，过点P做PD垂直于准线l，由抛物线定义得|PF|＝|PD|，焦点坐标（0，2），准线方程y＝﹣2．因为PF→=2FQ→，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1则直线PQ方程为y＝kx+2，联立x2=8yy=kx+2，消去y得x2﹣8kx﹣16＝0，解得x1＝42，x2＝﹣22，P（42，4），Q直线的斜率为k=24，直线方程：y所以y=-2y=24x+2，解得|MQ|=(-2故答案为：17．16．（5分）已知曲线C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是12，P为其上顶点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且垂直于PF2的直线与C【解答】解：∵ca=12，∴a＝2c，∴又|PF1|＝|PF2|＝a，|F1F2|＝2c＝a，∴△PF1F2为正三角形，∴MN直线垂直平分PF2，∴|NP|＝|NF2|，|MP|＝|MF2|，∴△PMN的周长为|NP|+|MP|+|MN|＝|NF2|+|MF2|+|MN|＝4a，∵△PF1F2为正三角形，MN直线垂直平分PF2，∴易得直线MN的倾斜角为30°，∴直线MN的斜率为13∴设直线MN方程为x=3y﹣c∵a＝2c，b=3c∴双曲线方程可化为x24c2+y23c2联立x=3可得13y2-63cy-9c2=0，设M（x1，y1），则|MN|=1+3∴16c2＝169，∴c=134，∴a＝2c∴△PMN的周长为4a＝26，故答案为：26．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3a=5（1）求sinA的值；（2）若b＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由cosC=45＞0．所以C∈(0，∵3a=5c，∴∴由正弦定理asinA=c（2）由3a=5，可得a=∴A＜C，故A∈(0，π又∵sinA=55，∴∴sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2∴由正弦定理可得：asinA∴S△ABC18．（12分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若DA＝DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：过P作PS∥MD，交BD于S，过Q作QR∥MD，交CD于R，连接RS，∵PS∥MD，P是BM的中点，∴S是BD的中点，且PS=12∵QR∥MD，AQ＝3QC，M是AD的中点，∴QR=1∴QR∥PS，且QR＝PS，∴四边形PQRS为平行四边形，∴PQ∥SR，∵PQ⊄平面BCD，SR⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD．（2）以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，4），B（4，0，0），C（0，4，0），P（2，0，1），Q（0，3，1），则BM→=（﹣4，0，2），MQ→设平面BQM的一个法向量为n→=（x，y，则n→⋅BM→=-4x+2z=0设AC与平面BQM所成角为θ，则sinθ=|则AC与平面BQM所成角的余弦值为：cosθ=1-(19．（12分）在平面直角坐标系xOy中：①圆C过A（1，0）和B（﹣1，2），且圆心在直线l：2x+y+2＝0上；②圆C过E(0，3（1）在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，过直线x＝3上的点P（3，﹣4）分别作圆C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），求直线QR的方程，并求弦长|QR|．【解答】解：（1）选①：∵A（1，0）和B（﹣1，2），∴AB的垂直平分线方程为y＝x+1，由y=x+12x+y+2=0，解得x=-1y=0，∴圆心∴r＝|AC|＝2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4；选②：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则3+3E+F=01+D+F=0∴圆C的方程为x2+y2+2x﹣3＝0，即圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4；（2）由（1）可知圆心C（﹣1，0），半径为r＝2，由已知可得QR在以CP为直径的圆上，CP为直径的圆的方程为（x+1）（x﹣3）+y（y+4）＝0，∴x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0，∴直线QR的方程4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，圆心C到直线QR的距离为d=|-1-0|∴|QR|＝24-120．（12分）已知圆⊙：x2+y2＝4上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足CN→（1）求动点C的轨迹方程C；（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）设C（x，y），动点M（m，n），由CN→=22MN→，可得m＝∵M（m，n）在圆⊙：x2+y2＝4上，∴m2+n2＝4，∴x2+2y2＝4，∴动点C的轨迹方程为x2（2）由题意，设直线l的方程为1，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+1x2+2y2=4，消去x得，即（m2所以y1+y2=-2m2+m2，y1所以|AB|=1+而O到AB的距离d=|1|所以S△AOB=12|AB|•d设4m2+6=t≥6，则m2所以S△AOB=t2+14(所以△AOB面积的最大值为62，此时m21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，AD＝1，AB=3，BC（1）求证：平面SBD⊥平面SAC；（2）若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64，求B到平面SCD【解答】解：（1）证明：连接BD，AC，交于点E，∵在平面ABCD内，AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∵AD＝1，BC＝3，∴AE=13EC，BEAB=3，又AB⊥AD，AB⊥BC，∴BD=3+1=2，∴AE=14AC=3∴AE2+BE2=34+94=又SA⊥平面SBD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD，