专题21.13配方法的应用及材料阅读题大题专练（重难点培优60题）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（原卷版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.13配方法的应用及材料阅读题大题专练（重难点培优60题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________一．解答题（共40小题）1．（2022秋•西宁期末）阅读下列材料：用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1；同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）[材料理解]当x＝3时，代数式﹣3（x+3）2+4有最大（填写“大或小”）值为4；（2）[类比应用]求证：关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+1＝0总有两个不相等的实数根．【答案】（1）3，大，4；（2）见解析．【分析】（1）根据非负数得性质得﹣3（x+3）2≤0所以当x＝﹣3时，式子有最大值4；（2）由题意得Δ＝（k﹣3）2﹣4×（﹣2k+1），整理得Δ＝（k+1）2+4，即可判断Δ＝（k+1）2+4≥4＞0，进而得证结论．【解答】（1）解：代数式﹣3（x+3）2+4，∵﹣3（x+3）2≤0，∴当x＝﹣3时，式子有最大值4，故答案为：3，大，4；（2）证明：由题意可知，Δ＝（k﹣3）2﹣4×（﹣2k+1）＝k2﹣6k+9+8k﹣4＝k2+2k+5＝k2+2k+1+4＝（k+1）2+4，∵（k+1）2≥0，∴Δ＝（k+1）2+4≥4＞0，∴关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+1＝0总有两个不相等的实数根．【点评】考查了配方法的应用，用配方法解一元二次方程，利用配方法将二次三项式配方，即可求出最值．2．（2023春•武侯区校级期中）（1）已知a+b＝5，ab＝2，求a2+b2﹣3ab的值；（2）已知等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13，求△ABC的周长．【答案】（1）15；（2）△ABC的周长为7或8．【分析】（1）利用配方法将a2+b2﹣3ab配方成（a+b）2﹣5ab，再将a+b＝5，ab＝2代入即可求解；（2）利用配方法将a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13配方成（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，根据非负数的性质得到a＝2，b＝3，根据△ABC为等腰三角形对c的值进行讨论，再分别算出△ABC的周长即可．【解答】解：（1）a2+b2﹣3ab＝（a2+2ab+b2）﹣5ab＝（a+b）2﹣5ab，∵a+b＝5，ab＝2，∴原式＝52﹣5×2＝15；（2）∵a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13，∴a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝3，∵等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，∴c＝2或c＝3，∴a+b+c＝2+3+2＝7或a+b+c＝2+3+3＝8，∴△ABC的周长为7或8．【点评】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．3．（2023春•泾阳县期中）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，求x+y+z的值．【答案】见试题解答内容【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z，代入计算即可．【解答】解：x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9＝0，（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2＝0，则x﹣1＝0，y+2＝0，z﹣3＝0，解得，x＝1，y＝﹣2，z＝3，则x+y+z＝2．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．4．（2022春•金牛区校级月考）已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求ab的值．【答案】见试题解答内容【分析】将原方程左边配成两个完全平方的和，再根据非负数的性质可得a、b的值，代入计算可得．【解答】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13＝0，即a2﹣4a+4+b2+6b+9＝0，∴（a﹣2）2+（b+3）2＝0，根据非负数性质得：a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，则ab＝2﹣3=1【点评】本题主要考查配方的能力，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键．5．（2022春•雅安期中）已知：x2+y2+z2﹣2x﹣4y﹣6z+14＝0，求（xz）y的值．【答案】见试题解答内容【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z，代入计算即可．【解答】解：x2+y2+z2﹣2x﹣4y﹣6z+14＝0，x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+z2﹣6z+9＝0，（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2＝0，则x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，解得，x＝1，y＝2，z＝3，则（xz）y＝9．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．6．（2021秋•南江县校级月考）用配方法说明：不论m为何值，m2﹣8m+20的值都大于0．【答案】见试题解答内容【分析】先对代数式m2﹣8m+20进行配方，然后根据配方后的形式，由非负数的性质即可证得．【解答】解：m2﹣8m+20＝m2﹣8m+16+4＝（m﹣4）2+4，∵无论m取何值，（m﹣4）2≥0，∴（m﹣4）2+4＞0，即m2﹣8m+20的值都大于0．【点评】此题考查配方法的运用，配方不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于判断代数式的值或判断代数式的符号．7．（2021春•凤翔县期末）阅读材料：我们知道x2≥0，（a±b）2≥0这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式3x2+6x﹣2的最小值时，我们可以这样处理：3x2+6x﹣2＝3（x2+2x）﹣2＝3（x2+2x+12﹣12）﹣2＝3[（x+1）2﹣12]﹣2＝3（x+1）2﹣5．因为（x+1）2≥0，所以3（x+1）2﹣5≥0﹣5，当x＝﹣1时，3（x+1）2﹣5取得最小值﹣5．（1）求多项式2x2﹣8x+3的最小值，并写出对应的x的取值．（2）求多项式x2﹣2x+y2﹣4y+7的最小值．【答案】（1）﹣5；2；（2）2．【分析】（1）模仿例题计算即可；（2）根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答．【解答】解：（1）2x2﹣8x+3＝2（x2﹣4x）+3＝2（x2﹣4x+4﹣4）+3＝2[（x﹣2）2﹣4]+3＝2（x﹣2）2﹣5，∵（x﹣2）2≥0，∴2（x﹣2）2﹣5≥0﹣5，∴当x＝2时，2（x﹣2）2﹣5取得最小值﹣5；（2）x2﹣2x+y2﹣4y+7＝（x2﹣2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+2，∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+2≥2，∴当x＝1，y＝2时，x2﹣2x+y2﹣4y+7有最小值2．【点评】本题考查了配方法，完全平方公式，偶次方的非负性，解题的关键是根据完全平方公式对多项式进行配方．8．（2020秋•婺城区校级期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，（1）求m2+2m+4的最小值；（2）求4﹣x2+2x的最大值．【答案】（1）3；（2）5．【分析】（1）（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：（1）m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，即m2+2m+4的最小值为3；（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+5＝﹣（x﹣1）2+5，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．9．（2020春•滨湖区期中）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法应用：（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝﹣2，b＝0；（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据完全平方公式把原式的左边变形，根据偶次方的非负性求出a、b；（2）用x表示y，把原式变形，根据偶次方的非负性、负整数指数幂的概念解答即可．【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，∴a2+4a+4+b2＝0，∴（a+2）2+b2＝0，∴（a+2）2＝0，b2＝0，∴a＝﹣2，b＝0，故答案为：﹣2；0；（2）∵x+y＝8，∴y＝8﹣x，原式变形为x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，∴x＝4，z＝﹣2，∴y＝8﹣x＝4，∴（x+y）z=1【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．10．（2022春•港北区期中）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．②求x2+6x+11的最小值．解：原式＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2．由于（x+3）2≥0，所以（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+4；（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；（3）求x2+8x+7的最小值．【答案】（1）4；（2）（a﹣5）（a﹣7）；（3）x2+8x+7的最小值为﹣9．【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；（2）将35化为36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；（3）将x2+8x+7转化为（x+4）2﹣9，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，故答案为：4；（2）a2﹣12a+35＝a2﹣12a+36﹣1＝（a﹣6）2﹣1＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）＝（a﹣5）（a﹣7）；（3）x2+8x+7＝x2+8x+16﹣9＝（x+4）2﹣9，∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2﹣9≥﹣9，∴x2+8x+7的最小值为﹣9．【点评】本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．11．（2023春•宿迁期末）求代数式x2﹣4x+3的最小值时，我们通常运用“a2≥0”这个公式对代数式进行配方来解决．比如x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值是﹣1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2+6x+11＝（x+▲3）2+▲2；（2）求x2+y2+2x﹣4y+8的最小值；（3）如图，将边长为2的正方形一边保持不变，另一组对边增加2a+2（a＞0）得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a+1（a＞0），得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．①用含a的代数式表示出S1，S2；②比较S1，S2的大小．【答案】（1）3；2；（2）3；（3）S1＜S2．【分析】（1）依据题意，由完全平方公式a2+2ab+b2＝（a+b）2，即可进行变形得解；（2）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解；（3）①依据题意，根据图形进行计算即可得解；②依据题意，根据①所求S1和S2，通过作差法进行比较大小即可得解．【解答】解：（1）依据题意，x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2．故答案为：3；2．（2）由题意，x2+y2+2x﹣4y+8＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+3＝（x+1）2+（y﹣2）2+3．∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+3≥3．∴x2+y2+2x﹣4y+8≥3．∴x2+y2+2x﹣4y+8的最小值为3．（3）①由题意，根据图形可得，S1＝2（2a+2），S2＝（a+3）2．②由①可得，S2﹣S1＝（a+3）2﹣2（2a+2）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝a2+2a+1+4＝（a+1）2+4．∵（a+1）2≥0，∴（a+1）2+4≥4＞0．∴S2﹣S1＞0．∴S2＞S1，即S1＜S2．【点评】本题主要考查配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键．12．（2023春•广陵区期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式x2+2x+3的最小值解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．（1）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值．（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．【答案】（1）﹣10，（2）9．【分析】（1）直接运用配方法将代数式化成（x+m）2+n的形式，然后求解即可；（2）把关于a、b、c的三个方程加起来，然后分别对关于a、b、c的式子进行配方，并根据式子的特点求解．【解答】解：（1）原式＝x2+6x+9﹣10＝（x+3）2﹣10．∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣10≥﹣10．∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣1的最小值是﹣10．（2）∵a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8，∴a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣29．∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣8c+16）﹣29＝﹣29．即（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0．∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣4）2≥0．∴（a﹣2）2＝0，（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2＝0，解得a＝2，b＝3，c＝4．∴△ABC的周长为a+b+c＝9．【点评】本题考查了配方法的应用，用到的知识点有：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．13．（2023春•银川校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0，所以m+n＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求x和y的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．【答案】（1）x=-12，（2）13或14．【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x=-12，（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因为△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分两种情况：当c＝5时，△ABC的周长为5+5+4＝14，当c＝4，△ABC的周长为5+4+4＝13，所以△ABC的周长为13或14．【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．14．（2023春•江陵县期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵(a-b)2=a-2ab+b≥0，∴a+b（1）当x＞0时，x+1x的最小值为2；当x＜0时，x+1x的最大值为（2）当x＞0时，求y=x【答案】（1）2，﹣2；（2）11．【分析】（1）根据题中的不等式求解；（2）先把代数式变形，再利用题中的不等式求解．【解答】解：（1）∵x＞0，∴x+1x≥2∵x＜0，∴x+1x=-[﹣x+（-∵﹣x+（-1x）≥∴x+1x故答案为：2，﹣2；（2）∵x＞0，∴y=x2+3x+16x=x+3+16x≥∴y的最小值为11．【点评】本题考查了配方法的应用，理解题中的新方法是解题的关键．15．（2023•秦淮区二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，有a+（1）推导该结论的一种思路可以用如图的框图表示，请填写其中的空格．​（2）推导该结论的其他思路还有：①利用a+b＞c，a=(a)2②利用a+b＞c，使用平方差公式，…③利用a+b＞c，…上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．【答案】（1）①a+2ab+b②a+ba+b＞ca+b＞c【分析】（1）①根据完全平方公式即可得出结论；②根据二次根式的性质可以得出结果；③根据①②得出的结果很容易可以得出两个代数式的大小关系；根据三边关系以及二次根式的性质即可得出两个空的不等关系；（2）可以选择①②③中的任意一种进行作答即可．【解答】解：（1）①(a故答案为：a+2ab②(a+b故答案为：a+b．∵a，b，c是三角形的三边，∴a+b＞c，∴a+b＞故答案为：a+b＞ca+b＞（2）选①，∵a+b＞c，∴(a∴(a∵2ab＞0∴(a∴a+【点评】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，要能灵活运用因式分解解决问题．16．（2023春•邛崃市期末）材料一：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝a2+2a+1，B＝（a+4）（a﹣2），A﹣B＝（a2+2a+1）﹣（a+4）（a﹣2）＝（a2+2a+1）﹣（a2+2a﹣8）＝9，A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．材料二：把形如ax2+bx+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2，例如：我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1，∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2+1≥1，因此，该式有最小值1．（1）已知多项式M是多项式N的“雅常式”，如果M＝a2+2a﹣1，N＝（a+3）（a﹣1），请求出M关于N的“雅常值”；（2）多项式Q＝x2+2x﹣n的最小值为﹣3，求出n的值；若P＝（x+m）2（m为常数）是Q的“雅常式”，求P关于Q的“雅常值”．【答案】（1）2；（2）3．【分析】（1）计算M﹣N，即可求出M关于N的“雅常值”；（2）根据多项式Q＝x2+2x﹣n的最小值为﹣3，求出n的值；求出P﹣Q＝（2m﹣2）x+m2+2，由M是N的“雅常式”得出2m﹣2＝0，得出m＝1，进而求出P﹣Q＝3．【解答】解：（1）∵M＝a2+2a﹣1，N＝（a+3）（a﹣1），∴M﹣N＝a2+2a﹣1﹣（a+3）（a﹣1）＝a2+2a﹣1﹣（a2+2a﹣3）＝2，∴M关于N的“雅常值”为2；（2）∵Q＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣1﹣n≥﹣1﹣n，又多项式Q＝x2+2x﹣n的最小值为﹣3，∴﹣1﹣n＝﹣3，∴n＝2；∵P＝（x+m）2，∴P﹣Q＝（x+m）2﹣（x2+2x﹣2）＝x2+2mx+m2﹣x2﹣2x+2＝（2m﹣2）x+m2+2，∵P＝（x+m）2（m为常数）是Q的“雅常式”，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴m2+2＝12+2＝3，∴P关于Q的“雅常值”为3．【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，新定义，学生的理解能力以及知识的迁移能力，整式的加减等知识，理解A是B的“雅常式”的定义是解题的关键．17．（2023春•平阴县期末）阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，因此（x﹣2）2+1有最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，解下列问题：（1）代数式x2+6x+12的最小值为3；（2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值．【答案】（1）3；（2）最大值为10．【分析】利用配方法将代数式进行变形后再利用偶次幂的非负性即可求得答案．【解答】解：（1）原式＝（x2+6x+9）+3＝（x+3）2+3，∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+3≥3，即代数式x2+6x+12的最小值为3，故答案为：3；（2）原式＝﹣（x2﹣2x）+9＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+9＝﹣（x2﹣2x+1）+1+9＝﹣（x﹣1）2+10，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+10≤10，则代数式﹣x2+2x+9的最大值为10．【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法将原式化为“完全平方式+常数”的形式是解题的关键．18．（2023春•新都区期末）我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）图中所表示的数学等式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）利用（1）中得到结论，解决问题：①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，求（x+y）2024•x2023的值；②已知（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，求（x﹣2022）（2023﹣x）的值．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①2；②﹣12．【分析】（1）根据大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个小长方形的面积列得等式即可；（2）①利用完全平方公式将原式进行变形，再根据偶次幂的非负性确定x及y的值，然后代入（x+y）2024•x2023中计算即可；②利用完全平方公式将（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25变形后计算即可．【解答】解：（1）由图形可得大正方形的面积为（a+b）2，还可以表示为a2+2ab+b2，则（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，则9x2+4x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，即（9x2﹣6xy+y2）+（4x2﹣4x+1）＝0，那么（3x﹣y）2+（2x﹣1）2＝0，则3x﹣y＝0，2x﹣1＝0，解得：x=12，y∴（x+y）2024•x2023＝（12+32）2024＝22024×（12）＝2×22023×（12）＝2×（2×12＝2×1＝2；②∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，∴[（x﹣2022）+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，∴（x﹣2022+2023﹣x）2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，即1﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，则（x﹣2022）（2023﹣x）＝﹣12．【点评】本题考查完全平方公式的应用，配方法及偶次幂的非负性，（2）小题①中将原式变形整理为（3x﹣y）2+（2x﹣1）2＝0，②中将原式变形为[（x﹣2022）+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25是解题的关键．19．（2023春•鼓楼区期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．解决问题：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．【答案】（1）29＝52+22；（2）2；（3）当k＝13时，S是完美数，【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．【解答】解：（1）∵29是“完美数”，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝2，n＝1，∴mn＝2×1＝2．（3）当k＝13时，S是完美数，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整数，∴x+2，2y﹣3也是整数，∴S是一个“完美数”．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．20．（2023春•吴江区期末）阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值．x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值．﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1，可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值，最大值是﹣1.（1）【直接应用】代数式x2+4x﹣3的最小值为﹣7；（2）【类比应用】若多项式M＝a2+b2﹣2a+3b+2023，试求M的最小值；（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．【答案】（1）﹣7；（2）M的最小值是80794（3）围成的菜地的最大面积50米2．【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，含a、b的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可；（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为（20﹣2x）米，根据矩形的面积公式得到S＝x（20﹣2x），再利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，∴当x＝﹣2时，x2+4x﹣3有最小值，最小值是﹣7，故答案为：﹣7；（2）M＝a2+b2﹣2a+3b+2023=(a-∴当a＝1，b=-32时，M∴M的最小值是80794（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为（20﹣2x）米，根据题意得，S＝x（20﹣2x）＝20x﹣2x2＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，∴当x＝5时，S有最大值，最大值是50米2；∴围成的菜地的最大面积50米2．【点评】本题考查的是配方法的应用，偶次方的非负性，二次函数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．21．（2023春•高州市期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+49；（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；【答案】（1）49；（2）2；（3）17．【分析】（1）依据题意，根据完全平方公式求解；（2）依据题意，利用配方法求最小值即可；（3）依据题意，利用配方法求最大值．【解答】解：（1）依据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴a2+14a+49是完全平方式．故答案为：49．（2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2．∵（x﹣5）2≥0，∴（x﹣5）2+2≥2．∴x2﹣10x+27的最小值是2．（3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a）+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17，又（a﹣4）2≥0，∴﹣（a﹣4）2≤0．∴﹣（a﹣4）2+17≤17．∴﹣a2+8a+1的最大值是17．【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用．22．（2023春•盱眙县期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．简单应用：（1）已知41是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式41＝52+42；（2）若x2﹣8x+9可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝﹣28；深入探究：（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝1；灵活运用：（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【答案】（1）41＝52+42（2）﹣28；（3）1；（4）当k＝13时，S是完美数，理由见解答过程．【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．【解答】解：（1）∵41是“完美数”，∴41＝52+42；故答案为：41＝52+42（2）∵x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7，又（x﹣m）2+n（m、n为常数），∴m＝4，n＝﹣7，∴mn＝﹣28；故答案为：﹣28；（3）x2+y2﹣4x+2y+5＝0，∴x2﹣4x+4+（y2+2y+1）＝0，∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x+y＝2﹣1＝1；（4）当k＝13时，S是完美数，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整数，∴x+2，2y﹣3也是整数，∴S是一个“完美数”．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．23．（2023春•南山区期末）【阅读理解】材料一：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助形的几何直观性，可以帮助理解数之间的某种关系．问题1：请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；材料二：对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．（1）例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，因为不论x取何值，（x﹣2）2总是非负数，即（x﹣2）2≥0．所以（x﹣2）2+1≥1．所以当x＝2时，A有最小值，最小值是1．问题2：根据上述例题材料，请求代数式B＝x2﹣2x+2的最小值．（2）若将代数式A写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系，下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123B＝x2﹣2x+21052125A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+21710P212问题3：①上表中p的值是5；②观察表格可以发现；若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，则代数式D为x2﹣6x+10．【答案】问题1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；问题2：1；问题3：①5；②x2﹣6x+10．【分析】问题1：根据正方形的面积计算公式，解决问题；问题2：按照题中给出例题进行配方，然后利用（x﹣1）2≥0，即可推出（x﹣1）2+1≥1，推出此式子存在最小值1；问题3：①代入计算即可求解；②根据题意，延后值为2，改为（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2，再化简即可．【解答】解：问题1：图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；问题2：B＝x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1，当x＝1时，B有最小值，最小值是1．故答案为：1；问题3：①当x＝0时，p＝（0﹣1）2﹣2×（0﹣1）+2＝1+2+2＝5．故答案为：5；②D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣4x+4﹣2x+4+2＝x2﹣6x+10．故答案为：x2﹣6x+10．【点评】本题考查了配方法的应用、解一元一次不等式和非负数的性质；理解题意，能够准确地列出代数式和不等式，并进行求解即可．24．（2023春•禅城区月考）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4﹣4+8＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．【答案】m2+m+4的最小值是154；4﹣x2+2x的最大值为5【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【解答】解：m2+m+4＝（m+12）2∵（m+12）2≥∴（m+12）2则m2+m+4的最小值是1544﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．（2023春•建邺区校级期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）．求证：a+（1）如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．（2）为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．思路①利用a+b＞c，a=(a)2，b思路②利用a+b＞c，使用平方差公式，⋯思路③利用a+b＞c，⋯【答案】（1）a+b+2ab，②a+b，③＞；（2）见解答．【分析】（1）根据完全平方公式计算求解；（2）根据完全平方公式计算求解．【解答】解：（1）①a+b+2ab，②a+b，③＞；（2）选择①：由a+b＞c，且a，b，c＞0，得(a配方，得(a)2+2•a•b+(易得(a)2+2•即(a易得a+选择②：由a+b＞c，得a＞c﹣b，即(a故(a易知a＜所以a＞c-【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式及二次根式的运算是解题的关键．26．（2023春•淮北月考）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣1，n＝3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．请你利用配方法，解决下列问题：（1）已知a，b是长方形ABCD的长与宽，满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积是12；（2）求代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7的最小值，并求出此时a，b满足的数量关系；（3）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由．【答案】（1）12；（2）当a+2b﹣2＝0时，代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7有最小值，最小值为3；（3）2x2+2x﹣3大于x2+3x﹣4．【分析】（1）利用“配方法”求出a，b的值即可；（2）把代数式利用“配方法”变形，再根据非负数的性质求解即可；（3）先求两个多项式的差，再用“配方法”比较大小即可．【解答】解：（1）a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0等式可变形为（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，∴a＝4，b＝3，长方形ABCD的面积为3×4＝12；故答案为：12．（2）a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7，原式可变形为（a2+4ab+4b2）﹣（4a+8b）+7，（a+2b）2﹣4（a+2b）+4+3，即（a+2b﹣2）2+3，∵（a+2b﹣2）2≥0，∴当a+2b﹣2＝0时，代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7有最小值，最小值为3．（3）2x2+2x﹣3﹣（x2+3x﹣4），＝2x2+2x﹣3﹣x2﹣3x+4，＝x2﹣x+1，=(x-所以，2x2+2x﹣3大于x2+3x﹣4．【点评】本题考查了整式的运算和配方法，解题关键是熟练运用配方法对整式进行变形，利用非负数的性质求解．27．（2023春•顺德区校级期中）（1）若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：因为m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，所以（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0由此，可求出m＝4；n＝4；根据上面的观察，探究下面问题：（2）x2+4xy+5y2+2-22【答案】（1）4，4；（2）-3【分析】（1）先把原式变形为（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，然后利用偶次方的非负性进行求解即可；（2）仿照（1）把原式变形为(x+2y)2+(y-2)【解答】解：（1）∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝（n﹣4）2＝0∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）∵x2∴(x∴(x+2y)2∵(x+2y)2∴(x+2y)2∴x+2y=y-∴x=-∴2x+y=-【点评】本题主要考查了配方法的运用，偶次方的非负性，二次根式的加法等等，熟知配方法是解题的关键．28．（2023春•江都区月考）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）数11不是“完美数”（填“是”或“不是”）；数53是“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝1；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．【答案】（1）不是，是；（2）1；（3）当k＝36时，S为“完美数”，理由见解答．【分析】（1）根据“完美数”的定义即可求解；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可．【解答】解：（1）数11不是“完美数”；53＝22+72，数53是“完美数”．故答案为：不是，是；（2）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1．故答案为：1；（3）当k＝36时，S为“完美数”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美数，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．29．（2023春•古田县期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式．（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝﹣12．【探究问题】：（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（xx、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【答案】（1）29＝52+22；（2）﹣12；（3）﹣1；（4）k＝13，理由见解析．【分析】解决问题：（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；探究问题：（1）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；（2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．【解答】解：解决问题：（1）∵29是“完美数，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣6x+5＝（x2﹣6x+9）﹣4＝（x﹣3）2﹣4，又x2﹣6x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝3，n＝﹣4，∴mn＝﹣12；故答案为：﹣12；探究问题：（3）x2+y2﹣2x+4y+5＝0，x2﹣2x+1+（y2+4y+4）＝0，（x﹣1）2+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1﹣2＝﹣1；（4）当k＝13时，S是完美数，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整数，∴x+2，2y﹣3也是整数，∴S是一个“完美数”．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．30．（2023春•温江区校级期中）我们定义一种新的运算“⊗”；对于两个数进行“⊗”运算时，同号相乘，异号相除，0与任何数进行“⊗”运算，结果为0．例如：（+5）⊗（+4）＝+20，（+6）⊗（﹣3）＝﹣2，（+7）⊗0＝0．（1）（﹣5）⊗[3⊗（﹣10）]＝32（2）对于任意有理数a，b，计算：（a2+2）⊗b2；（3）比较大小；2x2﹣4x+3＞0（填“＞”或“＜”）；若x＞0，且（2x3﹣4x2+4x）⊗（﹣2x）＝﹣1，求（2x2﹣4x+3）⊗（x+1）+（x2+7x）⊗（﹣x）的值；（4）在（3）的条件下，求代数式x+x2+x4+x8+…x512+1【答案】（1）32（2）当b＝0时，（a2+2）⊗b2＝0，当b＞0时，（a2+2）⊗b2＝b2（a2+2）＝a2b2+2b2，当b＜0时，（a2+2）⊗b2=a（3）＞，﹣6；（4）20．【分析】（1）根据新定义运算即可得出结论，（2）先判断（a2+2）与b2的符号再根据定义计算即可得出结论，（3）利用配方法将2x2﹣4x+3配方可比较大小，最后根据新定义将已知式（2x3﹣4x2+4x）⊗（﹣2x）＝﹣1，化简得x＝1，代入所求式可得结论；（4）将x＝1代入即可得出结论，【解答】解：（1）∵3⊗（﹣10）=-∴（﹣5）⊗[3⊗（﹣10）]＝（﹣5）⊗（-3=3故答案为：32（2）∵a2+2＞0，当b＝0时，（a2+2）⊗b2＝0，当b＞0时，（a2+2）⊗b2＝b2（a2+2）＝a2b2+2b2，当b＜0时，（a2+2）⊗b2=a（3）∵2x2﹣4x+3＝2x2﹣4x+2+1＝2（x﹣1）2+1，∴2x2﹣4x+3＞0，若x＞0时，2x3﹣4x2+4x＝2x（x2﹣2x+2）＝2x[（x﹣1）2+1]＞0，﹣2x＜0，∴（2x3﹣4x2+4x）⊗（﹣2x）=2x(x∴x2﹣2x+2＝1，∴x1＝x2＝1，∴（2x2﹣4x+3）⊗（x+1）+（x2+7x）⊗（﹣x）＝1⊗2+8⊗（﹣1）＝2﹣8＝﹣6；故答案为：1；（4）当x＝1时，原式＝10+10＝20．【点评】本题考查有理数的混合运算，配方法的应用，新定义的理解和运用等知识，解答本题的关键是新定义的理解和运用．31．（2023春•怀宁县期中）材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a，b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”．根据上面的材料，解决下列问题：（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是2．（2）试判断（x+3y）（x+5y）+2y2（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．（3）已知M＝x2+4y2﹣6x+12y+k（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．【答案】（1）2（答案不唯一）；（2）是完美数，见解析；（3）18，见解析．【分析】（1）根据新定义，判断，并写出一个小于10的“完美数”即可求解；（2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解；（3）先运用完全平方公式将M进行化简，再根据“完美数”的定义计算k﹣18＝0即可．【解答】解：（1）∵2＝12+12，∴2是“完美数”，故答案为：2（答案不唯一）．（2）（x+3y）（x+5y）+2y2＝x2+8xy+17y2＝x2+8xy+16y2+y2＝（x+4y）2+y2，∴（x+3y）（x+5y）+2y2是“完美数”．（3）∵M＝x2+4y2﹣6x+12y+k＝（x2﹣6x+9）+（4y2+12y+9）+k﹣18＝（x﹣3）2+（2y+3）2+k﹣18，∵M为“完美数”，∴k﹣18＝0，∴k＝18．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．32．（2023•桐乡市一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy．（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：求代数式x2【答案】（1）＝；（2）x2+y2≥2xy，理由见解析；（3）代数式x2+4【分析】（1）求得x2+y2＝18，2xy＝18，得到x2+y2＝2xy；（2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【解答】解：（1）当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案为：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+4x2=（x-∵（x-2x）2≥∴代数式x2+4【点评】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．33．（2022秋•开福区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵(a-b)2=a-2ab（1）当x＞0时，x+1x的最小值为2；当x＜0时，x+1x的最大值为（2）当x＞0时，求y=x（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2ab（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，-1x＞0，则也可以按照公式（2）将y=x2+3x+16（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【解答】解：（1）当x＞0时，x+1x≥2当x＜0时，x+1x=-（﹣∵﹣x-1x≥∴﹣（﹣x-1x∴当x＞0时，x+1x的最小值为2；当x＜0时，x+1故答案为：2；﹣2；（2）由y=x∵x＞0，∴y=x+16当x=16x时，最小值为（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD∴x：9＝4：S△AOD∴：S△AOD=∴四边形ABCD面积＝4+9+x+36x≥当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．【点评】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．34．（2023春•蜀山区校级期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵(a-b)2=a-2ab例如：当a＞0时，求a+16解：∵a＞0，∴a+16a≥2a⋅16a，又∵2a⋅∴a+16a的最小值为请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，当且仅当x＝3时，x+9x有最小值为6（2）当m＞0时，求m2（3）请解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？【答案】（1）3，6；（2）46（3）60米．【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；（2）先化简，再运用公式计算即可；（3）由题意得篱笆的长为x+450【解答】解：（1）∵x＞0，∴x+9又∵2x⋅∴x+9x≥3，当且仅当x∴x+9x的最小值为故答案为：3，6；（2）m2∵m＞0，∴m+24又∵2m⋅∴m+24m≥4∴m+24m的最小值为∴m-5+24即m2-5m+24m（3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为450x米，则篱笆的长为x+∵x＞0，∴x+900又∵2x⋅∴x+900x≥60，当且仅当x∴x+900x的最小值为即需要用的篱笆最少是60米．【点评】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．35．（2022秋•高州市期末）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式a2﹣4a的最小值．（2）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可；（2）设长方形MBCN的面积为S，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．【解答】解：（1）∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；（2）设长方形MBCN的面积为S，根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，则x＝3时，S存在最大值，最大值为9．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36．（2022秋•高阳县校级期末）阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题：在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2﹣2a+2的最小值吗？小明作出了如下的回答：在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：a2﹣2a+2＝a2﹣2⋅a⋅1+12+1＝（a﹣1）2+1，因为完全平方式是非负的，所以它一定大于等于0，余下的1为常数，所以有a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1，所以a2﹣2a+2的最小值是1，当且仅当a﹣1＝0即a＝1时取得最小值，其中，我们将代数式a2﹣2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：（1）记S＝（x+3）2+4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小；（2）已知a2+b2+6a﹣8b+25＝0，求a、b的值；（3）记T＝a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并说明a、b取何值时T最小．【答案】（1）x＝﹣3时，S最小＝4；（2）a＝﹣3，b＝4；（3）当a＝1，b＝﹣1时，T最小＝3．【分析】（1）根据偶次方的非负性可知，当x+3＝0时，S取得最小值；（2）把原式通过配方变为（a+3）2+（b﹣4）2＝0，再利用非负数的性质求解即可；（3）把原式通过配方变为T＝（a+b）2+2（b+1）2+3，再利用非负数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+4≥4，∴x+3＝0时，S取得最小值4，即x＝﹣3时，S最小＝4；（2）∵a2+b2+6a﹣8b+25＝0，∴（a+3）2+（b﹣4）2＝0，∴a+3＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣3，b＝4；（3）T＝a2+2ab+3b2+4b+5＝（a+b）2+2（b+1）2+3，∴当a+b＝0，b+1＝0时，T取得最小值3，即当a＝1，b＝﹣1时，T最小＝3．【点评】本题考查了配方法及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2是解答本题的关键．37．（2022秋•离石区期末）阅读材料：2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求义务教育阶段学生要逐步养成自主学习习惯，提高自主学习能力．请自主研读下列例题，理解例题中解决问题的思想、方法，然后学习、借鉴这些思想、方法解答下列三个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0，∴m+n=0n-2=0，解得m=问题解决：（1）若x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x和y的值；（2）在（1）的条件下，求yx的值；（3）若a，b