专题04 数列1（等差、等比、通项公式、递推关系）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）原卷版

专题04数列1（等差、等比、通项公式、递推关系）（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 5【基础考点一】等差数列基本量的运算 5【基础考点二】等比数列基本量的运算 6【基础考点三】等差数列的性质及应用 6【基础考点四】等比数列的性质及应用 7【基础考点五】递推关系与数列周期性 8【综合考点】 9【综合考点一】累加、累乘求通项公式 9【综合考点二】构造法、定义法求通项公式 10【综合考点三】Sn与an的关系求通项公式【综合考点四】等差、等比数列的函数特性 12【培优考点】 13【培优考点一】数列的结构不良最值问题 13【培优考点二】数列的不等式恒成立问题 15【总结提升】 16【专项检测】 18备考指南备考指南考点考情分析考频等差数列模型2023年新高考Ⅰ卷T72023年新高考Ⅰ卷T202023年新高考Ⅱ卷T182023年全国甲卷T102022年新高考Ⅱ卷T32021年新高考Ⅱ卷T172021年全国乙卷T193年7考等比数列模型2023年新高考Ⅱ卷T82023年全国甲卷T152023年全国乙卷T152022年全国乙卷T102年4考等差与等比综合2022年新高考Ⅱ卷T17数列分段递推公式2021年新高考Ⅰ卷T17数列并项递推公式2023年全国甲卷T17数列结构不良型模型2021年全国甲卷T18数列前n项和与通项关系2022年全国甲卷T17数列与不等式综合2022年新高考Ⅰ卷T17数列单调性2022年全国乙卷T14预测：等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.数列的通项也是高考热点，难度中档以下.求数列的通项公式是高考的重点内容，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)构造法(包括辅助数列法，取倒数法，取对数法等).近三年全国卷的考察难点整体是中档以下，也出现结构不良及数列与不等式综合性的问题.建议二轮复习时在做好查缺补漏的基础上要适当拓宽学生的思维，有一定量的思维难度.近几年一些省市的高考试卷也出现了数列与不等式放缩，数列与导数的综合问题.值得关注一下.真题在线真题在线一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．152．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．403．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．4．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．6．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．37．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．8．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．109．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多选题10．（2021·全国·统考高考真题）设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．三、填空题11．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．12．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则.13．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差．基础基础考点【考点一】等差数列基本量的运算【典例精讲】（多选）（2024·浙江台州·统考一模）已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则【变式训练】一、单选题1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列的前项和为.若，，则（

）A．95 B．100 C．135 D．1752．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，公比为2，且成等差数列，则（

）A．62 B．93 C．96 D．64二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）已知公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，则（

）A． B．C．对任意的正整数n，有 D．使得的最小正整数n为4047三、填空题4．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，若成等比数列，则的最小值为．【考点二】等比数列基本量的运算【典例精讲】（多选）（2023·福建福州·校考模拟预测）设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（

）A． B． C．为常数 D．为等比数列【变式训练】一、单选题1．（2023·北京东城·统考二模）已知数列中，，，为其前项和，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（

）A．4 B．2 C．8 D．6二、多选题3．（2023·广西·统考模拟预测）若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列”三、填空题4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知等比数列满足且，则的取值范围是．【考点三】等差数列的性质及应用【典例精讲】（多选）（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是(

)A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是等比数列 D．数列是等差数列【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，则（

）A．240 B．60 C．180 D．1202．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．0 B． C． D．二、多选题3．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（

）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D．数列前项和为，最大三、填空题4．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则．【考点四】等比数列的性质及应用【典例精讲】（多选）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列【变式训练】一、单选题1．（2023·四川成都·校联考一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（

）A．3 B．9 C． D．2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列中，，，则（

）A．3 B．6 C．9 D．18二、多选题3．（2023下·江西上饶·高二校考阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．1C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题4．（2021·四川成都·校联考三模）已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：①；②若对恒成立，则；③设，，则的最小值为；④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．其中所有正确的命题的序号为．【考点五】递推关系与数列周期性【典例精讲】（多选）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列【变式训练】一、单选题1．（2023·四川成都·校联考一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（

）A．3 B．9 C． D．2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列中，，，则（

）A．3 B．6 C．9 D．18二、多选题3．（2023下·江西上饶·高二校考阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．1C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题4．（2021·四川成都·校联考三模）已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：①；②若对恒成立，则；③设，，则的最小值为；④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．其中所有正确的命题的序号为．综合考点综合考点【考点一】累加、累乘求通项公式【典例精讲】（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（

）．A．数列是递增数列 B．C． D．【变式训练】一、单选题1．（2023·河南郑州·校考模拟预测）在数列中，，则的前项和的最大值为（

）A．64 B．53 C．42 D．252．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047二、多选题3．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（

）A．数列为递减数列 B．C． D．三、填空题4．（2023·江西赣州·统考二模）设为数列的前项和，满足，其中，数列的前项和为，满足，则．【考点二】构造法、定义法求通项公式【典例精讲】（多选）（2023下·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知数列满足，，的前项和为，则（

）A． B．C． D．【变式训练】一、单选题1．（2023·四川·校联考模拟预测）在数列中，，，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·校联考二模）已知数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．2023二、多选题3．（2022·福建·校联考模拟预测）已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，，，，，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题4．（2020·四川成都·高三校联考阶段练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为.【考点三】Sn与a【典例精讲】（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（

）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列不是递增数列D．数列为递增数列【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．122．（2023·湖南永州·统考一模）若数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（

）A．B．数列为等差数列C．当时有最大值D．设，则当或时数列的前项和取最大值三、填空题4．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是.①；②是等差数列；③；④满足的的最小正整数为10.【考点四】等差、等比数列的函数特性【典例精讲】（多选）（2020上·全国·高三校联考阶段练习）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（

）A．为单调递增的等差数列B．C．为单调递增的等比数列D．使得成立的n的最大值为6【变式训练】一、单选题1．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列二、多选题3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2022上·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考期中）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则．培优考点培优考点【考点一】数列的结构不良最值问题【典例精讲】（多选）（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）数列满足，，则下列说法正确的是（

）A．若且，数列单调递减B．若存在无数个自然数，使得，则C．当或时，的最小值不存在D．当时，【变式训练】一、单选题1．（2023·江西景德镇·统考一模）数列前n项和为，且满足：，，，，下列说法错误的是（

）A．B．数列有最大值，无最小值C．，使得D．，使得2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，，，则以下说法不正确的是（

）A．， B．，C．数列存在最大项 D．数列不存在最小项二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（

）A．B．C．D．数列的前2n项和的最小值为2三、填空题4．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，．给出下列四个结论：①；②数列有最大值，无最小值；③；④存在，使得.其中所有正确结论的序号是．【考点二】数列的不等式恒成立问题【典例精讲】（多选）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．设数列的前项和为，满足________，．(1)求数列的通项公式；(2)若存在正整数，使得对恒成立，求的值．【变式训练】一、单选题1．（2023·重庆·统考二模）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2020·全国·统考一模）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是4．（2022上·山西·高三校联考阶段练习）已知等比数列的公比为，前项和为，且满足.若对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围为.总结提升总结提升1.已知Sn求an的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的方向转化.(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.3.构造法求数列通项的常用方法(1)形如an＝pan－1＋q(p≠1，q≠0)的形式，通常可构造出等比数列an＋eq\f(q,p－1)＝peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(q,p－1)))，进而求出通项公式.(2)形如an＝pan－1＋qn，此类问题可先处理qn，两边同时除以qn，得eq\f(an,qn)＝peq\f(an－1,qn)＋1，进而构造成eq\f(an,qn)＝eq\f(p,q)·eq\f(an－1,qn－1)＋1，设bn＝eq\f(an,qn)，从而变成bn＝eq\f(p,q)bn－1＋1，从而将问题转化为第(1)个问题.(3)形如qan－1－pan＝anan－1，可以考虑两边同时除以anan－1，转化为eq\f(q,an)－eq\f(p,an－1)＝1的形式，进而可设bn＝eq\f(1,an)，递推公式变为qbn－pbn－1＝1，从而转变为上面第(1)个问题.(4)形如an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(其中n≥2，mkb≠0)取倒数，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))⇔eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m)，转化为(1)中的类型.(5)形如an＝paeq\o\al(r,n－1)(n≥2，an，p>0)两边取常用对数，得lgan＝rlgan－1＋lgp，转化为(1)中的类型.4.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；5.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.6.等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；7.等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))8.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).9.前n项和的性质(m，n∈N*)：对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).专项专项检测一、单选题1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）若，则（

）A．55 B．56 C．45 D．462．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的前18项和为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，．若，则n的最大值为（

）A．7 B．6 C．5 D．44．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．85．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则（

）A．60 B．120 C．180 D．2406．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，若存在，使得，则的最小值为（

）A．32 B．64 C．128 D．2567．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·校联考模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是二、多选题9