第2章 习题课3 基本不等式 练习 高中数学新湘教版必修第一册（2023~2024学年）

习题课3基本不等式【课后精练】基础训练1.“对∀x∈(1,4],不等式x2-mx+m>0恒成立”的充分不必要条件是().A.m>4 B.m<16C.m<4 D.m<2【答案】D【解析】∵x∈(1,4],∴x-1>0.由不等式x2-mx+m>0恒成立,得x2x-1>m∵x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=x-1+1x-1当且仅当x-1=1x-1,即x=2时等号成立∴不等式x2-mx+m>0恒成立时,m<4,此时,m<2是m<4的充分不必要条件.故选D.2.若当x>1时,不等式x+1x-1≤a有解,则实数a的取值范围是(A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]【答案】C【解析】不等式x+1x-1≤a有解,即a≥x+1x-1min.∵x>1,∴x-1>0,∴x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)·1x-1当且仅当x-1=1x-1,即x=2时等号成立,∴a∈[3,+∞)3.某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为200m2的矩形鸭子活动场地,面向河的一边敞开不需要围栏,则围栏总长最小需要().A.20m B.40m C.60m D.80m【答案】B【解析】设此矩形面向河的一边的边长为xm,相邻的一边的边长为ym,则xy=200(x>0,y>0).设围栏总长为lm,则l=x+2y≥22xy=40,当且仅当x=2y时等号成立,此时x=20,y=10,则围栏总长最小需要40m.4.已知实数a,b满足a2+b2=ab+1,则a+b的最大值为().A.1 B.2 C.4 D.2【答案】B【解析】因为a2+b2=ab+1,所以(a+b)2=3ab+1≤3(a+b)2可得(a+b)2≤4,即-2≤a+b≤2,所以a+b的最大值为2,当且仅当a=b=1时等号成立.故选B.5.将一根铁丝切割成三段围成一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是().A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m【答案】C【解析】设直角三角形框架的两直角边长分别为a,b(a,b>0),周长为l.∵12ab=2,∴ab=4,则l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6.828(m),∴选用最合理的铁丝长度为6.已知正数x,y满足8x+1y=1,则x+2y的最小值为(A.16 B.17 C.18 D.19【答案】C【解析】∵正数x,y满足8x+1y∴x+2y=(x+2y)8x+1y=16yx+xy+10≥216yx·当且仅当16yx=xy,且8x+1y=1,即x=12,故x+2y的最小值为18.7.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站().A.5千米处 B.4千米处C.3千米处 D.2千米处【答案】A【解析】设y1=k1x,y2=k2x(x为仓库到车站的距离,x>0),由题意得2=k110,8=10k2,得k1=20,k2=0.8,所以y1=20x,y2费用之和y=y1+y2=0.8x+20x≥20.8x·20当且仅当0.8x=20x,即x=5时等号成立能力拔高8.(多选题)设a,b为非零实数,下列不等式恒成立的是().A.a2+b22≥ab B.aC.a+b2≥aba+b【答案】AB【解析】由重要不等式a2+b2≥2ab,可知A正确;a2+b22=2(a2+b2)4=(a2+b2)+(a2+b2)4≥a2+b2+2ab4=(a+b)24=a+b29.五一期间,小红父母决定匀速驾驶汽车到北京游玩,全段路程为1200km,速度v不能超过120km/h,而汽车每小时的运输成本为150v2+200元.若使全程运输成本最小,则汽车的行驶速度应为().A.90km/h B.100km/hC.110km/h D.120km/h【答案】B【解析】由题意可得,汽车全程运输成本y=1200v·150v2+200=24v+240000v≥224v·240000v=当且仅当24v=240000v,即v=100km/h时等号成立,即此时y的值最小10.若正数x,y满足x+y=1,且不等式4x+1+1y-m≥0恒成立,则实数m的最大值为(A.447 B.275 C.143【答案】D【解析】∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,∴4x+1+1y=12[(x+1)+y]·4x+1+1y=121+4+4yx+1+x+1y≥125+24y当且仅当4yx+1=x+1y,即x=13,y=∵不等式4x+1+1y-m≥0恒成立,∴4x+1+1ymin≥m,即m≤92.11.写出一个关于a与b的等式,使1a2+9b2是一个变量,且它的最小值为【答案】a2+b2=1(答案不唯一)【解析】该等式为a2+b2=1,下面证明该等式符合条件.1a2+9b2=1a2+9b2(a2+b2)=1+9+9a2b2+b2a2≥10+29a2b2·b2a2=16,当且仅当9a212.已知a,b为正实数,且满足a+b=1.证明:(1)a2+b2≥12(2)1a+2b【解析】(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以a2+b2=12(a2+b2+a2+b2)≥12(a2+b2+2ab)=12(a+b)2=12当且仅当a=b=1(2)1a+2b=1a+2b(a+b)=3+2ab+ba≥3+22ab·ba=3+2当且仅当2ab=ba,a+b=1,即a=2-1,b=2-2所以1a+2b思维拓展13.甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的14,固定成本为a(a>0)元(1)将全程运输成本y(元)表示为速度vkm/h的函数,并指出速度v的取值范围.(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?【解析】(1)设货车的行驶速度为vkm/h,由题意得可变成本为14v2元,固定成本为a元,所用时间为1000所以y=1000v14v2+a=100014v+av,v的取值范围为