广东东莞智升学校2023-2024学年数学八上期末综合测试试题含解析

广东东莞智升学校2023-2024学年数学八上期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．一次函数的图象可能是（）A． B． C． D．2．某小组名学生的中考体育分数如下：，，，，，，，该组数据的众数、中位数分别为（）A．， B．， C．， D．，3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．44．某学校计划挖一条长为米的供热管道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成．若设原计划每天挖米，那么下面所列方程正确的是（）A． B．C． D．5．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a="1" C．a≠﹣1 D．a≠06．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．177．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．45°8．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（）A． B． C．或 D．或9．若要使等式成立，则等于（）A． B． C． D．10．如图，已知点A（1，-1），B（2，3），点P为x轴上一点，当|PA-PB|的值最大时，点P的坐标为（）A．（-1，0） B．（，0） C．（，0） D．（1，0）二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，∠BAC＝30°，AB＝4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是_____．12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____．13．一次函数的图象经过点A(－2，－1)，且与直线y=2x－1平行，则此函数解析式为_______．14．如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①随的增大而减小；②>0；③关于的方程的解为．其中说法正确的有（把你认为说法正确的序号都填上）．15．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，BD＝3，则DE＝_______．16．据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝0.000000001m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm，将28nm用科学记数法可表示为_____．17．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书上，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第三项的系数为__________．18．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、．（1）求证：；（2）求证：．20．（6分）化简：（1）；（2）21．（6分）如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α，把△ABD沿BD对折，A对应点为A'．（1）①当α＝15°时，∠CBA'＝；②用α表示∠CBA'为．（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠1＝∠2＝α．①当0°＜α＜60°时，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②BP＝8，CP＝n，则CA'＝．（用含n的式子表示）22．（8分）如图，中，，，垂足为，，，垂足分别是、．（1）求证：；（2）若，写出图中长度是的所有线段．23．（8分）如图在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE的值．24．（8分）某地长途汽车公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定质量,则需要购买行李票,行李票元是行李质量的一次函数，如图所示：(1)求与之间的表达式(2)求旅客最多可免费携带行李的质量是多少?25．（10分）在中，，，在内有一点，连接，，且．（1）如图1，求出的大小(用含的式子表示)（2）如图2，，，判断的形状并加以证明．26．（10分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A1B1C1．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可【详解】解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、三、四象限，故A正确.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.2、B【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．【详解】将数据重新排列为，，，，，，所以这组数据的众数为，中位数为，故选B．【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．3、B【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4=7，于是可求出AC的值．【详解】解：作DH⊥AC于H，如图，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，

∴DH=DE=2，

∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，

∴×2×AC+×2×4=7，

∴AC=1．

故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．4、A【分析】若计划每天挖x米,则实际每天挖x+5米,利用时间=路程÷速度,算出计划的时间与实际时间作差即可列出方程．【详解】原计划每天挖x米,则实际每天挖x+5米,那么原计划所有时间:;实际所有时间:．提前10天完成,即．故选A．【点睛】本题考查分式方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系．5、C【解析】分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须．故选C6、B【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴△ACE的周长=AC+CE+AE

=AC+CE+BE

=AC+BC

=5+6

=1．

故选B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7、B【解析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．【详解】如图所示，连接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE与△CBA中，，∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故选B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．8、D【分析】根据等腰三角形的性质定理与三角形的内角和定理，分两种情况：①若等腰三角形顶角的外角等于110°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，分别求出答案即可．【详解】①若等腰三角形顶角的外角等于110°，则它的顶角是：180°-110°=70°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，则它的顶角是：180°-2×(180°-110°)=40°，∴它的顶角是：或．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理与三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．9、B【分析】利用A=（3x+4y）2-（3x-4y）2，然后利用完全平方公式展开合并即可．【详解】解：∵（3x+4y）2=9x2+24xy+16y2，（3x-4y）2=9x2-24xy+16y2，

∴A=9x2+24xy+16y2-（9x2-24xy+16y2）=48xy．

故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2,掌握公式是关键．10、B【分析】由题意作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．【详解】解：作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，∵A（1，-1），∴C的坐标为（1，1），连接BC，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∴,解得，∴直线BC的解析式为：y=2x-1，当y=0时，x=，∴点P的坐标为：（，0），∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|PA-PB|=|PC-PB|＜BC，∴此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值．故选：B．【点睛】本题考查轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P点，注意数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】先根据垂线段最短得出，当时，线段BP的值最小，再根据直角三角形的性质（直角三角形中，所对直角边等于斜边的一半）即可得出答案．【详解】由垂线段最短得：当时，线段BP的值最小故答案为：1．【点睛】本题考查了垂直定理：垂线段最短、直角三角形的性质，根据垂线段最短得出线段BP最小时BP的位置是解题关键．12、1cm【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】如图1，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16，∴MN==1；如图2，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∴PM=18﹣6+6=18，NP=10，∴MN==2．∵1＜2∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为1．故答案为1cm【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．13、【分析】设所求的一次函数解析式为y=kx+b，根据两直线平行的问题得到k=2，然后把A点坐标代入y=2x+b求出b的值即可．【详解】解：设所求的一次函数解析式为y=kx+b，

∵直线y=kx+b与直线y=2x－1平行，

∴k=2，

把A（-2，-1）代入y=2x+b得-4+b=-1，解得b=1，

∴所求的一次函数解析式为y=2x+1．

故答案为：y=2x+1．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．14、①②③【详解】考点：一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．分析：根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0的解为x=2，故本项正确故答案为①②③．15、1【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，然后根据平行线的性质可得∠DEB=∠CBE，从而得出∠DBE=∠DEB，然后根据等角对等边即可得出结论．【详解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE∴∠DBE=∠DEB∴DE=DB=1故答案为：1．【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质和角平分线的定义，掌握等角对等边、平行线的性质和角平分线的定义是解决此题的关键．16、2.1×10﹣1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：将21nm用科学记数法可表示为21×10﹣9＝2.1×10﹣1．故答案为：2.1×10﹣1．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.17、1【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）10的展开式中第三项的系数．【详解】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；

（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；

（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；∴（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），

∴第三项系数为1+2+3+…+7=1，

故答案为：1．【点睛】本题考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．18、20°．【分析】依据题意，设出顶角度数，根据“特征值”可知底角度数，再由三角形内角和定理即可求得．【详解】如图．∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，∴∠A：∠B＝1：4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+4∠A+4∠A＝180°，即9∠A＝180°，∴∠A＝20°，故答案为：20°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的知识，灵活运用这部分知识是解决本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据SAS证明≌即可求解；（2）证明是的平分线，根据角平分线的性质即可求解．【详解】证明：（1）∵是的平分线∴在和中∴≌∴（2）由（1）可知：∴∴是的平分线∵，∴．【点睛】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与角平分线的性质．20、（1）1；（2）【分析】（1）根据平方差公式计算即可得解；

（2）先利用乘法公式进行计算，然后合并同类项即可得解.【详解】（1）原式（2）原式.【点睛】本题考查了乘法公式和二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键.21、（1）①30°；②60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由见解析；②8﹣2n【分析】（1）先求出∠ABC＝60°，得出∠ABD＝60°﹣α，再由折叠得出∠A'BD＝60°﹣α，即可得出结论；（2）①先判断出△BP'C≌△APC，得出CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，再判断出△CPP'是等边三角形，得出PP'＝CP；②先求出∠BCP＝120°﹣α，再求出∠BCA'＝60°+α，判断出点A'，C，P在同一条直线上，即：PA'＝PC+CA'，再判断出△ADP≌△A'DP(SAS)，得出A'P＝AP，即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠CBD＝α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α，由折叠知，∠A'BD＝∠ABD＝60°﹣α，∴∠CBA'＝∠A'BD﹣∠CBD＝60°﹣α﹣α＝60°﹣2α，①当α＝15°时，∠CBA'＝60°﹣2α＝30°，故答案为30°；②用α表示∠CBA'为60°﹣2α，故答案为60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由：如图2，连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，∵∠1＝∠2＝α，∴△BP'C≌△APC(SAS)，∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，∴∠PCP'＝∠ACP+∠ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，∵CP'＝CP，∴△CPP'是等边三角形，∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP；②如图3，由①知，∠BPC＝60°，∴∠BCP＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，由（1）知，∠CBA'＝60°﹣2α，由折叠知，BA＝BA'，∵BA＝BC，∴BA'＝BC，∴∠BCA'＝(180°﹣∠CBA')＝[180°﹣(60°﹣2α)]＝60°+α，∴∠BCP+∠BCA'＝120°﹣α+60°+α＝180°，∴点A'，C，P在同一条直线上，即：PA'＝PC+CA'，由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，∴∠ADP＝∠A'DP，∵DP＝DP，∴△ADP≌△A'DP(SAS)，∴A'P＝AP，由①知，BP＝AP+CP，∵BP＝8，CP＝n，∴AP＝BP﹣CP＝8﹣n，∴A'P＝8﹣n，∴CA'＝A'P﹣CP＝8﹣n﹣n＝8﹣2n，故答案为：8﹣2n．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．22、（1）见解析；（2）CF、BE【分析】(1)根据等腰三角形的对称性得到△ABD的面积和△ACD的面积相等,再根据面积公式求出DE=DF．(2)根据题意得出△ABC是等边三角形,即可得出Rt△DEB和Rt△DFC是30°特殊直角三角形,再根据性质求出线段关系即可．【详解】(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴△ABC是等腰三角形,D为BC的中点．根据等腰三角形的性质可知S△ABD=S△ACD,即．∵AB=AC,∴DE=DF．(2)∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形．∴BC=AB=AC,∠B=∠C=∠BAC=60°,∴BD=CD=．∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BDE=∠CDEF=30°∴EB=,CF=．【点睛】本题考查等腰、等边三角形的性质,特殊直角三角形的性质,关键在于结合图形运用知识．23、（1）证明见解析（1）1【解析】试题分析：（1）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD=DE；（1）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出DE﹣