2024届上海市松江区高三上学期期末质量监控数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2024届上海市松江区高三上学期期末质量监控数学试题一、填空题1．已知全集为，集合，则集合．【答案】【分析】根据补集的知识求得正确答案.【详解】由于，全集为，所以.故答案为：2．双曲线的右焦点坐标是．【答案】【分析】根据双曲线的定义求解.【详解】因为，所以，且焦点在x轴上，所以右焦点为.故答案为：.3．已知复数（其中是虚数单位），则【答案】【分析】根据共轭复数、复数的模等知识求得正确答案.【详解】依题意，所以.故答案为：4．已知向量，，则【答案】0【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】∵，，∴，∴.故答案为：0.5．已知，，则的值为【答案】【分析】先求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案.【详解】由于，，所以，所以，所以.故答案为：6．已知，则的最小值为【答案】【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，，所以且，所以，当时等号成立.故答案为：7．二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则；【答案】10【分析】先写出二项展开式的通项公式，令得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可.【详解】由题知，当时，的系数为；当时，常数项为；又的系数是常数项的5倍，所以，解得.故答案为：108．有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为．【答案】【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为，故答案为：.9．在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长．【答案】【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得.【详解】由正弦定理得，即，，由于，所以为锐角，,所以，由正弦定理得，则.故答案为：10．已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据和的值域以及恒成立、存在性等知识求得的取值范围.【详解】，所以.的开口向下，对称轴为，所以在区间上单调递增，，所以，由于任意，存在，使得，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：11．若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则．【答案】【分析】利用赋值法，结合累加法求解.【详解】函数是定义在上的不恒为零的偶函数，则，中，令，得，则，得，当时，由，得，即，∴，∴.故答案为：.12．已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是．【答案】【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围.【详解】设BC的中点为O.因为动点满足，所以,即点P落在以O为球心，以为半径的球上.因为,所以.因为正四面体的棱长为，所以，在三角形中，,.取AD的中点为E,OE⊥AD，所以在上的射影为,所以.设，所以.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识.二、单选题13．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】借助不等式的性质判断即可.【详解】对A：因为，可能，故错误；对B：当时，若，则，故错误；对C：当，时，则，故错误；对D：若，，则，故正确.故选：D.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（

）A．甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；B．甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；C．甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；D．乙队数据的第75百分位数为27．【答案】D【分析】根据中位数、平均数、方程、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，甲队的中位数是，乙队的中位数是，两者相等，所以A选项错误.B选项，甲队的平均数为，乙队的平均数为，两者相等，所以B选项错误.C选项，甲队的标准差为：，乙队的标准差为：，所以甲队数据的标准差小于乙队数据的标准差，所以C选项错误.D选项，乙队的数据为，，所以乙队数据的第75百分位数为，D选项正确.故选：D15．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.【详解】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选：C16．关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（

）A．①、②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①、②都错误【答案】C【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.【详解】对于①，由平方可得，．因为，所以．又因为，当且仅当时等号成立，故①错误；对于②，由知，，，两边平方可得．因为，所以，即曲线在直线的下方，因此所围图形的面积不大于，故②正确.故选：C【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.三、证明题17．如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且．(1)求证：平面；(2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可.【详解】（1）由底面，平面，得，由，得，而平面，所以平面．（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，因此是二面角的平面角，在中，，显然，四边形为矩形，于是，而四棱锥的体积，解得，在中，，因此，所以二面角的大小为.18．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．(1)证明：；(2)若集合，求集合中的元素个数．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）借助数列的基本量运算即可得到；（2）将条件转换后计算出与的关系，再根据的范围要求代入计算即可得.【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，即，解得，所以原命题得证.（2）由（1）知，所以，因为，所以，解得,由，，故，即，所以满足等式的解．故集合中的元素个数为6.四、解答题19．为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米.(1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）；(2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值.月份1234591012当月燃气用量（立方米）5680665860535563当月燃气费（元）168240198174183174.9186264.6【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根据燃气收费标准求得解析式.（2）根据表格提供数据以及函数解析式求得.【详解】（1）依题意，函数解析式为：（2）解法一：由一月份数据可得：，通过计算前5个月用量：，前5个月燃气总费用：，由（1）中函数解析式，计算可得：，所以，又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同，所以12月份为第三档，.解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到，.20．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由；(3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此求得，联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由此求得，利用差比较法求得.（3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由（2）求得，，进而求得四边形面积的表达式，根据不等式的性质求得面积的最小值.【详解】（1）由题意得，即：，又，所以，由，得，所以椭圆的方程为.（2）由题意得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，设，，，，联立，消去得：，则，，所以.抛物线的方程为：，联立，消去得：，则，所以，所以，即.（3）设，，，，当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，则直线方程为，由（2）的过程可知：，由，以替换，可得，所以，因为，所以，，；当直线的斜率不存在时，，，所以；综上所述：，所以四边形面积的最小值为.【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及焦点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.21．已知函数，记，．(1)若，判断函数的单调性；(2)若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；(3)若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)函数在上是增函数(2)(3)存在，满足条件的切线方程为【分析】（1）利用导数判断出在区间上的单调性.（2）由分离参数，然后利用构造函数法，结合多次求导来求得的取值范围.（3）先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.【详解】（1）因为，当且仅当在时，，所以函数在上是增函数．（2）由题意得，，于是．令，则，令，则，所以在上是严格减函数，于是，由于，于是在上是严格减函数，所以，因此，即．（3）解法一：设、、，则曲线在三点处的切线分别为直线，，．因为直线互相重合，所以，且．因为，所以，，．①若，，．则，，，于是，因为，所以，与三点互不重合矛盾．②若，，中至少一个成立，不妨设成立，则，若，则，矛盾，舍去，于是，，所以满足要求的切线方程为或解法2：假设存在三个不同点在曲线上满足条件，则，且互不相同.曲线在三点处的切线方程分别为：，，，依题意，有由①得，.情形1：若，代入②得，.即，而，故，，此时满足条件的切线方程为.情形2：若，代入②得，.即，两式相减，得，由于，故，此时，与矛盾，舍去.情形3：若，代入②得，.即，故，则，与矛盾，舍去.情形4：若，与情形3完全类似，舍去.综上，满足条件的切线方程为.解法3：假设存在三个