扬州市高邮市第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（解析版）

高邮市第一中学2021-2022学年高二（上）期末试卷（数学）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求.1.在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件列方程组求解即可【详解】设等差数列公差为，因为，，所以，解得，故选：A2.椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，因此，而椭圆：的长半轴长，所以.故选：D3.等比数列的前项和为，若，则（）A. B.8 C.1或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则因为，所以，即，解得或，所以或.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】.故选：B.5.已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径为，所以，所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.6.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.【详解】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得故选:C【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.7.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以D正确，C不正确.故选：D.【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.8.已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，，，所以，因为，所以又因为平分，所以，由，得，所以，即所以故选：B二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.等差数列的前项和为，，，则（）A.数列是递减数列 B.C.是中最小项 D.【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得、，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，因为，所以.A：由，得等差数列为递增数列，故A错误；B：，故B正确；C：，因为，由二次函数的性质可知当或时，取到最小值，即为中最小项，故C正确；D：，，由，得，故D错误.故选：BC10.已知，下列说法正确的是（）A.在处的切线方程为 B.的单调递减区间为C.的极大值为 D.方程有两个不同的解【答案】BC【解析】【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，，所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，故选：BC11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先根据已知条件构造函数，利用其导数得到的单调性，然后结合奇函数，将不等式转化为求解.【详解】解：设，则，当时总有成立，即当时，

0恒成立，当时，函数为减函数，又，函数为定义域上的偶函数，又，所以不等式等价于，即或，即或，所以

成立的x

的取值范围是．故选：AB．12.已知抛物线，点，，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（）A.B.的最小值为C.D.【答案】ABD【解析】【分析】首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，得，分别写出，式子，然后逐项验证，对于A直接得出，对于B利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D，利用即可验证.【详解】设直线的方程为，则由，消去整理，得，因为直线交抛物线与两点，设，，则所以，，故A正确.，m=0时等号成立，故B正确.，同理，可得，则，故C不正确..,即，故D正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线的方程为，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，，则曲线在处的切线方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求得在点处的切线方程.【详解】由，求导，知，又，则函数在点处的切线方程为.故答案为：14.已知正项等比数列的前项和为，且，则_______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件求出正项等比数列的公比即可计算作答.【详解】设正项等比数列的公比为，依题意，，即，而，解得，所以.故答案为：15.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，则的面积为_________．【答案】3【解析】【分析】由双曲线方程可得，利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，可得:，则，且，故，所以，故，故答案为：316.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足(且，t为常数)，则点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点的直线交圆于两点，且，则_________．【答案】①.②.【解析】【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.【详解】设，则，整理得到，即.因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，则为的中点，则，故，解得，故答案为：，.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知在公差不为0的等差数列中，，且构成等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列___________，求数列的前项和．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设的公差为，根据等比中项的性质得到，即可求，从而求出的通项公式，所以，即可求出等比数列的公比，从而求出的通项公式；（2）若选①：则，利用裂项相消法求和即可；若选②：则，根据等比数列求和公式计算可得；若选③：则利用分组求和法求和即可；【小问1详解】解：设的公差为，成等比数列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小问2详解】解：若选①：则，；若选②：则，；若选③：则，.18.已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是（1）求a、b的值；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出，．（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值．【详解】（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是，所以切线斜率是，且，求得，即点又函数，则所以依题意得解得（2）由（1）知所以令，解得或当，或；当，所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是所以当变化时，和变化情况如下表：0极大值极小值所以，19.已知数列中，，且（1）求证：数列是等差数列，并求出；（2）数列前项和为，求．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求.（2）利用错位相减法可求.【小问1详解】因，是以为首项，为公差的等差数列，，.【小问2详解】，，，.20.已知椭圆经过点，．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程计算，求出a、b的值即可；(2)设l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，进而列出关于k的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆经过点，．则，解得，【小问2详解】设l方程为：与圆相切设点，∴（则Δ>0，，，，，，，，，故，21.已知曲线在处的切线方程为，且.（1）求的解析式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义得，结合对数的运算性质求出m，利用直线的点斜式方程即可得出切线方程；(2)由(1)将不等式变形为，利用导数研究函数在、、时的单调性，即可得出结果.【小问1详解】，∴，，，，，切线方程为，即，∴.【小问2详解】令，，，当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意；当时，设，①当，，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，所以，故符合题意；②当时，，，所以在上递增，在上递减，且，所以当时，，则在上单调递减，且，故，，舍去.综上：22.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点