2022年人教版新九年级暑期数学培优-第十一讲 二次函数（教师版）

第十一讲二次函数

【学习目标】

1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.

2.会利用二次函数的概念解决问题.

3.会列二次函数表达式解决实际问题.

【新课讲解】

知识点1：二次函数的定义

1.定义：形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常数,aW0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次

项系数、一次项系数和常数项.

2.一般形式:y=ax2+bx+c（aWO,a,b,c是常数）

说明：

（1）等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式；

（2）a,b,c为常数，且ar0;

（3）等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

3.方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函

数除有一般形式y=ax2+bx+c（aW0）外，还有其特殊形式如y=ax；y=ax°+bx,y=ax%c等.

知识点2：二次函数定义的应用

【例题11函数

y=（〃7+3）/-7.

（l）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（2）m取什么值时，此函数是二次函数？

【答案】见解析。

【解析】（1）由题可知

Jni2-7=1,

解得m=±2g

[+3关0,

(2)由题可知

-7=2,

解得m=3.

m+30,

【例题2】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每

件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1WxW10),求y关于x的函数关系式;

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.

【答案】见解析。

【解析】(1)•••第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，

但一天产量减少5件，

...第x档次，提高了(x—l)档，利润增加了2(x-l)元.

•,.y=[6+2(x-l)][95-5(x-l)](

即y=-10x2+180x+400(其中x是正整数，且IWxWlO)：

(2)由题意可得-10X2+180X+400=U20,

整理得X2-18X+72=0,

解得xi=6,X2=12(舍去).

所以，该产品的质量档次为第6档.

知识点3：二次函数的值

此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字

母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.

【例题3】若函数

y=(a_4)x"-3a-2+0是二次函数，求：

(1)求a的值.

(2)求函数关系式.

(3)当x=-2时，y的值是多少？

【答案】见解析。

【解析】(1)由题意，得

<a-3a-2=2,

a—4H0,

解得a=-l

(2)当a=T时，函数关系式为

y二(-1-4)F-1=-5/-1.

(3)将x=-2代入函数关系式中，有

J；=-5X(-2)2-1=-21.|

二次函数过关检测

注意：满分100分，答题时间60分钟

一、单选题(每个小题4分，共32分)

1.下列函数中，属于二次函数的是()

A.y=x-3B.y=x2-(x+1)2C.y=%(x-l)-lD.y=\

x-

【答案】C

【解析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：

二次函数丁=改2+法+。的定义条件是：a、b、c为常数，a#),自变量最高次数为2.

根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案.

A.y=x-3是一次函数，故本题选项错误；

B.y=x2-(x+1)2=-2x-1,是一次函数，故本题选项错误；

C.y=x(x-l)-\=x2-x-l,是二次函数，故本题选项正确；

D.y=-V是反比例函数，故本题选项错误.

x

2.若函数y=(a2+a)/*+2尤+加是关于x二次函数，则a的值为()

A.±1B.1C.-1D.1或0

【答案】B

【解析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化

简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.

•••函数y=(，+°廿+】+2x+m是关于X二次函数，

•**ci~+tzT5011.1^|+1=2,

解得：a=\,

3.如果函数y=(m—2)JT「2+2X—7是二次函数，则加的取值范围是()

A.机=±2B.m=2C.in=-2D.m为全体实数

【答案】C

【解析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，aWO）的函数，叫

做二次函数.

根据二次函数定义可得m-2W0,m2一2=2,再解即可.

由题意得：m-2¥0,加2一2=2，

解得：m=-2

4.已知函数：（1）y—2x-1；@y--Zr2-1；③y=3『-2A2；（4）y=2x1-x-1；©y—a^+bx+c,其中二次

函数的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根据二次函数定义：一般地，形如.丫=苏+队+。（a、b、C•是常数，4#0）的函数，叫做二次函数

进行分析即可.②④是二次函数，共2个，

5.下列各式中，一定是二次函数的有（）

（T）y2=2x2-4x+3；②y=4-3x+7）；③尸去―3x+5；④y=⑵-3）（3x-2）；（5）y=ax2'+bx+c；©y=

（n2+1）J?-2x-3；（7）y=m2x^+4x-3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】①y2=2?-4x+3,不符合二次函数的定义，不是二次函数；

②y=4-3x+7），是二次函数；

@y=-3.X+5,分母中含有自变量，不是二次函数；

④丫二（2r-3）（3x-2）=6,-13x+6,是二次函数；

（S）y=ax2-+bx+c,含有四个自变量，不是二次函数；

⑥产（/+］）/-2”3,含有两个自变量，不是二次函数；

⑦y=〃?2，+4x-3,含有两个自变量，不一定是二次函数.

只有②④一定是二次函数.

6.二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.6,2,9B.2,-6,9C.2,6,9D.2,-6,-9

【答案】D

【解析】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键.

根据二次函数的标准形式即可得到答案.

二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2,-6,9

7.当x=l或-3时，代数式与加v+〃的值相等，则函数(b-x+c-"与x轴的交点

为()

A.(1,0)和(-3,0)B.(-1,0)

C.(3,0)D.(-1,0)和(3,0)

【答案】A

【解析】代数式一+历什。与“！%+"的值相等，即/+历^^^加什"，则ad+(b-m)x+c-n=0,

则y=a/+(/>-/«)x+c-”与x轴的交点为(1,0)和(-3,0)。

8.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：加)与时间r(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以

B.线段。的函数解析式为s=32r+400(25WW50)

C.5min^-20min,王阿姨步行速度由慢到快

D.曲线段A8的函数解析式为s=-3(r-20)2+1200(5WfW20)

【答案】C

【解析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可.

A.25min〜50/n/n,王阿姨步行的路程为2000-1200=800”故A没错；

B.设线段CD的函数解析式为s=kt+b,

把(25,1200),(50,2000)代入得，蓝

12000=50k

解得：[ft：loo'

...线段CO的函数解析式为s=32f+400(25WfW50),故8没错；

5251200-525675

C.在4点的速度为=]05m/min,在B点的速度为---------==45m/min,故C错误；

520-515

D.当f=20时,由图象可得s=1200m,将f=20代入s=-3(f-20)2+1200(50W20)得s=1200.

二、填空题(每空4分，共24分)

9.二次函数？=初此『-2有最低点，则m=

【答案】2

【解析】根据函数为二次函数求出例再根据函数有最低点，确定加取值范围，进而求出加即可.

•••函数y=是二次函数，

二机2—2=2，m—+2,>

•.,二次函数有最低点，..."AO,m=2.

10.若y=(机2+机)，"2-2,"-1_x+3是关于X的二次函数，则m=.

【答案】3

【解析】根据二次函数的定义求解即可.

由题意，得

nr-2m-1=2,且m2+m^0,

解得，"=3

11.若函数y=(机-2)"训+1(阳是常数)是二次函数，则加的值是.

【答案】-2

【解析】根据二次函数的定义解答.

由题意知，777-2^0n.|wj=2,

解得：m=~2

12.若y=伏+1)/*—2是关于x的二次函数，则人的值为.

【答案】2

【解析】根据二次函数的定义解答.

>=(4+1)/2-<:一2是关于大的二次函数,

女+lwO

a-k=2'

解得：k=2

13.已知长方形的周长为16cm,其中一边长为xcm,面积为ycm2，则这个长方形的面积y与x之间的

关系可表示为

【答案】y=—/+8x

【解析】：矩形周长为16cm

两邻边之和为

；.若•边长为XC7J1,则另一边长为（8-x）an；面积为yc-

,y=x（8-x）即y=-x2+8x.

14.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20WxW40,且x为整数）出售,

可卖出（40-%）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为元.

【答案】30

【解析】设商品所获利润为w元，由题意得：

w=（x-20）（40-x）

=-7+60x-800

=-<X-30）2+100,

•.•二次项系数-IVO,20WxW40,且x为整数，

...当x=30时，w•取得最大值，最大值为100元.

.••每件商品的售价应为3。元.

三、解答题（共44分）

15.（6分）当m为何值时，函数丁=（加+1）》",-2，"7+8%—1是二次函数.

【答案】m=3

【解析】•.•函数y=（m+l）x'"J2m-i+8x—1是二次函数

/%+1w0

irr-2m-1=2

解得:m=3

即当m=3时，函数y=（加+1）--24+8》_1是二次函数.

16.（8分）已知函数y=（加2一〃?）%2+（相一］）》+根+1.

（1）当机为何值时，这个函数是关于x的一次函数；

（2）当“为何值时，这个函数是关于x的二次函数.

【答案】（1）加=0；（2）加。1且m/0.

【解析】本题考查一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键.

（1）;•函数y=（〃/+（加一l）x+〃z+l是一次函数，

-2

m一〃2二0

•••〈，解得：m=0.

m-1^0

即当根=0时，这个函数是关于1的一次函数.

（2）函数y=（〃，-mjx2+（加-l）x+/n+l是二次函数，

m2-m0>解得：〃2。1且/德。0.

即当机。1且加时，这个函数是关于x的二次函数.

17.（8分）一个二次函数y=（k-1）X*2-3«+4+2X-1.

（1）求k值.

（2）求当x=0.5时y的值？

【答案】（Dk=2；（2）y=-

4

【解析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a#0）的函数，叫做二次

函数可得k?-3k+4=2,且k-l#）,再解即可;

（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值.

解：（1）由题意得：k2-3k+4=2,且k-1#）,

解得:k=2；

kl3k+42

（2）把k=2代入y=（k-1）x~+2x-1得:y=x+2x-1,

当x=0.5时，y=—.

4

【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系

数不为0和自变量指数为2这个关键条件.

18.（10分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度>（米）关

3

于水珠与喷头的水平距离X(米)的函数解析式是：y=-/x2+6x(0WxW4),请求出当水珠的高度达到

最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？

【答案】2米：6米.

【解析】根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x等于何值时函数有最大值以及最大值是多少.

由题意得，y=_：*2+6彳=一1(%2-4xj=--1(x-2)"+6,

又因为0WxW4,所以当x=2时，ymax=6,

答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米.

19.(12分)有一块矩形地块ABC。，AB=20米，BC=30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，

将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均