2022年四川省眉山市高考文科数学一模试卷及答案解析

2022年四川省眉山市高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1

1.（5分）设集合M={x|（尤-1）（X-5）<0},N=[x\-<%<3},则MAN等于（）

11

A.<x<l}B.{川VxW3}C.{x[l<x<5}D.{x^<x<5}

2.（5分）i是虚数单位，若3+ui=（a,Z?GR）,则a+Z?等于（）

A.-5B.-1C.1D.5

3.（5分）某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示，为了解该学校学生近视

形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，己知

抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）

4.（5分）函数/（X）=x-2lnx+\的单调递减区间为（）

1

A.（0,2）B.（0,e）C.（-,+~）D.（2,+~）

e

5.（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该儿

2x—l

6.（5分）设在R,则“---->1”是“总>1”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

第1页共21页

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

71、

7.（5分）若aE（0,-sin2a=cos-a,则cos2a的值为（）

313

A.—pB.-Q,C.0D.一

525

8.（5分）执行如图所示的程序框图，输出S=（）

/=1,a=2,S=0

|S=S+i+a|

/输出■S/

♦

A.19B.24C.26D.33

%2y2

9.（5分）已知A,b分别是椭圆方+3=1（。>6>0）的左顶点和右焦点，尸是椭圆上一

2

点，直线4P与直线/：x=合n相交于点Q,且△AF。是顶角为120°的等腰三角形，则该

椭圆的离心率为（）

1123

A.-B•—C.-D.-

3234

10.（5分）已知函数/'（X）=^+2^.若a=/（0.6°，）,&=/（log2"）,c=/（log45）,则m

b,。的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

11.（5分）已知尸是抛物线C：J=4x的焦点，过点F的直线/与抛物线交于P,。两点,

t*IFQI

直线I与抛物线准线1\交于点M,若PM=2FP,则=（）

431

A.3B.—C.-D.—

343

-]—，X>1)

12.(5分)已知函数f(x)=elnx，若函数y=/G)]2+(2-4〃)/G)

5—2%—%<1

+1恰有5个零点，则实数a的取值范围是()

9494999

A.[-,——)B.(1,——)C.(1,_]D.[-,+°°)

8242488

第2页共21页

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知向量］=（1,2）,b=（r,-3）,若QJ_（a+b）,则实数t的值为.

x-y—2W0

14.（5分）已知实数x,y满足约束条件2%+y40,则z=2x-y的最小值为.

%+1>0

15.（5分）关于函数f（x）=sin2x+cos2x,给出下列四个结论：

①n是/（x）的最小正周期；

②/G）在［0,夕的最小值是7；

③Mx）在［0,夕上是单调递增函数；

④x=5是『（X）图象的一条对称轴.

其中所有正确结论的序号是.

16.（5分）如图，A3是。。的直径，雨垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A,B

的任意一点，出=2,三棱锥P-A8C体积的最大值为*则当△PBC的面积最大时，线

段AC的长度为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（-）必考题：共

60分。

17.（12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调

查.某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或入户登记的户数

与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2X2列联表所示：

入户登记自主填报合计

户主45岁以上200

户主45岁及以下240640

合计1000

第3页共21页

（1）将列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年

龄段有关系？

（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方

法抽取了6户.若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，求所抽取的2户中恰好有1

户的户主年龄在45岁以上的概率.

附表及公式：

P（片》依）0.150.100.050.0250.010

履2.0722.7063.8415.0246.635

2

其中K-=(a+b)(L)(a?c)(b+d)，a+d.

18.（12分）如图，已知OA=10,点8是以。为圆心，5为半径的半圆上一动点.

（1）当/AOB=120°时，求线段AB的值；

（2）若△ABC为正三角形，求四边形OACB面积的最大值.

19.（12分）若等比数列｛即｝的各项为正，前〃项和为S”，且S2=6,“3=8.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若｛斯儿｝是以1为首项，1为公差的等差数列,求数列｛为｝的前般项和Tn.

20.（12分）如图，四棱锥P-A8C。中，侧面南底面ABCD,底面ABCO为梯形，AB

//DC,且AP=PO=CC=2AB=2V5,NAP£>=NAOC=60°.AC交于点F,G为

/XPAD的重心.

（1）求证：GF〃平面PAB-.

（2）求三棱锥B-GFC的体积.

DC

第4页共21页

21.(12分)己知函数/(x)=axlnx+x.

(1)函数/(x)是否存在极小值？若存在，求出”的取值范围，若不存在，说明理由；

(2)若0<aWl,求证：f(x)<ev-.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题记分。［选修4-4：极坐标与参数方程］

22.(10分)平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(<p为参数)，以坐标原

点为极点,X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线/的极坐标方程为。=a(0VaV*),

将射线/绕极点逆时针旋转;后得到射线/1.设/与曲线C相交于点A,/1与曲线C交于

点B.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若2力。川2+|0引2=曲|0川.|0引，求a的值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+l|.

(1)解不等式/(x)W7-x；

a?+i匕2

(2)设/'(x)的最小值为M,正实数a,b,c满足a+b=M,求证：----+-->3.

ab+1

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2022年四川省眉山市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1

1.(5分)设集合M={x|G-1)(x-5)<0},AT={A|-<x<3},则MCIN等于()

11

A.{x|^<x<l}B.{x|l<xW3}C.{x|l<x<5}D.{x^<A<5}

【解答】解：集合M={R(x-1)(x-5)<0)={x|l<x<5},

1

N={x\~<x<3},

，MnN={x[l<xW3}.

故选:B.

2.（5分），.是虚数单位，若3+出=三匕（a,b€R）,则a+b等于（)

A.-5B.-1C.1D.5

【解答】解：若3+出=牛（a,左R）,

则3+ai=(2+*T)=B.2I>

则a=-2且6=3,所以a+6=-2+3=1,

故选：C.

3.（5分）某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示，为了解该学校学生近视

形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知

抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）

D.90

【解答】解：高一的近视学生人数为：1800X10%=180,

高二的近视学生人数为：1600X20%=320,

高三的近视学生人数为：1500X30%=450,

第6页共21页

36a

设抽取的高三学生人数为小则七==，

180450

解得4=90.

故选：D.

4.(5分)函数/(x)=x-2阮什1的单调递减区间为()

1

A.(0,2)B.(0,e)C.(-,+8)D.(2,+«>)

e

【解答】由题可知，函数定义域为(0,+8),

由r=V0,

解得0<x<2,

所以函数单调递减区间为(0,2).

故选：A.

5.(5分)如图，网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几

该几何体为正四棱柱挖去一个正四棱锥，

正四棱柱的底面边长为4,高为5,正四棱锥的底面边长为2或，高为3.

・,・该几何体的体积为V=4X4X5-|X2>/2X2V2X3=72.

第7页共21页

故选：A.

2x—l

6.（5分）设x€R,则“---->\"是“x>l”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2%—12x—1x—1

【解答】解：：------>10---------1>0=——>0=（X-1）x>0,；.X>1或x<0,

XXX

V{xlr>l}£{xk>l或x<0}，

2x-l

：.------>1是x>l的必要不充分条件,

X

故选：B.

7.（5分）若aE（0,-sin2a=cos2a,则cos2a的值为（）

313

A.一百B.一C.0D.-

5

71

【解答】解：因为ae（0,

所以sina>0,cosa>0,

因为sin2a=cos2a,可得2sinacosa=cos2a,

所以2sina=cosa,即tana=,

cos^a—sin^a_1—tan^a_114

所以cos2a=

cos2a+sin2al+tan2a1+J

4

故选：D.

8.（5分）执行如图所示的程序框图，输出S=（）

A.19B.24C.26D.33

【解答】解：模拟程序的运行，可得

程序运行第1次，5=1+2；

第8页共21页

1

第2次，S=1+2+2+京

1

第3次，S=1+2+2+^+3+(-Z)；

11

第7次，S=1+2+2+/3+（-1）+4+2+5+*+6+（-1）+7+2=33.

此时i=7,输出，贝ijs=33.

故选：D.

x2y2

9.（5分）已知A,尸分别是椭圆二++=1（。>6>0）的左顶点和右焦点，尸是椭圆上一

a2b2

点，直线AP与直线/：相交于点Q,且△AF。是顶角为120°的等腰三角形，则该

椭圆的离心率为（）

1123

A.-B•一C.-D.一

3234

【解答】解：如图，设直线/与x轴的交点为H,

由AAF。是顶角为120°的等腰三角形,

知|FQ|=|硒|=a+c,NQFH=60°,

于是，在RtAFQH中，尸H|=初（2|,

而丁川=弓一c=?,

山b2a+c

故—=---，

c2

又由。2=必+。2得3c2+tzc-2«2=0,

即3e2+e-2=0,

解得e=f.

故选：C.

第9页共21页

10.(5分)已知函数/(x)=ew+2x2.若。=/(0.6°，),/?=/(log2-),c=f(log45),则。，

b,c的大小关系为()

A.a<h<cB.c<h<aC.a<c<hD.b<c<a

【解答】解：f(x)=6a+3，x€R,

fC-x)=eM+2(-x)2=eM+Zr2=/(x),

所以f(x)为偶函数，且x>0时，，单调递增，2f单调递增，

所以x>0时，/(x)单调递增，

1

所以b—f(log2-)—f(-log23)—f(log23),

由于0<0.6°-7<1,Iog23=log49>log45>l,

则a<c<b.

故选：C.

11.(5分)已知尸是抛物线C：p=4x的焦点，过点F的直线/与抛物线交于尸，Q两点，

直线/与抛物线准线1\交于点M,若PM=2FP,则K荷=()

431

A.3B.-C.-D.一

343

【解答】解：如图，过点P作准线的垂线交于点H,则|PF=|PH|=m(胆>0),过点Q

作准线的垂线交于点E,则|EQ|=|QF|,

'：PM=2FP,：.\PM\=2m,

根据可得二=7^-=

\PM\\QM\2

：.2\EQ\=\QM\=\EQ\+3m.：.\EQ\=\3m,即尸

.IFQI3m.

,,|FP|~m~'

故选：A.

第10页共21页

-工>]

12.(5分)已知函数/(x)=如汇’,若函数y=/(x)产+(2-4〃)/(x)

5—2x—x2,%<1

+1恰有5个零点，则实数〃的取值范围是()

9494999

A.[一,—)B.(1,—)C・(1,—]D.[―,+°°)

8242488

【解答】解：当x>l时，/(%)=嬴，则/'(%)=霁三，

当l<xVe时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>e时，f(x)>0,f(x)单调递增,

则x>l时，f(x)(e)=1.当xWl时，f(x)=5-2x-/=-(x+1)2+6<6.

作出/(x)大致图象，函数y=l/(x)『-(4a-2)/(x)+1恰有5个不同零点，

即方程,⑴(2-4a)“x)+1=0恰有5个根.令/(X)=t,则需方程L+(2-4a)

Z+l=0(*).

(/)在区间(-8,1)和⑵6)上各有一个实数根，令函数"⑺=e+(2-4a)r+1,

第"页共21页

a(l)=l+2-4a+lV0g49

贝M“(2)=4+2(2—4a)+lS0,解得一4aV莉.

(u(6)=36+6(2-4a)+1>0

(2)方程(*)在(1,2)和(6,+8)各有一根时，

u(l)=1+2-4a+1>0a<1

则｛“(2)=4+2(2—4a)+1<0,即，a>耳，无解.

.u(6)=36+6(2-4a)+1<0>—

Ia24

on1

(3)方程(*)的一个根为6时，可得a=/，验证得另一根为不不满足.

(4)方程(*)的一个根为1时，可得。=1,可知不满足.

-94499

综上，一<a<一・

824

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知向量Q=(1,2),b=(r,-3),若Q_L(Q+b),则实数t的值为]

【解答】解：\•向量Q=(1,2),b=(/,-3),

/.a4-h=(1+/,-1),

Va±(a+b),

Aa•(Q+b)=1+L2=0,

解得实数，=L

故答案为：1.

(x-y—240

14.(5分)已知实数x,y满足约束条件2%4-y<0，则z=2x-y的最小值为-4

(%+1>0

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x-y得y=2x-z,解得4(-1,2),

~ry-u

平移直线y=2x-z,

由图象可知当直线y=2x-z经过点A(-1,2)时，

直线的纵截距最大，

此时z最小，

此时z--2-2--4,

第12页共21页

故答案为：-4.

15.(5分)关于函数/(%)=sin2x+cos2x,给出下列四个结论:

①n是/(x)的最小正周期；

②f(X)在[0,$的最小值是-1；

TT

③在[0,万]上是单调递增函数；

④、=工是f(X)图象的一条对称轴.

其中所有正确结论的序号是①②④.

【解答】解：f(x)=sin2x+cos2x=V2sin(2x+^),

①最小正周期T=^=m即①正确；

7TTC57T

②因为工6[0,—所以2元+江—],

所以当2工+与=孚，即x=^时，函数/(x)取得最小值-1,即②正确；

③令2x+.HZZrrr-a，2Kt+引，kGZ,则x€[Kr—g-,Kt+9],keZ,

所以/G)的增区间为阳一引加+射，蛇Z,显然[0,自不是其子集，即③错误；

④/1(J)=V2sin(2弓+f)=V2=/(x)max＞所以x=g是/(无)图象的一条对称轴，

8840

即④正确.

故答案为：①②④.

16.(5分)如图，AB是。。的直径，以垂直于。0所在的平面，C是圆周上不同于A,B

8

的任意一点，PA=2,三棱锥P-A8C体积的最大值为J,则当△P8C的面积最大时，线

段AC的长度为

第13页共21页

D

【解答】解：设48=a,则0C=¥，由以_L平面ACB,幺=2,

8

得到△ABC面积最大时，，0C1AB,三棱锥P-A8C体积的最大值为

11a«

x-xax—x2=5,解得a=4,

3223

:AB是圆。的直径,：.ZACB=90°,：.BC±AC,

平面ACB,：.PA±BC,；.BC_L平面%C,：.BC±PC,

：.BC^PC2-PB2=PA2+AB2=20,

:&PBC=jxBCxPC<1（BC2+PC2）=5,

当且仅当BC=PC=VTU时，等号成立，

此时AC=>JPC2-PA2=V6.

故答案为：V6-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调

查.某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或入户登记的户数

与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2X2列联表所示：

入户登记自主填报合计

户主45岁以上200

户主45岁及以下240640

合计1000

（1）将列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年

龄段有关系？

（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方

法抽取了6户.若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，求所抽取的2户中恰好有1

第14页共21页

户的户主年龄在45岁以上的概率.

附表及公式：

p(心知)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

2

其中K?=7上内,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：⑴2X2列联表：

入户登记自主填报合计

户主45岁以上160200360

户主45岁以下240400640

合计4006001000

2

产“210=004x0(01X6600x04X0306-020X06x42040)=4).-630>3.8,4小1,

所以有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系；

(2)依题意，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户，其中

年龄在45岁以上的有6x瑞=2户，所以在45岁以下的户主中抽取的为4户，

记“所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上”为事件A,

所以尸(A)=望=得.

cj15

18.(12分)如图，已知OA=10,点5是以。为圆心，5为半径的半圆上一动点.

(1)当/AOB=120°时，求线段AB的值；

(2)若△ABC为正三角形，求四边形0AC8面积的最大值.

【解答】解：(1)在aAOB中，由余弦定理得：AB2=O^+OB2-20AOBcosZAOB=

102+52-2x10x5xCOS120。=100+25-100x(-^)=175,

所以AB=56；

(2)设/AO8=a,所以4^=042+052-2.OR.OB-cosa=125-lOOcosa,

第15页共21页

则S四边形QACB=SAOAB+SZ\4BC=2。4,08•sina+蛾A8?=2x10x5sina+端(125~

lOOcosa)=25sina-25V3cosa+i^=50(|sina-fcosa)+竿=50sin(a-J)

,12573

+^-'

所以当a=系时，四边形OACB的面积取得最大值为50+片小•

19.(12分)若等比数列｛斯｝的各项为正，前〃项和为S“且52=6,“3=8.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)若｛s力”｝是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列｛d)的前八项和T,t.

【解答】解：(1)由题意知，公比gWl,

」a(l-Q2)

由52=6,。3=8,得Za--1------=6,〃i/9=8,

l-q

解得行一号或2，

因为等比数列｛飙｝的各项为正，所以夕>0,所以q=2,ai=2,

故数列｛a”｝的通项公式为如=〃0-1=2".

(2)设Cn=%6”，则｛c“是以I为首项，1为公差的等差数列，

所以Cn=l+(〃-1A1=〃，

所以“

所以刀尸*+最+亳+…+条占+矣①，

?'尸共+条+>…+展+券勖

①-②得,，吗+会+会+-“+去一+1=吟¥」一向=—(扔一声，

所以〃=2X[1—6尸一令]=2一字.

20.(12分)如图，四棱锥P-A8CO中，侧面以.底面A8CD,底面ABC。为梯形，AB

//DC,且AP=PQ=CD=2AB=2V5,ZAPD=ZADC=60°.AC交BD于点F,G为

△BAD的重心.

(1)求证：GF〃平面PAB-,

(2)求三棱锥B-GFC的体积.

第16页共21页

由底面A8CD为梯形，AB//CD,CD=2AB,

DFDC2

：./\ABF/\CDF,则一=—=

FBAB1

DG2DFDG2

又由G为△以£）的重心，=则—=—=

GE1FBGE1

所以GF//EB.

而GRt平面PAB,EBu平面PAB,

所以GF〃平面PAB.

(2)解：由AP=PO,NAPO=60°,则△以力为正三角形.

又AO=PD=OC,NAOC=60°.所以△4OC为正三角形.

因为平面力。_L平面ABCD,平面用5平面ABCD=AD,

在△%£)中，连接PG并延长交A。于点M,WPMLAD,所以PM_L面ABCD

FCDF22

又77=瑞=，'则％-GFC=VG-BFC=

/irrD1」

第17页共21页

R

因为N£>AC=NACD=60°=NCA8,AB=V3,AC=2V3,

所以S-BC=5\AB\■\AC\•sin60°=笠.

又△AOC为正三角形，AD=2A/3,则PM=3,GM=1,

所以%TBC=,SMBC“GM|=与,

故VB-GFC—^G-ABC-冬

21.(12分)己知函数/(比)=axlnx+x.

(1)函数/CO是否存在极小值？若存在，求出。的取值范围，若不存在，说明理由;

(2)若OVoWl,求证：f(x)V/-7+1.

【解答】(1)解：由题意/(x)=Hnx+〃+l(其中Q0),

当〃=0时，函数/(x)=x不存在极值.

a+l

当々HO时，令/(xo)=alnxo+a+\=0,则%o=e--1.

若〃>0,可知OVxVxo时，f(xo)<0,x>xo时，f(xo)>0,

则此时M为f(x)的极小值点，符合题意.

若〃<0,可知OVxVxo时，f(xo)>0,x>xo时，f(xo)<0,

则此时冲为f(x)的极大值点，不合题意.

综上，/(x)存在极小值时，。的取值范围是(0,+8).

(2)证明：由不等式/(x)V，-/+1得ox历x+fv/-尤+1(其中冗〉0),

一一^alnxex-x+l,

即证明——+1<——(其中x>0).

x

令“(X)=+1,v(x)=ex：+l，只需证明u(x)max<V(X)加〃即可.

又u'(%)="Q0<aWl,则0<x<e时，ii(x)>0；x>e时，u(x)<0.

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则x=e时，"(x)取得极大值，即"(x)的极大值为“(e)=微+1,也即为最大值.

由心)=竺妥1,得4乃=(el"爹(eJ+1)=(久-2y+1),

则0<x<2时，v'(%)<0；x>2时，v'(%)>0.

则x=2时，vG)取得极小值，即v(x)的极小值为"(2)=平，也即为最小值.

X

由于吟)min-U(X~)max=v(2)-u(e)=一一1

_5e—4_e(e2—5)—4

=-4e~=4eU,

CLITIXe%—%+l

即有〃(X)〃?ax〈y(X)tnin»则+1y~

XX2

所以0<aWl时，不等式/(x)成立.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题记分。［选修4-4：极坐标与参数方程］

22.(10分)平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为仔=：1,0(为参数)，以坐标原

(y=sin(p丁

点为极点,X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线/的极坐标方程为。=a(0<aV*),

71

将射线/绕极点逆时针旋转一后得到射线k