线性代数矩阵习题课

1、设

,求

An

–2An-1(n≥2)。A=101020101解：An

–2An-1=(A-2E)An-1=-10100010-1An-1=-10100010-1AAn-2=-10100010-1An-2101020101=0线性代数习题课〔一〕1整理ppt2、设n

维向量α

=(a,0

,…,0

,a)T(a<0),其中A的逆矩阵为B，求a的值。A=E-ααT,B=E-ααT/a,解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,AB=E

1-1/a-2a=0

a=-1/2(a=1舍去)线性代数习题课〔一〕2整理ppt3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1,求G-1。G=E-(A+E)-1

=A(A+E)-1G

-1=(A(A+E)-1)-1=(A+E)A-1=(A+E)(A+E)-1-(A+E)-1由A与A+E均可逆可知G也可逆，且线性代数习题课〔一〕3整理ppt4、设四阶矩阵A=(α

,r2,r3,r4),B=(β,r2,r3,r4),|A+B|=|α+β，2r2,2r3,2r4|=8(|A|+|B|)

=40

其中α，β，r2,r3,r4均为4维向量，且|A|=4,|B|=1,求|A+B|。线性代数习题课〔一〕4整理ppt5、设且AX=A+2X,求矩阵X.线性代数习题课〔一〕5整理ppt解:

因为AX=A+2X,所以(A–2E)X=A,而又线性代数习题课〔一〕6整理ppt所以线性代数习题课〔一〕7整理ppt6、设求An线性代数习题课〔一〕8整理ppt解：设A=λE+H，Hn=0(n≧3),，H=

011

001000那么H2=

001

000000其中故An=(λE+H)n=λn

E+λn-1H+λn-2H2

λn

nλn-1

n(n-1)λn-2/2

0λn

nλn-1

00λn=线性代数习题课〔一〕9整理ppt7、设矩阵且r(A)=2，求λ

和μ

的值。线性代数习题课〔一〕10整理ppt-1123

μ

63λ

-12解：Ar2↔r3r2-5r1r3-3r1-11208μ-5

-40λ+3

-4-4r3-r2-11208μ-5

-40λ-5

μ

+10又

r(A)=2,故λ=5,μ

=-1线性代数习题课〔一〕11整理ppt8、多项式,x-10x223x-710431-71xf(x)=求f(x)中常数项的值。解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为d=-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)=3线性代数习题课〔一〕12整理ppt9、设,求A2021。解：注意到A3=-E,A6=E，故A2021=(A6)335A3A=-A线性代数习题课〔一〕13整理ppt10、计算行列式11223-1-11221-11230

D=解：55405100221-11230

D=554510123

=-2054010-923

=-204-93

==24线性代数习题课〔一〕14整理ppt11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,(1)假设|A|=0,那么|A*|=0;

证明:(2)|A*|=|A|n–1.线性代数习题课〔一〕15整理ppt证(1):当A

=

0时,那么|A|的所有代数余子式从而A*=0,故|A*|=0.当A

O且|

A

|

=

0时,用反证法证明.假设|A*|0,那么有A*(A*)–1=E,故A

=

AE

=

A[A*(A*)–1]

=

AA*(A*)–1

=

|

A

|E(A*)–1=

O,这与A

0矛盾,故当|

A

|

=

0时,|

A*

|

=

0.均为0,线性代数习题课〔一〕16整理ppt(2)当|A|=0时,那么由(1)得|A*|=0,从而|

A*

|

=

|

A

|n–1成立.当|

A

|

0时,由

AA*=

|

A

|

E得,|

A

|

|

A*|

=

|

AA*

|

=

||

A

|

E

|

=

|

A

|n,由|

A

|

0得,|

A*

|

=

|

A

|n–1.线性代数习题课〔一〕17整理ppt12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是证:A为可逆矩阵，那么|A*|=|A|n-1≠0，故A*是可逆的。又A*=|A|A-1，故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A显然A*(A-1)*=E，故(A*)=(A-1)*。可逆的，且(A*)=(A-1)*。线性代数习题课〔一〕18整理ppt13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中A=diag(1,-2,1),A*为A的伴随矩阵，求矩阵B解:|A|=-2,故A可逆，且A-1=diag(1,-1/2,1),又A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2)故2(E+A-1)BA=E,即B=(E+A-1)-1A-1/2故B=diag(-1,1/2,-1)又(E+A-1)-1=diag(-1,1/2,-1)线性代数习题课〔一〕19整理ppt14、设n阶矩阵A、B、A+B可逆，试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。证明：∵A+B=A(A-1+B-1)B,∴|A+B|=|A|·|A-1+B-1|·|B|,又因为

A、B、A+B可逆，故A、B、A+B的行列式不为零。故A-1+B-1的行列式不为零，即A-1+B-1为可逆矩阵。又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A线性代数习题课〔一〕20整理ppt15、设行列式，11223-1-11221-11230

D=解：11223-1-111-11-11230D′=2132-44321

==34第三行各元素余子式之和。121332-4410001321=显然

M31+M32+M33+M34=D′=34线性代数习题课〔一〕21整理ppt线性代数习题课〔一〕16、设α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α1=(1,3,t)T(1)问t为何值时，向量组α1、α2、α3线性无关？(2)问t为何值时，向量组α1、α2、α3线性相关？线性相关时，将α3

由α1、α2线性表出。解：(α1,α2,α1)=1112313t～1101200t-5～0-101200t-5故t=5时，向量组α1、α2、α3线性相关，且α3=-α1+2α222整理ppt线性代数习题课〔一〕17、设β1=mα1+3α2+α3,β2=2α1+(m+1)α2+α3,β3=-2α1-(m+1)α2+(m-1)α3,其中向量组α1、α2、α3线性无关，试讨论向量组β1、β2、β3线性相关性。23整理ppt线性代数习题课〔一〕解：(β1

β2

β3)=(α1

α2

α3)m2-23m+1-m-111m-1

m2-23m+1-m-111m-1=m(m-2)(m+1)故m=0,否那么向量组线性无关。或m=-1,或m=2时向量组线性相关。24整理ppt1、设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，det(-1)n

3det(A)=1/3,那么线性代数习题课〔一〕25整理ppt2、设三阶方阵A≠0，B=,且AB=0，那么t=4354t353解：设A=(α1,α2,α3),那么AB=(α1+2α2+3α3,3α1+4α2+5α3,5α1+tα2+3α3)由于AB=0，那么B的列向量为AX=0的解又三阶方阵A≠0，故AX=0至多有两个线性无关的解向量,即r(B)≤2。线性代数习题课〔一〕26整理ppt3、假设n阶矩阵A满足方程A2+2A+3E=0那么A-1=4、设A为三阶矩阵，且|A|=1那么|2A-1+3A*|=53=125线性代数习题课〔一〕27整理ppt5、设A=,那么An=3000100043n00010004n线性代数习题课〔一〕设A=,003010400那么An=12n000100012nA2n+1=0

04n3n+10104n+13n00

A2n=28整理ppt6、设A=,那么A-1=3000100041/300010001/47、设α

=(a1,a2,…,an)≠0,β

=(b1,b2,…,bn)≠0且A=αβT，那么r(A)=1r(AB)≤min{r(A),r(B)}线性代数习题课〔一〕设A=,003010400那么A-1=0

01/40101/30029整理ppt8、设A为4阶方阵,那么r(A*)=1

r(A*)=

n,假设r(A)=n1,假设r(A)=n-10,假设r(A)≤n-2(2)假设矩阵A的秩r(A)=2，A*为A的伴随矩阵，那么r(A*)=0线性代数习题课〔一〕(1)假设矩阵A的秩r(A)=3，30整理ppt线性代数习题课〔一〕9、设A为4×3矩阵，且r(A)=2,而B=,102020-103那么r(AB)=210、设A=,

k111

1k1111k1111k且r(A)=3,那么k=-331整理ppt11、设三阶矩阵A=,B=,

α

γ1

γ2

β

γ1

γ2且|A|=2,|B|=3,那么|3A|=|A+B|=,|A-B|=|AT+BT|=5420020线性代数习题课〔一〕32整理ppt作业题答案1、设矩阵20411-243A=12-2302-14B=34122-32-1C=那么(1)A+B=22410372A-3C=-2-2-31-25-35B-C=-5-125-4-4529(2)假设矩阵X满足A+2X=C,那么X=(C-A)/2=1/22-3/21/21/2-1/2-1-233整理ppt(3)假设矩阵Y满足(2A+Y)+3(B-Y)=0,那么Y=(2A+3B)/2=7/23111/2115/29(4)假设矩阵X、Y满足3X-Y=2A,X+Y=B,那么X=(2A+B)/4=5/41/23/25/41/2-1/27/45/2那么Y=(3B-2A)/4=-1/43/2-7/27/4-1/25/2-11/43/5作业题答案34整理ppt4-105-22132、设矩阵A=,B=10-23-2-105-321那么ABT=4-105-22131450-2-3-2-123011918285-1311=作业题答案35整理ppt线性代数习题课〔一〕3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、行最简形矩阵、及标准型。A=2-1-11211-2144-62-2436-97911-2142-1-1124-62-2436-979r1↔r2r4-(r1+r2)r3-2r2

r2-2r111-2140-33-1-60-44-4006-653(-1/4)r3r4+r211-2140-33-1-601-11002-21336整理pptr3+3r2

r4-2r2r2↔r311-21401-1100-33-1-602-21311-21401-1000002-6000-13r3↔r411-21401-100000-130002-6r1+r3

r1-r2r4+2r3-r310-10701-1000001-300000c3+c1

c3-c2c5-7c1

c3-3c410000010000001000000c3↔c410000010000010000000作业题答案37整理ppt作业题答案4、求A的逆矩阵(AE)=11-110012-3010011001r2-r111-110001-2-110011001r3-r211-110001-2-1100031-11(1/3)r311-110001-2-1100011/3-1/31/3r1+r3

r2+2r31104/3-1/31/3010-1/31/32/30011/3-1/31/3r1-r21005/3-2/3-1/3010-1/31/32/30011/3-1/31/338整理ppt作业题答案5、解矩阵方程:(AB)=121-1332453r2-3r1121-130-418-6(AX=B)(-1/4)r2121-1301-1/4-23/2r1-2r2103/23001-1/4-23/2

3/230

-1/4-23/2X=39整理ppt作业题答案6、解矩阵方程:(AXB=C)2-432011-24

=A=E(r1,r2)=A-1,B=E(r2,r3)=B-1,X=A-1CB-1=E(r1,r2)E(r2,r3)21023-414-240整理ppt作业题答案7、设矩阵A、B满足AB=2B+A,且A=301120014解、有题设可知：(A-2E)B=A(A-2E

A)=101301100120012014~100120010-4520012-21B=

120-452

2-2141整理ppt8、计算行列式200401-120-40052-38D=2040-125-38

=41010-115-34=161000-115-3-1=161000-105-3-4=16=64作业题答案42整理ppt作业题答案9、求矩阵A的伴随矩阵及逆矩阵。1110-1323A=矩阵A的代数余子式为：A11=2,A21=-1,A31=-1,A12=-6,A22=0,A32=2,A13=2,A23=1,A33=-1,A的伴随矩阵为：2-1-1-60221-1A*=矩阵A行列式：|A|=-2A的逆矩阵为：-11/21/230-1-1-1/21/2A-1=43整理ppt作业题答案10、设A=1-23k-12k-3

k-23那么A~1-23k02(k-1)3(k-1)003(k-1)(k+2)假设r(A)=1,那么k=1;假设r(A)=2,那么k=-2;假设r(A)=3,那么k≠1,