2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）43

2022年高考数学模拟自测题(根据以往高频出现知

识点编辑)_01D

单选题(共8个，分值共：)

1、已知函数/'(x)=+3x+1|-a|x|恰有4个零点，则a的取值范围是().

A.(5,+OO)B.(1,5)

C.(1,+oo)D.(0,1)U(5,+oo)

答案：D

解析：

把/(x)的零点个数等价于直线y=a与函数y=k+：+图象的交点个数即可解决.

【本题详解】

当％=0时，/(0)=1^0,所以％=0不是/(%)的零点；

当工工0时，由/(%)=0,即1/+3%+1|-=0,得。=卜+：+3卜

则/(%)的零点个数等价于直线y=a与函数y=k+：+图象的交点个数.

作出函数y=卜+：+的大致图象(如图所不)，

由图可知aG(0,1)U(5,4-00).

所以正确答案为：D

2、已知％Q,b,c,y成等差数列，d,y,e*也成等差数列，则言的值为()

A.-B.--C.-D.--

3322

答案：D

解析：

以X、y分别表示等差数列％Q,仇与等差数列d,y,e,x的公差，即可解决.

【本题详解】

等差数列x,Q,b,c,y中，公差di=m=；()/一%),c-a=2d1

5—14

等差数列d,y,e,x中，公差W=[(*一切，e-d=2d2

故三=弛=竺H=_工

e-d2d2x-y2

所以正确答案为：D

3、已知双曲线提一\=19>0/>0)的离心率为近，则其渐近线方程是()

A.y=+xB.y=+^-xC.y=+V2xD.y=±V3x

答案：A

解析：

由双曲线离心率的值得到*b之间的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.

【本题详解】

双曲线.一标=l(a>0,b>0)中，c2=a2+b2,又(=&即c=&a,贝Ub=a

则其渐近线方程是y=+^x=+x

所以正确答案为：A

([+乌[(]+“)6,

4、Ix')展开式中x的系数为()

A.26B.32c.46D.50

答案：B

解析：

先求出(l+x『的展开式的通项，可得/的项相应的r的值，即可求解.

【本题详解】

。+的展开式的通项为=C"’,

(1+1](l+x)6,1-Clx5+4--CftX5=20x3+12x3=32x3

所以l厂^展开式中含丁的项为/，

[l+4](l+x『

所以l尸1展开式中/的系数为32,

所以正确答案为：B.

5、双曲线C:9—9=1的虚轴长为()

A.V3B.2V3C.3D.6

答案：D

解析：

根据题意，由双曲线的方程求出b的值，即可得答案.

【本题详解】

2

因为Z>2=9,所以b=3,所以双曲线的虚轴长为2b=6.

所以正确答案为：D.

6、已知定义在R上的函数f(x)满足/(%+2)=)(%),当丁€［—1,1］时,/(x)=/+1,贝行(2020.5)=()

A.淑工.2D,1

答案：B

解析：

由/0+2)=/(尤)可知，函数/(x)的周期为2,利用周期性把所给的自变量转化到区间［一1,1］上，代入求值即

可.

【本题详解】

由/0+2)=/(%)可知，函数/(%)的周期为2,当时，/(x)=x2+l,

•••/(2020.5)=f(2020+0=/(|)=J+1=

所以正确答案为：B

7、下列关于命题"若%>1,贝U2x+1>5”(假命题)的否定，正确的是()

A.若x>1,则2x+1<5

B.存在一个实数化,满足%>1,但2%+1<5

C.任意实数万,满足x>1,但2x+1<5

D.若存在一个实数x,满足XW1,则2x+lW5

答案：B

解析：

先要明确"若x>l，则2x+l>5"是一个全称命题，因此其否定是特称命题形式，由此可判断答案.

【本题详解】

命题"若久>1,贝Ij2x+1>5〃(假命题)是一个全称命题，

因此其否定为“存在一个实数X,满足x>l,但2x+lS5",

所以正确答案为：B.

8、函数/(切=蒿公的图象大致为()

3

解析：

根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取儿个特殊值运用排除法得到答案.

【本题详解】

由题意知，x2+|x|-2*0,解得x芋±1,所以/(尤)定义域(一8,-1)U(-1,1)(1,+8)关于原点对称，又因为

/(-%)==4^=—/(x),所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.

\—X)+\—X\—Zx+\x\—z

当％=机寸，f=_|<0,排除B.

/(x)=0=%=0,函数只有1个零点，排除C.

所以正确答案为：D

多选题(共4个，分值共：)

9、已知圆/W：/+(y—2)2=l,点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A,B,

直线A8与/WP交于点C,则下列结论正确的是()

A.四边形PA/W8周长的最小值为2+26B.|4B|的最大值为2

C.若P(l,0),则△P4B的面积为强.若Q(W，0),则的最大值为:

答案：ACD

解析：

对A,可将四边形以MB周长转化为2+2|AP|,结合勾股定理可求最值；对B,由圆内最长的弦为直径可判断

错误；对C,由几何关系先求出MP,由等面积法可求出BC,CP,结合面积公式可求S“4B；对D，分点P是否

与原点重合分类讨论，当点P不与原点重合时，求出切线长方程和直线MP方程，联立可求动点C轨迹，由点与

圆的位置关系可求iCQImax.

【本题详解】

如图所示，对于选项4四边形R4MB的周长为2+|BP|+|4P|,

4

因为|BP|=|4P|,所以四边形小M8的周长为2+2|4尸|,设|MP|=t（tN2）,当P与原点重合时最小，则

\AP\=Vt2-1,则四边形PAMB的周长为2Vt2-1+2,则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，

为2a+2,故A正确；

对于选项B,因为圆M：/+。-2）2=1的直径为2,所以|AB|<2,故B错误；

对于选项C,因为P（1,O）,所以|MP|=花,\AP\=2,由等面积法可得|AP|•|4M|=|MP|•|BC|,求得

|BC|=q,MB|=3,|PC|=G，所以APAB的面积为:|4B|“PC|=1故C正确；

对于选项D,当点P与原点重合时，|MP|=2,则|PB|则|MC|=也则C（0,|），则|CQ|=4+菖=

等；当点P不与原点重合时，设P（m,O）（团40）,则切点弦AB的方程为-2y+3=0（利用结论：过圆

-

外一点P（x（）,yo）的切线弦方程为（%o-a）（x-a）+（y0a）（y一b）=N求得），直线MP的方程为y=-+

2,联立两方程，可得C（^,甯），消去m,得动点C的轨迹方程为/+（y—£f=e）2又因为

Q（*°），所以iCQImax=J（-手）+（：）+；=£故D正确.

所以正确答案为：ACD.

10、设数列｛。工是无穷数列，若存在正整数A,使得对任意neN+，均有an+k>an，则称｛5｝是间隔递增数

列，k是｛斯｝的间隔数.则下列说法正确的是（）

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知即=71+：,则｛an｝是间隔递增数列且最小间隔数是4

C.已知an=2n+（—1严，则｛a.｝是间隔递增数列且最小间隔数是3

D.已知即=n2-tn+2021,若｛册｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4st<5

答案：BD

解析：

根据间隔递增数列的定义，结合数列的增减性，进而求得答案.

【本题详解】

n

对于A设数歹U｛即｝的公比为q,则-an=一的小-1=aiqT（qk-1），

因为q>l,所以q九T（qk—l）>0,若由V0,则时+工一Q九<0,不是间隔递增数列，故A错误；

对于B,即+|-即=6+1+熹）—（n+：）=Ul—导｝易得t（n）=1—嬴是递增数列，

5

则t(l)=M，所以k>3时，｛a/一定是间隔递增数列，且最小间隔数是4,故B正确；

n+knnk

对于C,an+k-an=2(n+k)+(-l)-[2n+(-l)]=2k+(-l)[(-l)-1],

当n为奇数时，an+k一=2k-[(-1)上一1],显然k=l•时，而+k-斯〉。，

k

当n为偶数时，an+k-an=2k+[(-l)-1]»显然k=2时，an+k-an>0,故C错误；

对于D,由｛&J是间隔递增数列，则即+上>0n对neN*恒成立，

即(n+k)2—t(n+fc)+2021—(n2-tn+2021)=2kn+k2—tk>0对neN*恒成立，贝!]2k+k.2—tk>0

恒成立，

因为最小间隔是3,所以2卜+卜2一块>0即卜>«：—2对于/<:23恒成立，且AW2时，k<t-2,于是4<t<

5,故D正确.

所以正确答案为：BD.

11、已知正方体力BCD—4B1GD1的棱长为2,M为棱CQ上的动点，AM，平面a,下面说法正确的是()

A.若N为。％中点，当4M+MN最小时，器=1一五

B.当点”与点Q重合时，若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大

C.直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为[白，号]

D.若点M为CG的中点，平面a过点8,则平面a截正方体所得截面图形的面积为：

答案：AD

解析：

利用展开图判定4、M、N三点共线，进而利用相似三角形判定选项A正确；通过两个截面的面积不相等且周

长相等判定选项B错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定选项

C正确；建立空间直角坐标系，利用线面垂直得出点E的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形

的高，进而求出截面的面积，判定选项D正确.

【本题详解】

对于A：将矩形"CGA与矩形CGD1D展开成一个平面(如图所示)

若AM+MN最小，则4、M、N三点共线,

因为“】||皿，所以需=笫=^^=2-或，

所以MC=(2-夜)DN=?CCi，

即把=土超=1一立，

CG22

6

即选项A正确；

对于B：当点M与点Q重合时，

连接公。、BD、&B、AC.AG(如图所示)

在正方体ABCD-4/他12中，CCi，平面4BCD,

BDu平面4BCD,所以8DJLCG，

又因为B0J.4C,且4CnCG=C,

所以B。，平面ZCCi，

又ACiu平面ACC］，所以BDJLAQ,

同理可证40

因为&DCBD=D,

所以4G上平面

易知△&BD是边长为2口的等边三角形，

其面积为SAABD=fx(2V2)2=2V3,

周长为27^x3=6或：

设瓦F,Q,N,G,〃分别是4Di，BBi，BC,CD,的中点,

易知六边形EFQNGH是边长为企的正六边形，

且平面EFQNGH||平面&BD,

正六边形EFQNGH的周长为6企，

面积为6xx(V2)2=3V3.

则4&BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，

它们的周长相等，

即选项B错误；

对于C：以点。为原点，DA.DC、DDi所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)

7

则4(2,0,0),很(2,2,0),设M(0,2,a)(0WaW2),

因为AM_L平面a,所以前是平面a的一个法向量，

且俞=(-2,2,a),AB=(0,2,0),

\cos(AM,AB)\=G[y<y]-

所以直线AB与平面a所成角的正弦值的取值范围为殍，同

则直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为性耳

即选项C错误；

对于D：以点。为原点，。4、0C、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)

连接AC、BD,设平面a交棱为£>i于点E(b,0,2),"(0,2,1),

所以彳M=(-2,2,1),因为4M_L平面a,DEu平面a,

所以AMJLCE,即

AM-DE=-2b+2=0,得b=1,

所以E(l,0,2),即点E是&5的中点，

同理点F是&Bi的中点，贝I]EF||8。且EF力BD,

所以四边形EFBD是梯形，且B£>=2&，EF=夜，

设a=丽=(1,0,2),〃=赢=母，当,。),

则a2=5,a•〃=圣

8

所以梯形EFBD的高，即点E到直线BD的距离

为Ja2-（a・〃）2=^5-1=券

所以梯形EFBD的面积为S=1x（V2+272）x券=£

即选项D正确.

所以正确答案为：AD.

12、已知P是双曲线C：?—3=1上任意一点，A,B是双曲线的两个顶点，设直线PA,PB的斜率分别为自,

k2（七七羊。）若|心|+伙21"恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（）

A.双曲线的方程为彳-y2=1

B.双曲线的离心率为近

C.函数y=loga^x+1-遍）（a>O,axl）的图象恒过双曲线C的一个焦点

D.直线x—y=0与双曲线C有两个交点

答案：AC

解析:

根据已知可得七七为定值，结合基本不等式求出IBI+IBI的取值范围，得到t的最大值，从而取出m,逐项

判断即可.

【本题详解】

设P(x,y),(x*±2),2(—2,0),B(2,0),则?一'=1,

y

所以的=x^2f

yy_y2_m

所以kk2=—x—=——=-

1x+2x-2X2-44

又1自1+1的122<卜也=2$=Vm,

当且仅当他il=\k2\=亨等号成立,

又1心|+忙2|23且实数t的最大值为1，

所以g元=1,即m=1,

所以双曲线的方程为。—y2=i,故A正确；

则双曲线的离心率e=2=Jl+§==，故B错误；

双曲线的焦点坐标为（土花,0）,

函数y=Zoga（x+1-遮）（a>0,aHl）的图像过定点（通,0）,故C正确;

双曲线的渐近线为y=±：%,而直线x—y=0的斜率为

所以直线x-y=0与双曲线C有没有交点，故D错误.

9

所以正确答案为：AC.

填空题（共3个，分值共：）

13、函数f（x）=8的定义域为.

答案：（—8,—3]

解析：

解指数不等式得出定义域.

【本题详解】

即定义域为（-8,-3].

故答案为：（—8,—3]

14、若函数/（x）=2sino）x+2cos（cox+§（coK0）的一个周期是则3的取值可以是.（写出一

个即可）.

答案：4（答案不唯一）

解析：

先利用三角函数恒等变换公式对函数化简，然后利用周期公式求解即可

【本题详解】

/（%）=2sina）x+2cos（3%+：）=（2—V2）sintox+\[2cosa）x=V8-4V2sin（（ox+<p）,其中tan<p==

V2+1,

则/（x）的最小正周期7=言，

从而冷却壮幻，

解得3=4k（keZ,且上。0）

故答案为：4（答案不唯一）

15>若Vx€R,三。€[5,8],/+ax+[a?>2%+am—5,则m的取值范围为.

答案：（一8曰

解析：

一元二次不等式，对任意的实数都成立，与x轴最多有一个交点；由对勾函数的单调性可以求出m的范围.

【本题详解】

由/+ax+1a2>2%4-am—5,得％2+（a—2）x4-|a2—am+5）0.由题意可得maG[5,8],（a—2）2—

4a?—am+5）40,即maW[5,8],ni4±+!+1.因为a€[5,8],所以+±故m

\2J4a4a4822

故答案为：（—8,|j

解答题（共6个，分值共：）

10

16>已知角ae(p7r),sma=|.

(1)求tcma的值；

(2)求tanG+a)的值.

答案：

(1)--

4

⑵i

7

解析：

(1)根据平方关系求出cosa,再根据商数关系即可得出答案;

(2)直接利用两角和的正切公式即可得出答案.

(1)

解：因为角a6讥a=I，

所以cosa=-V1—sin2a=—^

所以="上=-

cosa4

(2)

tan—¥tana1一一

4___41

解:tan©+a)=TC-3

1-tan—tanai+-1

44

17、如图，已知平行四边形ABC。的三个顶点8、C、。的坐标分别是(-1,3)、(3,4)、(2,2),

(2)求顶点A的坐标.

答案:

(1)BC=(4,1)

(2)(-2,1)

解析：

(1)由点8、C的坐标即可求解BC的坐标:

(2)设顶点A的坐标为(x,y),由四边形A8CD为平行四边形，有丽=而，从而即可求解.

(1)

11

解：因为点8、C的坐标分别是(-1,3)、(3,4),

所以阮=(3,4)-(-1,3)=(4,1)；

(2)

解：设顶点A的坐标为(x,y),

因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是(2,2),

所以说=而，即(4,1)=(2—居2-y),

所以仁江：，解%蠢2,

所以顶点A的坐标为(一2,1).

18、如图，在△ABC中，内角A,B,C所对的边为a,b,c,已知a=6,A=60。，8=75°.

(1)求角C；

(2)求边c.

答案：

(1)C=45。

(2)c=2-76

解析：

(1)根据三角形三个内角和等于180。即可求解；

(2)结合己知条件，根据正弦定理即可求解.

(1)

解：在AABC中，因为A=60。，8=75。，所以角C=180。-4-B=180°-60°-75°=45°；

(2)

解：在△ABC中，因为a=6,4=60°,又由(1)知C=45°,

a_c

所以由正弦定理有荒彳一藏，即击=爰，解得c=2痣

~2T

19、已知函数/(%)=2s出(3%),其中常数3>0.

(1)若3=2,将函数y=f(x)的图象向左平移m个单位，得到的函数y=g(x)的图象，求g(x)；

0

(2)若y=/(x)在［一%争上单调递增，求3的取值范围；

(3)对(1)中的g(x),区间［a,b］(a,b£R且aVb)满足：y=g(%)在［a,b］上至少含有30个零点，在所

有满足上述条件的［a,0中，求b-a的最小值.

12

答案：

(1)g(x)=2sin(2x4-

(2)(0,|]

(3)—

2

解析：

(1)由/(x)=2si几2%向左平移2个单位可得g(%)=2s讥[2(x+弓)],化简即可；

--7coT>.T--r

£2,从而求出口的取值范围；

I7r

(3)令g(x)=0,得工=”一久代2),可得相邻两个零点之间的距离为三可知b—a>14T+J=警，可

LoNNN

求出匕-Q的最小值.

(1)

若3=2,由题意得/(%)=2s讥2%,向左平移g个单位，得到的函数

y—g(x)-2sin[2(x+*)]=2sin(2x+g).

故g(x)=2sin(2x+》

(2)

(JL)>0,当%6[—('争]时'6t)X6[——60,6L>]

又=y=/(%)=2s讥3%在[一孑，引单调递增，

/兀、兀

一二3>——

：•22加，解得。<3嵋，

・•.3的取值范围为(0,|].

(3)

由函数y=g(x)=2sin(2x+g)可知，

令。(%)=0，得2x4--=kn(kGZ),即％=——-(k6Z).

326

.•・相邻两个零点之间的距离为多且周期7=兀，

则要使y=/(x)在[a,b]上至少含有30个零点，至少包含14.5个周期.

即b—a》14T+-=—.

22

故b—a的最小值为2岁.

20、已知函数/(x)=2工一%且/'(2)=:

(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；

(2)判断函数/(x)在(1,+8)上的单调性并证明.

答案：

13

(1)a=-1,函数/(%)=2%+或为奇函数

(2)/(%)在(1,+8)上是增函数，证明见解析

解析：

(1)根据/(2)=会代入函数解析即可求解;

(2)利用函数单调性的定义证明即可.

99

⑵4a

=---=-

II./222

a=-1；

所以/(%)=2%+定义域为｛%|xH0｝关于原点对称，

/(-x)=2(-%)+^=-2x-i=-(2%+》=-/(%),

函数〃%)=2乂+：为奇函数.

(2)

函数f(x)在(1,+oo)上是增函数，

证明：任取%1，%2€(1,+8),设％1<%2，则

1111Xi—%2

(%2)-(%i)=-%1)+(---)=)

ff2x2+--(2x1+—)=2(X22(X2-/+(――)

%2X1x2X1

/、c1、(%2一%1)(2久1%2-1)

=3-^1)(2----