北京市精华学校2021届高三三模数学试卷(含详解)

2020-2021学年精华学校三模数学

本试卷共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结

束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={0,1,2,3},B={X|熹4},则4n3=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.下列函数中，既是奇函数又以兀为最小正周期的函数是（）

A.y=cos2xB.y=sin2xC.y=sinx+cosxD.y=tan2x

3.（x—2'的展开式中d的系数是（）

A.20B.-20C.160D.-160

4.已知直线x—y+a=0与圆O:f+y2=4相交于A,3两点（0为坐标原点），且4AOB为等边三角形,

则实数。=（）

A.-y6B.±y/6C.y/2D.+-72

5.已知实数a1满足等式2"=3"，下列关系式中不可能成立的是（）

A.0<b<aB.a<b<0C.b<a<0D.a=b

6,某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则四棱锥的侧面积为（）

A.4+472B.40+2百

D.§

3

7.已知"tana=tanQ"是"a=£+E,AeZ”()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知抛物线C产=1级的焦点为尸，A为C上一点且在第一象限，以尸为圆心，M为半径的圆交C的

准线于B,。两点，且4,F,B三点共线，则依加=()

A.16B.10C.12D.8

-Inx,0c%,1

9.已知函数/(x)是定义域为R的奇函数.当x>0时，/U)=J,1,则函数

2/(x-l)+-,x>l

8@)=/。)-$皿不在［-兀,兀］上的零点个数为()

4

A.3B.4C.5D.6

10.已知曲线C：(x2+y2)3=］6x2y2,给出下列四个结论：

①曲线C既轴对称图形又是中心对称图形；

②曲线C与圆V+y2=i有8个交点；

③曲线。所围成区域的面积大于4兀；

④曲线。上任意一点到原点的距离都不超过2.

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.己知复数z满足等式：2z-2=l+6i,贝ijz=_

12.若双曲线的右顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，则双曲线的离心率为.

jr

13.在△A£?C中，Z-ABC=—,BC=4,AB=2,E为AC上一点，且A后=4AC,/lw(O,l),则X瓦月后=_

14.等比数列｛4｝的前〃项和为S“，数列｛%｝为单调递增数列，且数列｛S“｝为单调递减数列，写出满足

上述条件的一个数列｛4｝的通项公式____________.

15.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以

1,渥有理数

概念代替直觉”,以其名命名的函数。(x)=<

0,x是无理数

是有理数

称为狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数〃x）=<为乜函数”,则关于狄

0,尤是无理数

利克雷函数和L函数有以下四个结论:

①。（。（初=0；

②函数O（x）既是偶函数又是周期函数;

③心函数图象上存在四个点4、B、C、。，使得四边形ABCO为矩形；

④L函数图象上存在三个点A、B、C,使得AABC为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

TT

16.如图，在三棱柱ABC-A/C中，底面45C，ZACB=-,44,=AC=C6=2.

（1）证明：BC1AC（；

（2）求二面角C—AB-&的余弦值.

17.在AABC中，SABC=~,若AABC同时满足下列四个条件中的三个：①OoanAtanCvl；②c=l;

@a=V2；®a2+c2>b2■

（1）选出使AABC有唯一解的所有序号组合，并说明理由；

（2）在（1）所有组合中任选一组，求。值.

18.某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1、2、3三道工

序，工序1、2、3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时

按每小时10元进行补贴，记加工原料i时工艺师乙、丙获得的总补贴为q（i=l,2,…,6）（单位：元），例如：

加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则q=80,己知完成

各工序所需时长（小时）如下表：

原料原料1原料2原料3原料4原料5原料6

工序

工序1112324

工序2643141

工序3534632

由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时.，记此时加工原料i时工艺师乙、丙获得的

总补贴为〃(i=l,2,…,6)(单位：元)，例如：4=70.

(1)从6件原料中任选一件，求a,＞&(i=1,2,…,6)的概率；

(2)从6件原料中任选三件，记X为满足“《＞2(，=1，2,....6)”的件数，求X的分布列及数学期望；

(3)记数据q(i=l,2,…,6)的方差为S；,数据〃&=1,2,…,6)的方差为s；,试比较s；,s；的大小.(只需写

出结果)

1

19.已知函数/(x)=万9/-m+Dx+Hnx.

(1)若。=1,求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)当。＜1时，求函数/(X)的零点个数，并说明理由.

20.已知椭圆(7:3+/=1(4＞。〉0)的离心率为券，长轴长为4.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线/不垂直于坐标轴，直线/与椭圆C交于AB两点，直线/与x轴交于点。.点8关于x轴的对

称点为点6',直线A8'与x轴交于P点.

①求证：P,。两点的横坐标之积为定值4；

②若点。坐标为(L0),求"BP面积的取值范围.

21.设人为正整数，如果表达式《々4+生己少+…+%同时满足下列性质，则称之为“交错

和”.①〃ate{-l,l}(z=1,2,•••,/:)；②0W勺＜的＜…＜%；③当左22时，aM

=④规定：当左=1时，q2也是“交错和”.

(1)请将7和10表示为“交错和”；

(2)若正整数〃可以表示为“交错和+生-2%+…+%2",求证：ak=1；

(3)对于任意正整数〃，判断〃一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.

2020-2021学年精华学校三模数学

本试卷共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结

束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={0,1,2,3},B={X|熹4},则4n3=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】先求得集合8,再根据集合的交集运算可得选项.

【详解】因为8={》|/44}=[一2,2],所以AC8={0,1,2}.

故选：D.

2.下列函数中，既是奇函数又以兀为最小正周期的函数是（）

A.y=cos2xB.y=sin2xC.y=sinx+cosxD.y=tan2x

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.

【详解】解：A选项：y=cos2x是周期为7的偶函数，故A不正确；

B选项：y=sin2x是周期为1的奇函数，故B正确；

C选项：y=sin%+cosx=^sin（x+?）,周期为2»且非奇非偶函数，故C不正确；

TT

D选项：y=tan2x是周期为一的奇函数，故D不正确.

2

故选：B.

3.（X—2）6的展开式中/的系数是（）

A.20B.-20C.160D.-160

【答案】D

【解析】

【分析】由题得展开式的通项公式为小=屐（—2）"卢及，故当&=3即可得V的系数.

【详解】根据二项式定理展开式的通项公式得：TM=C*6i（_2?=C：（-2/产左，

故令6-攵=3得％=3,

所以O—2）6的展开式中V的系数是Cl（一2）3=-160.

故选：D

4.已知直线x—y+a=0与圆0：/+,2=4相交于A,B两点（。为坐标原点），且AAQB为等边三角形,

则实数。=（）

A.76B.土娓C.y/2D.+72

【答案】B

【解析】

【分析】直线与圆O相交于AB两点，AAOB为等边三角形，则圆心到直线的距离利用点到直线

2

的距离求出参数即可.

【详解】解：圆O：/+y2=4的圆心。为原点，半径为2,

当AAOB为等边三角形时，圆心到直线的距离为百，

即=~\/2="，故a=土遍■

故选：B.

【点睛】思路点睛：直线与圆的位置关系经常转化为圆心到直线的距离问题.

5.已知实数a4满足等式2“=3"，下列关系式中不可能成立的是（）

A.Q<b<aB.a<b<0C.b<a<QD.a=b

【答案】C

【解析】

【分析】作出函数y=2'与函数y=3'的图像，分2"=3〃〉1，2"=3'=1，2"=3"<1三种情况求解.

【详解】作出函数y=2*与函数y=3'的图像，如图,

当2"=3"〉1时，根据图像得0＜匕＜。，故A选项正确;

当2"=3"=1时，根据图像得。=8=0,故D选项正确;

当2"=3"＜1时，根据图像得a＜匕＜0，故B选项正确;

故不可能成立的是。＜a＜0.

故选：C

【点睛】本题考查指数函数的图像性质，考查数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于做出函数y=2

与函数y=3'的图像，根据图像，数形结合求解.

6.某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则四棱锥的侧面积为（）

正（王）视图例（£）校医

A.4+4近B.472+273

8

C.8+40D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】结合正方体作出四棱锥直观图，可得到四棱锥的结构特征，从而求出其侧面积.

【详解】解：结合正方体，作出三棱锥N-DEHK,（它在正方体中的位置），可知

S^NDK=S&NKH=3乂2~=2，=]X2x2近=2夜，

则侧血积为S&NDK+S^NKH+S^NFH+S^NFD=4+40・

故选：A.

D

【点睛】关键点点睛：解题关键是在正方体中作出几何体的直观图，这样容易得出几何体的结构特征.本题

考查了三维想象能力、棱锥的侧面积的计算，属于中档题.

7,已知。,/?67?,“12!1。=31/7,,是“。=尸+也,&仁％”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合函数丁=tanx的周期分别判断充分性与必要性是否成立.

【详解】当tana=tan/?时，由于函数y=tanx的周期为万，所以可得。=4+也《wz,即充分性满足；

3冗冗

当时，其正切值不存在，所以a=£+推不出tana=tan/?,不满足必要性，所以

“tana=tan〃”是“a=A+E次ez”的充分不必要条件.

故选：A

8.已知抛物线C：V=12x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限，以尸为圆心，阴为半径的圆交C的

准线于B,。两点，且A,F,B三点共线，则忸门=()

A.16B.10C.12D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知AO_L8D,利用抛物线的定义，可得乙48。=30。，所以履用=|8月=2*6=12.

【详解】解：因为A,F,B三点共线，所以AB为圆尸的直径，AD±BD.

由抛物线定义知IAD|=|AF|=-|AB|,所以/48。=30。.

2

因为尸到准线的距离为6,

所以

故选：C

—lnx,0<%,1

9.已知函数,f(x)是定义域为R的奇函数.当x〉0时，f(x)=L,、1，则函数

2/(x-l)+-,x>1

-2

g(x)=/(x)-sinfX在［-兀,无］上的零点个数为()

4

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

7T

【分析】分别作出函数/(幻与丁=5也一工在同一坐标系下的图象，利用交点个数求函数零点的个数.

4

TT

详解】由g(x)=On/(x)=sin—x,

4

而函数/(x)是定义域为R的奇函数，

所以/(0)=0,故g(0)=0,

TT

又丁=5足一X为R上的奇函数，

4

故g(x)在x<0与x〉0时零点个数相同，故只需研究x〉0时的情形，

2乃

a-兀T=—=8

对〉=$1口一X,71,

'44

7T

在同一直角坐标系中作出丁=/(1)与丁=5抽二犬的图象，

由图可知，x>0时，函数图象有2个交点，

所以总共有l+2x2=5个零点，

故选：C

【点睛】关键点点睛：分析函数的奇偶性，利用对称性只需研究x>0时，函数图象的交点个数是解题的关

键，属于中档题.

10.已知曲线。：（f+丁2）'=16//，给出下列四个结论：

①曲线。既是轴对称图形又是中心对称图形；

②曲线C与圆龙2+y2=1有8个交点；

③曲线C所围成区域的面积大于4兀；

④曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】将方程（f+y2『=16x2y2中的8换成T,丁换成一〉，此方程都不变，即可判断①，解出方程

组乂:+：）=16"，可判断②，由卜2+.丫=[6/丁.]6卜一+"]可得/+然后可判断

x2+y2=1V27

③④.

【详解】将方程（炉+产丫=脂/丁中的x换成一x,丁换成一丫，此方程都不变

所以曲线C关于X轴，,轴和原点对称，所以①正确

2-y[32+石

由俨+行=16"

44

可解得■对应的点有8个，故②正确

.尤2+/=122+62-73

y

4

因为(*2+y2)3=]6工2,2《[6"

、2,

所以可得/+尸<4,所以曲线C所围成区域在圆V+y2=4内，其面积小于4兀，故③错误

由V+丁<4可得J/+「2?2,即曲线。上任意一点到原点的距离都不超过2,故④正确

故选：C

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用基本不等式求出f+y244.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知复数z满足等式：2z-z=l+6i,则z=_.

【答案】1+2/

【解析】

【分析】设z的代数形式z=a+万代入已知方程，利用两个复数相等得a力的方程组,

解方程组可得.

【详解】设z=a+初,则2z-乞=a+3初=1+6,，所以a=l,b=2,从而z=l+2i.

故答案为：1+22.

12.若双曲线的右顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，则双曲线的离心率为.

【答案】半

【解析】

【分析】由已知中双曲线的顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，通过渐近线、离心率等几何元素,

沟通a,b,c的关系，即可求出该双曲线的离心率.

【详解】解：设双曲线的右顶点为（。，0），一条渐近线方程为y=2九,

a

|刈|1

则右顶点到其渐近线的距离为之=所以储=3从，

^Ja2+b22

firiq2c2,6,]42G

所以e~=r=l+r=l+—=—，所以e=----•

a2a2333

故答案为：正.

3

【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量4》,c的

方程或不等式，利用。2=。2一/和e=£转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率

a

的值或取值范围.

(2)对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量.

rr

13.在AABC中，ZABC=-,BC=4,AB=2,E为AC上一点,且亚=e(0,1),则通.丽=—.

【答案】-4

【解析】

【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示晶，根据数量积运算即可.

【详解】•.•晶=丽+通=丽+/1/=丽+〃晶一届)，

--I22

:.ABBE=AB-BA+A(BC-BA)=-AB+A(AB-BC+AB)

-4+A(2x4cos—+4)=-4,

故答案为：-4

14.等比数列｛4｝的前〃项和为S“，数列｛4｝为单调递增数列，且数列｛S,,｝为单调递减数列，写出满足

上述条件的一个数列｛4｝的通项公式

【答案】。“=一卷(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据题意可判断出数列的公比0<4<1，4<0,然后举例代入求解即可判断.

【详解】由题意，数列｛4｝为单调递增的等比数列，数列｛"｝为单调递减数列，所以可得公比0<q<l,

且％<0,例如q=—；,<7=1,此时可得为=—£为单调递增的等比数列，

故答案为：4=一木(答案不唯一)

15.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以

l,x是有理数

概念代替直觉”,以其名命名的函数。(幻=<称为狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函

0,x是无理数

是有理数

数类似的函数L(x)=<为“L函数”，则关于狄利克雷函数和L函数有以下四个结论:

0,x是无理数

①£>(D(x))=O;

②函数O(x)既是偶函数又是周期函数;

③L函数图象上存在四个点A、B、C、。，使得四边形ABC。为矩形;

④L函数图象上存在三个点A、B、C,使得ZkABC为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】①②根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性、周期性定义即可判断，对于③④需要找出点验证满

足条件.

L龙是有理数

【详解】xwR时,D(x)=<为有理数，所以"。(》))=1,故①错误;

0,x是无理数

[x是有理数

因为。(—%)=<=O(x),所以。(幻为偶函数，对于任意非零有理数7,都有

0,x是无理数

l,x是有理数

D(x+T)=<=D(x),故②正确;

0,x是无理数

若取L函数图象上四个点y1(1,1),B(V2,0),C(-l,-l),。(—拒,0),因为AC=6。=2后，且

—=—即AC,BD互相平分，所以存在矩形ABC。,故③正确；

2222

若取L函数图象上三个点A(3,£(3)),8(3-57,(3-石)),C(3+瓜L(3+6))，即

4(3,3),8(3—百,0),。(3+6,0),因为A5=AC=3C=28，所以aASC为等边三角形，故④正确.

故选：②③④

【点睛】关键点点睛：验证③④时，关键找到适合的4个点或3个点，思路是在y=x,y=0上找合适的点,

使这些点构成矩形或等边三角形，属于较难题目.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

TT

16.如图，在三棱柱ABC-44G中，底面ABC,NACB=],A4,=AC=C8=2.

（1）证明：BC1AC,；

（2）求二面角C—AB-G的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）且.

3

【解析】

【分析】（1）证明BC_L面ACGA，利用线面垂直性质即可求证;

（2）建立适当空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）因为三棱柱ABC—ABIG中，底面ABC

所以CG，底面ABC,

所以CG

71

因为NACB=一，

2

所以AC_L8C,

因为ACu面ACG4，CQu面ACG4，ACQCC1=C,

所以8C_L面ACC/,

因为AQu面ACC4,

所以BC_LAC-

（2）由（1）可知：C&J•底面ABC，所以CC|d_AC,AC,BC,CC,两两垂直，以C

为坐标原点，分别以C4,CB,CC为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

A(2,0,0),以0,2,0),q(0,0,2),丽=(2,-2,0),西=(0,-2,2)

设面ABC]法向量为〃2=(x,y,z)

m=0[2x-2j=0,

-m=0[-2y+2z=0,

令y=l,贝！]x=l,z=l,则i=(l,l,l).

又因为平面A3c的法向量为〃=(0,。,1),

--m-n1G

=

所r匚以I、Icos<n>=—±r,~r=-有产—3-

由题可知，二面角C—A8-C为锐二面角，

所以二面角C一-G的余弦值为B.

3

【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两

个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

17.在AABC中，S“"c=g，若AABC同时满足下列四个条件中的三个：①OoanAtanCvl；②C=l;

@a=V2；@a2+C1>b2■

（1）选出使AABC有唯一解的所有序号组合，并说明理由;

（2）在（1）所有组合中任选一组，求b的值.

【答案】（D①②③，或②③④.（2）若选①②③，则6=行；若选②③④，则Z?=1

【解析】

【分析】（1）先由条件①可得出4J，先由条件④可得出Be所以①④矛盾不能同时选择,

再根据面积结合条件可得答案.

（2）结合（I）中的结论由面积结合余弦定理可得答案.

【详解】（1）选择①②③或②③④，理由如下：

因为AA,Ce（0,7t）,且A+3+CF,

由①.tanAtanC>0,所以tanA>0且tanC>0,

sine

JIlJA,Ce|0,—|,又tanAtanCvl,则

I2JcosAcosC'

sinA-sinC<cosA-cosC,即cos（A+C）>0,所以cos（万一3）>0,

所以万〕，

即一cos3>0,故cosbvO,由3c（0,兀），

22r2

由④得/+,2—6>0,则cos8=（+U->0,

2ac

8e（0,兀），所以Be］。,］）,

所以①④矛盾.

若选①②③，则由S^ABC=；acsin3=g,则acsin5=l,即J^sin3=l

所以sinB=交，结合由①得出的结论乃］,则可得8=包

由余弦定理可得边。唯一，故此时满足条件的AAZ?。唯一

若选②③④同理可得sinB=^.

2

结合由④得出的结论Be［o,5］,则可得3=?

由余弦定理可得边力唯一，故此时满足条件的△A8C唯一

所以使AA8C有唯一解的所有序号组合为①②③，或②③④.

（2）若选①②③

由%Bc=gacsin8=g即4T.夜小皿8=!，

22

则sinB=也^,由Be［二,乃］,则8=，

2U)4

由余弦定理可得〃=/+/-laccos5=2+1-2x72x1=5,则匕=技

若选②③④

由S&ABC=；acsinB=g,即1」•及-sinBug,

则sinB=,由6e(0,二■］,则8=生，

2I24

由余弦定理可得廿=a2+c2-2accosB=2+l-2x0xlxJ=l，则/?=1

2

18.某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1、2、3三道工

序，工序1、2、3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时

按每小时10元进行补贴，记加工原料i时工艺师乙、丙获得的总补贴为4«=1,2,…,6）（单位：元），例如：

加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则4=80,已知完成

各工序所需时长（小时）如下表：

原料

原料1原料2原料3原料4原料5原料6

工序

工序1112324

工序2643141

工序3534632

由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时，记此时加工原料i时工艺师乙、丙获得的

总补贴为尔，=1,2,…,6）（单位：元），例如:*=70.

（1）从6件原料中任选一件，求4>々g=1,2,…,6）的概率；

（2）从6件原料中任选三件,记X为满足“4>49=12…,6）”的件数,求X的分布列及数学期望;

(3)记数据a,(i=l,2,…,6)的方差为s；,数据=1,2,…,6)的方差为学，试比较S：,肾的大小.

（只需写出结果）

2

【答案】（1）-；（2）分布列见解析，2；（3）s；>s；.

3

【解析】

【分析】（1）由题意求得4,伪《=1,2,…,6）,根据古典概率公式可求得所求的概率；

（2）由题意得随机变量X=1,2,3,分别求得其概率，可得分布列，从而求得数学期望；

则等《管

P"=l）=P（X=2）==|；P（X=3）=g=1；

（3）由（1）求得数据和方差的定义可得结论.

【详解】（1）由题意得4=1。+70=8。，。）=10+50=60,%=20+50=70,a4=30+40=70,

a5=20+60=80,a6=40+50=90,

bx—10+60=70,b2=10+40=50,4=%=70,b4=a4=10,b5=20+50=70,Z?6=30+40=70,

所以从6件原料中任选一件，a—=12…,6）有％,3a2>b2,a5>b5,a6>b6,

42

所以从6件原料中任选一件，《.>瓦（i=1,2,…,6）的概率为-=-；

63

（2）从6件原料中任选三件,记X为满足“4>伪（，=1，2,..・,6）”的件数,则X=l,2,3,

则P（X=1）=等="P（X=2）=管=|；P（X=3）=g=l,

X的分布列为

X123

J31

p

555

131

所以X的数学期望为欧=lx上+2x3+3x上=2；

（3）

【点睛】方法点睛：求随机变量的分布列的步骤：（1）理解X的意义，写出X可能取得全部值；（2）求X取每

个值的概率；（3）写出X的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：

两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.

1,

19.已知函数/（x）=5x2-（a+l）x+alnx.

(1)若a=i,求曲线y=/(无)在点(i,f(D)处的切线方程;

(2)当时，求函数/(x)的零点个数，并说明理由.

3

【答案】(1)y=--；(2)答案见解析.

2

【解析】

【分析】(1)代入a=l,求在x=l处的导数和函数值，点斜式求直线方程；(2)求「(力，分情况讨论。

不同取值时函数/(x)的单调性，研究函数的趋势，从而求出零点个数.

13

【详解】解：(1)当a=l时，/(l)=--2+lnl=--

尸%=/Q)=0,

x

33

切线方程为：y-(-5)=Z(x-l),即y=—1

3

所以曲线y=/(x)在点(b/d))处的切线方程为：>=一］.

(2)/(X)的定义域为(0,+8)

外加―)

X

令/'。)=(*一“)8-1)=0,解得七=4,々=1

X

①当0<a<1时,/(X)与f\x)在区间(0,+8)上的情况如下:

X(0,4)a3,1)1(1收)

/'W+0—0+

“X)/极大值极小值/

/(X)在(0,4)上递增，在3,1)上递减，在(1,+R)上递增.

此时/(X)极大值=/(a)=-ga2-4+“lnav0,

f(2a+T)-aln(2a+2)>aIn2>0,

所以/W在(0,+8)上只有一个零点，

②当。=0时，f(x)=-x2-x,由/(x)=0得％,=2,々=。(舍)，所以/*)在(0,+<功上有一个零点.

2

③当a<0时，/（%）与f\x）在区间（0,+oo）上的情况如下：

X(0,1)1(L+OO)

尸（X）—0+

/（X）极小值/

此时/(x)极小假=/(I)=,

若。:时，/(x)mi„=/(l)=-a-1>0,所以〃幻在(0,+<功上无零点，

若。时，/(x)min==所以/0)在(0,+oo)上有一个零点,

若一耳V。<。时，/(©min=/⑴=一。一耳<。,

1J21j11j

f(ea)=—ea-ea-ae(,+1-~(ea~I)2"ac"+—>0,

/(4)=8-4(<7+l)+6rln4>4-^ln4=4-ln2>0,

所以/(幻有两个零点.

综上所述：

当0Va<l或a=—!时，/（幻在（0,”）上有一个零点，

2

当一,<。<0时，/'（X）在（0,+°。）上有两个零点，

2

当a<—^•时，/（x）在（0,+8）上无零点.

2

【点睛】思路点睛：（1）研究函数的零点问题，可以参变分离，可以求导分类讨论.（2）分类讨论时，需

确定函数的单调区间以及应用零点存在性定理确定是否有无零点.

20.已知椭圆C:「+4=l（a>〃>0）的离心率为巫，长轴长为4.

a-b-2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线/不垂直于坐标轴，直线/与椭圆C交于两点，直线/与x轴交于点。.点3关于x轴的对

称点为点8',直线A8'与x轴交于/>点.

①求证：P,Q两点的横坐标之积为定值4；

②若点。的坐标为(1,0),求"5P面积的取值范围.

【答案】(1):+丁=1；(2)①证明见解析；②(°，亭)

【解析】

【分析】(1)由长轴长与离心率可得。，4c即可求得椭圆的方程；

(2)①根据直线AB,直线AB'求出点。，点尸的横坐标即可证明；

②利用Lw,=f尸。“y-％I再结合韦达定理统一自变量，然后依据对勾函数求范围.

【详解】(I)因为2。=4,

所以a=2,

▽c6

乂e=—=—，

a2

所以c=>/3，

所以=a2—c2=1»

2

椭圆。的方程r二+丁=1.

47

(2)(0由题意可知，直线A3存在斜率，且不为0，

设直线AB方程为：y=Ax+m(kwO),

K

联立<99,消去y得(1+4女-+8切吠+4m2—4=0.

x+4y-4=0、7

△=64女2M-4(1+4/)(4m2-4)>0.

设fi(x2,y2),则8(孙一力)，

Shn4m2—4

%+苍=一由‘玉."77^’

，加的方程为：〜二口，

y+%玉一%

令y=0,则巧,=*(a-&)+占

二必当+x?X

乂+%

_2kx]x2+m(x)+x2)

k(x、+w)+2m

一,4m2-4-8km

2k•——丁+”一一r

1+4/1+4/

一8km

k---------+2tn

1+4公

-4k-m.

因此P,Q两点的横坐标之积为定值4.

方法二：设直线A8的方程为：工=用），+汹加。0）,••・。5,0）

x=my+n°

联立《22消去工得（W+4）V+2〃叼+优一4=0.

x+4y-4=0、）

A=4m2722-4（机2+4）（/?一4）＞0.

设则

A&，x）,y2）,*（%，-%），

2mn〃2-4

乂+必=——

“2—+47，y-1,%人=加—2——+4，

・•力的方程为：—=口，

X+%玉一X2

令y=0,贝也,=里=1+七=以±e

y+为7+%

2mx%+〃(y+)3)

cn2-4

2m—5-

—^-^+n

2mn

m2+4

4

=­

n

:.x-x=--n=4.

PQn

因此P,Q两点的横坐标之积为定值4.

方法三：

设A（X