专题10 等腰三角形中的数学思想方法（解析版）

专题10等腰三角形中蕴含的数学思想方法（解析版）类型一方程思想1．（2022秋•南通期末）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．48°【思路引领】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°．故选：C．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．2．（2022春•景德镇期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝19°，∠EDC＝11°，则∠DAE的度数为（）A．59° B．57° C．61° D．60°【思路引领】设∠ADE＝x°，则∠B+19°＝x°+11°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和求得x，即可得∠DAE的度数．【解答】解：设∠ADE＝x°，且∠BAD＝19°，∠EDC＝11°，∴∠B+19°＝x°+11°，∴∠B＝x°﹣8°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°﹣8°，∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝x°﹣8°+11°＝x°+3°，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE＝x°+3°，在△ADE中，由三角形内角和定理可得x+x+3+x+3＝180，解得x＝58，即∠ADE＝58°，∴∠DAE＝61°故选：C．【总结提升】本题主要考查等腰三角形的性质及外角的性质，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解题的关键．3．（2022秋•富阳区校级月考）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且BD＝BC，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是45°．【思路引领】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD＝x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．【解答】解：∵DE＝EB∴设∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝3x，在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°．∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．故答案为：45°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，注意掌握，①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．4．（2022秋•靖江市校级月考）已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，则∠DAE的度数为45°（直接写出结果）；（2）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？【思路引领】根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠E，根据三角形的外角的性质得到∠E，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ADB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠ACB＝45°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，∴∠E＝22.5°，∵AB＝DB，∴∠ADB=12（180°﹣45°）＝∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；故答案为：45°；（2）设∠BAC＝α，∠B＝β°，∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝180°﹣α﹣β，∴∠E＝90°-12α-∵AB＝DB，∴∠ADB=12（180°﹣β）＝90°-∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝90°-12β﹣（90°-12α-1∴∠BAC＝2∠DAE．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．类型二分类讨论思想5．（2022春•平顶山期末）在等腰三角形中，已知一个角是另一个角的2倍，则这个等腰三角形的顶角为（）A．36° B．30°或100° C．90° D．36°或90°【思路引领】根据三角形的内角和等于180°和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可．【解答】解：当底角的度数是顶角度数的2倍时，顶角是180÷（2+2+1）＝36°，当顶角的度数是底角度数的2倍时，底角是180÷（2+1+1）＝45°，顶角是45°×2＝90°．答：这个三角形的顶角是36°或90°，故选：D．【总结提升】本题考查了三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质．分类思想的应用是解题的关键．6．（2020秋•川汇区校级月考）已知等腰三角形的一边长为4，一边长等于9，则它的周长为（）A．22 B．17 C．17或22 D．26【思路引领】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：分两种情况：当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．故选：A．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．（2012秋•拱墅区期末）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若AB的垂直平分线与边AC所在直线相交所得锐角为40°，则等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°．【思路引领】作出图形，分①DE与线段AC相交时，根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②DE与CA的延长线相交时，根据直角三角形两锐角互余求出∠EAD，再求出∠BAC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：①DE与线段AC相交时，如图1，∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣②DE与CA的延长线相交时，如图2，∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，∴∠EAD＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝180°﹣50°＝130°，∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣综上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°．故答案为：65°或25°．【总结提升】本题考查了线段垂直平分线上的性质，等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．8．（2021•郧阳区模拟）△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝105°．【思路引领】根据三角形内角和定理可求∠AED+∠ADE，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE+∠CAD，再根据角的和差关系即可求解．【解答】解：∵∠EAD＝30°，∴∠AED+∠ADE＝150°，∵EA＝EB，DA＝DC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAD，∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝75°，∴∠BAC＝105°．故答案为：105°．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和和三角形外角的性质的相关知识，其中还有如何根据图形，确定各角之间的关系．9．（2022•平乐县模拟）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路引领】由点A、B的坐标可得到AB＝22，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB＝22，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0），∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选：A．【总结提升】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考常考题型．10．（2020秋•邹城市期中）如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为108°．【思路引领】由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．【解答】解：①如图，∠ACB是钝角，直线CD将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，AC＝BC＝BD，AD＝CD，设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝x°，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，∴∠ACB＝3x°，∴x+x+3x＝180，解得x＝36°，∴顶角是108°．②若过A或B作直线，则不能将这个等腰三角形分成两个等腰三角形．综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为108°．故答案为：108°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．11．已知等腰三角形的周长是40cm（1）若腰长是底长的2倍，求这个等腰三角形各边的长；（2）若底长是腰长的23【思路引领】（1）等腰三角形腰长相等，根据腰长是底长的2倍，设底边长为x，则腰长为2x，2x+2x+x＝40，解答就可．（2）等腰三角形腰长相等，根据底长是腰长的23，设腰长为x，则底边长为23x，x+x+23【解答】解：（1）设底边长为x，则腰长为2x，2x+2x+x＝40，5x＝40，x＝8，2x＝16，所以等腰三角形三边为16厘米、16厘米、8厘米．（2）设腰长为x，则底边长为23xx+x+23x＝83x＝40x＝15，23x＝10所以等腰三角形三边为15厘米、15厘米、10厘米．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，关键是根据等量关系列出方程解答．12．（2022秋•乐亭县期末）如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝103或10s时，△POQ【思路引领】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上．【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：∵PO＝AO﹣AP＝10﹣2t，OQ＝1t∴当PO＝QO时，10﹣2t＝t解得t=10当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图2所示：∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣10，OQ＝1t；∴当PO＝QO时，2t﹣10＝t；解得t＝10；故答案为：103或10【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．类型三化归思想13．（2022•大英县校级自主招生）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距200m．【思路引领】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，从而得到∠BAC＝∠C，然后根据等角对等边可得BC＝AB．【解答】解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东60°方向，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝200m．故答案为：200．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角的定义，根据角的度数求出∠BAC＝∠C是解题的关键，也是本题的难点．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC．试说明∠A＝90°的理由．【思路引领】作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，则易得△DBC是等腰三角形，进一步可证AC＝EC，△ACD和△ECD关于角平分线CD对称，所以∠A＝∠DEC＝90度．【解答】解：作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，∵∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，∴BC＝2CE，又BC＝2AC，∴AC＝EC，∴△ACD≌△ECD∴∠A＝∠DEC＝90°．【总结提升】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质；作辅助线是正确解答本题的关键．15．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题如图，在△ABC中，D为△ABC外一点．（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线．求证：2AD＝BF【思路引领】（1）在AB上取点G，使AG＝AD．证明△ADC≌△AGC（SAS），再利用等腰三角形的性质即可解决问题．（2）分别延长AD、BC交于点H．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】（1）证明：在AB上取点G，使AG＝AD．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠GAC，∵AD＝AG，∠DAC＝∠GAC，AC＝AC（公共边）∴△ADC≌△AGC（SAS），∴DC＝GC，∠CDA＝∠CGA，又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CGE+∠AGC＝180°，∴∠B＝∠CGE，∴CB＝CG，又∵DC＝GC，∴CB＝DC．解法二：如图，过点CR⊥AD交AD的延长线于R．∵AC平分∠DAB，CR⊥AR，CE⊥AB，∴CR＝CE，∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDR+∠ADC＝180°，∴∠CDR＝∠B，∵∠R＝∠CEB＝90°，∴△CRD≌△CEB（AAS），∴CB＝CD．（2）证明：分别延长AD、BC交于点H．∵BD平分∠CBA，∴∠DBC＝∠ABD，∵AD⊥BF交BF延长线于点D，∴∠ADB＝∠HDB＝90°，∵∠ADB＝∠HDB，BD＝BD，∠DBC＝∠ABD，∴△ADB≌△BDH（ASA）∠DAB＝∠DHB，AB＝BH，∴△ABH为等腰三角形，又∵BD平分∠CBA，AD＝DH，即2AD＝AH，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠DAB＝0.5（180°﹣∠B）＝90°﹣22.5°＝67.5，∴∠HAC＝22.5°＝∠CBD，∵∠HAC＝∠DBC，AC＝CB，∠ACH＝∠BDA∴△ACH≌△BCF（ASA）∴BF＝AH，又∵2AD＝AH，∴2AD＝BF．【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2020秋•北京期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠ABD和∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．【思路引