第1章 数的整除全章复习与测试（解析版）

第1章数的整除全章复习与测试【知识梳理】1.；2.整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件：整除与除尽的关系3.因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.因数与倍数的特征：4.能被2整除的数，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除5.6.7.8.9.10.重要结论：【考点剖析】一．数的整除（共7小题）1．（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A．25和50 B．42和3 C．10和4 D．9和1.5【分析】根据整除的定义计算即可．【解答】解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查整除的计算，理解整除的定义是解题关键．2．（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据整除的定义逐一分析判断即可．【解答】解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．【点评】本题考查了数的整除，若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除整除a）整除，a为被除数，b为除数．3．（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是10．【分析】根据能被2，5整除的数的特征，可以得到：最小正整数的个位不能是5，只能是0，因为是最小的正整数，所以十位上的数字是1，则可解答．【解答】解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．【点评】本题主要考查整除的性质及应用，解答的关键是明确能被2、5整除的数的特征．4．（2022秋•宝山区期中）在能够同时被2和5整除的所有两位数中，最大的是90．【分析】先确定能够同时被2和5整除的所有两位数，然后作出判断即可．【解答】解：能够同时被2和5整除的所有两位数是10，20，30，40，50，60，70，80，90．故最大的是90．故答案为：90．【点评】本题考查了数的整除，若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除整除（或说b能整除整除a），a为被除数，b为除数．5．（2022秋•奉贤区校级期中）能同时被2、5整除的最大两位数是90．【分析】根据整除的含义，可得：能同时被2和5整除的数的个位上是0，所以正整数中，能同时被2和5整除的最大的两位数是90．【解答】解：因为能同时被2和5整除的数的个位上是0，所以正整数中，能同时被2和5整除的最大的两位数是90．故答案为：90．【点评】此题主要考查了整除的性质及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能同时被2和5整除的数的个位上是0．6．（2022秋•宝山区校级月考）能整除16的数有1，2，4，8，16．【分析】根据有理数除法的计算法则得出16能被哪些数整除即可．【解答】解：∵16＝1×16＝2×8＝4×4，∴能整除16的数有1，2，4，8，16，故答案为：1，2，4，8，16．【点评】本题考查整除的性质及应用，理解整除的意义是正确解答的关键．7．（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．【分析】先分别求出能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），然后用被5、6、7除所得的余数（即3、4、1）分别去乘这三个数，再相加，也就是126×3+175×4+120×1＝1198．最后从1198中减去5、6、7的最小公倍数210，如果得出的差还是比210大，就再减去210，一直到得数比210小为止．1198﹣210×5＝148．这就是适合条件的最小的数．【解答】解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148．【点评】本题考查了数的整除，最小公倍数，关键是熟练掌握“中国剩余定理”．二．因数（共7小题）8．（2022秋•闵行区校级期中）16的所有因数的和是31．【分析】先写出16的所有因数，再求和．【解答】解：16的因数有：1，2，4，8，16．所以1+2+4+8+16＝31，故答案为：31．【点评】本题考查求一个数的因数，解题的关键是掌握因数的求法，如相乘法、短除法、配对法等．9．（2022秋•青浦区期中）24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24．【分析】两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数因数，根据定义直接写出即可．【解答】解：24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24．故答案为：1，2，3，4，6，8，12，24．【点评】本题考查了因数，解题的关键是掌握因数的定义．10．（2022秋•徐汇区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数n，（n）表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）＝3等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）+（12）＝7．【分析】直接利用新定义得出（9）＝2，（12）＝5，进而得出答案．【解答】解：对于不小于3的正整数n，（n）表示不是n的因数的最小正整数，∵9的因数有：1，3，9，∴（9）＝2，∵12的因数有：1，2，3，4，6，12，∴（12）＝5，∴（9）+（12）＝2+5＝7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了一个数的因数的个数，正确理解题意是解题关键．11．（2022秋•嘉定区期中）18的因数有1、2、3、6、9、18．【分析】先写出18的因数：18＝1×18，2×9，3×6因此18的因数有1，2，3，6，9，18解答即可．【解答】解：根据因数的定义，可得18的因数有：1、2、3、6、9、18．故答案为：1、2、3、6、9、18．【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键．12．（2022秋•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．所以，16的“完美指标”是．【分析】先确定16的真因数，然后根据新定义求解即可．【解答】解：∵16的因数为1，2，4，8，16，∴16的真因数为1，2，4，8，∴16的“完美指标”是（1+2+4+8）÷16＝．故答案为：．【点评】本题考查了因数，解题的关键掌握因数的定义确定a的因数．13．（2022秋•杨浦区期中）8的因数有1、2、4、8．【分析】先写出8的因数：8＝1×8，2×4因此8的因数有1，2，4，8解答即可．【解答】解：8的因数有：1、2、4、8．故答案为：1、2、4、8．【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键．14．（2021秋•长宁区校级期中）规定用[A]表示数A的因数的个数，例如[4]＝3，计算（[84]﹣[51]）÷[91]＝2．【分析】先求出84，51，91的因数，分别确定[84]、[51]、[91]的值，再计算即可．【解答】解：84＝1×84＝2×42＝3×28＝4×21＝6×14＝7×12，84的因数的个数为12，∴[84]＝12；51＝1×51＝3×17，51的因数的个数为4，∴[51]＝4；91＝1×91＝13×7，91的因数的个数为4，∴[91]＝4；∴（[84]﹣[51]）÷[91]＝（12﹣4）÷4＝8÷4＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了有理数的混合运算、新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．三．最大公因数（共4小题）15．（2022秋•徐汇区期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，则A和B的最大公因数是6．【分析】根据最大公约数的意义可知：最大公约数是两个数的公有质因数的乘积，据此解答．【解答】解：A＝2×3×5，B＝2×2×3，A和B公有的质因数是：2和3，所以A和B两个数的最大公因数是：2×3＝6；故答案为：6．【点评】此题考查了求两个数的最大公因数的方法：两个数公有质因数的乘积是它们的最大公约数，所以找准公有的质因数是关键．16．（2022秋•松江区期末）18和42的最大公因数是6．【分析】18和42的最大公因数是公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数．【解答】解：18的因数有1、2、3、6、18；42的因数有1、2、3、6、7、21、42，根据最大公因数的定义，可得18和42的最大公因数是6．故答案为：6．【点评】此题考查最大公因数，关键是根据最大公因数是公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数解答．17．（2022秋•杨浦区期末）求18与30的最大公因数为：6．【分析】找两个数的最大公因数可用短除法或者分解质因数的办法．【解答】解：18＝3×6，30＝5×6，根据最大公因数的定义，可得18与30的最大公因数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了公因数和最大公因数，掌握最大公因数的定义是解答本题的关键．18．（2022秋•浦东新区校级期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是6．【分析】两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，依此即可求解．【解答】解：已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了求两个数的最大公因数的方法的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答．四．最大公因数的应用（共3小题）19．（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？【分析】先求出36，54，63的最大公因数，再求可以分成多少段．【解答】解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．【点评】本题考查的是最大公因数的应用，理解题意是解题的关键．20．（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求36和20的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．【解答】解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题是解题的关键．21．（2022秋•松江区校级月考）小明把一张长为72厘米，宽为42厘米的长方形纸片裁成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，请你帮助小明算一下，裁出的正方形纸片最少有多少张？【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求72和42的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．【解答】解：∵72＝2×2×2×3×3，42＝2×3×7，∴72、42的最大公因数为：2×3＝6，72×42÷（6×6）＝3024÷36＝84（张），答：裁出的正方形纸片最少有84张．【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题是解题的关键．五．倍数（共2小题）22．（2022秋•青浦区期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（）A．9 B．15 C．20 D．45【分析】根据倍数和因数的定义解答即可．【解答】解：A、9是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意；B、15是3的倍数，也是60的因数，故本选项符合题意；C、20不是3的倍数，是60的因数，故本选项不符合题意；D、45是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了因数和倍数，解题的关键是掌握因数和倍数的定义．一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数倍数．23．（2022秋•宝山区期中）在正整数18、4、3中，18是3的倍数．【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数倍数，根据倍数的概念判断即可．【解答】解：在正整数18、4、3中，18是3的6倍，所以18是3的倍数．故答案为：18，3．【点评】本题考查了倍数，解题的关键是掌握倍数的定义并灵活运用．六．最小公倍数（共3小题）24．（2022秋•徐汇区校级期中）若A＝2×3×5，B＝2×3×7，则A与B的最大公因数是6，最小公倍数是210．【分析】把两个数的公因数相乘即可得到最大公因数；把两个数的所有质因数相乘即可得到最小公倍数．【解答】解：∵A＝2×3×5，B＝2×3×7，则A与B的最大公因数是2×3＝6；最小公倍数是2×3×5×7＝210．故答案为：6，210．【点评】本题考查的是最小公倍数，熟知最小公倍数是共有质因数和独有质因数的积是解题的关键．25．（2022秋•青浦区期中）A＝2×3×3，B＝2×3×5，则A和B的最小公倍数是90．【分析】根据最小公倍数是共有质因数和独有质因数的积解答即可．【解答】解：∵A＝2×3×3，B＝2×3×5，∴A和B的最小公倍数＝2×3×3×5＝90．故答案为：90．【点评】本题考查的是最小公倍数，熟知最小公倍数是共有质因数和独有质因数的积是解题的关键．26．（2022秋•闵行区校级期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍数是630，那么a＝3．【分析】根据最小公倍数的计算方法，结合题意，列方程并求解，即可得到答案．【解答】解：∵A，B的最小公倍数是630，∴2×3×5×a×7＝630，∴m＝3，∴故答案为：3．【点评】本题考查了一元一次方程和最小公倍数的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程和最小公倍数的性质，从而完成求解．七．最小公倍数的应用（共4小题）27．（2022秋•松江区期中）一包糖果，不论平均分给6个人还是8个人，都能正好分完，这包糖果至少24块．【分析】求6和8的最小公倍数即可．【解答】解：由题意，这包糖果的个数为6和8的公倍数．∴这包糖果的个数的最小值为6和8的最小公倍数．∵6＝2×3，8＝2×2×2，∴2×2×2×3＝44，∴这包糖果至少24块．故答案为：24．【点评】本题主要考查了最小公倍数的应用，确定两个数的最小公倍数是解题的关键．28．（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？【分析】分析题意可得，不动的小旗地点应该是4和5的公倍数所在的位置，找出100以内有几个4和5的公倍数，然后加上1即可．【解答】解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．【点评】本题考查最小公倍数的应用，明确不动的小旗即4和5的公倍数所在的位置，是解答此题的关键；应注意，最后要加上第一面旗子．29．（2022秋•青浦区校级期中）一块草坪长50cm，宽40cm，要用这样相同大小的草坪铺成一个正方形花园，铺成的正方形花园的边长至少为多少厘米？至少要多少块这样的草坪？【分析】把50和40分别分解质因数，找到它们的最小公倍数，即为这个正方形地面的边长；求需要多少块这样的方砖，先根据正方形的面积公式求出正方形教室的面积，根据长方形的面积计算公式求出长方形瓷砖的面积，然后用教室面积除以长方形砖的面积即可【解答】解：50＝5×2×5，40＝2×2×5×2，50、40的最小公倍数2×2×2×5×5＝200，即边长是200厘米，需要：（200×200）÷（50×40）＝20（块）；答：铺成的正方形花园的边长至少为200厘米，至少要20块这样的草坪．【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法，掌握求两个数的最小公倍数的方法是解题的关键．30．（2022秋•徐汇区校级月考）有一种长6厘米，宽4厘米的长方形塑料片，如果将这种塑料片拼成一个正方形，最少需要多少块？这个正方形的面积是多少？【分析】由题意知：拼成的正方形的边长是6和4的最小公倍数，先把4和6进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积是其最小公倍数；然后根据题意，分别求出长需要几个，宽需要几个，然后相乘即可．【解答】解：∵4＝2×2，6＝2×3，∴6和4的最小公倍数为：2×2×3＝12，即正方形的边长是12厘米，（12÷6）×（12÷4），＝2×3，＝6（个），则12×12＝144（平方厘米），答：至少需要6块这样的硬纸板，这个正方形的面积是144平方厘米．【点评】此题考查了最小公倍数的应用，求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．八．质数（素数）（共6小题）31．（2022秋•宝山区期中）由式子6＝2×3，我们说2和3都是6的（）A．素数 B．素因数 C．互素 D．公因数【分析】由6＝2×3，可得出2和3都是6的因数，结合2，3均为素数，即可得出2和3都是6的素因数．【解答】解：∵6＝2×3，∴2和3都是6的因数；又∵2，3均为素数，∴我们说2和3都是6的素因数．故选：B．【点评】本题考查了质数（素数）以及因数，牢记质因数（素因数）的定义是解题的关键．32．（2022秋•普陀区期中）在等式15＝3×5中，3和5都是15（）A．素数 B．互素数 C．素因数 D．公因数【分析】分别根据素数，因数以及公因数的概念判断即可．【解答】解：在等式15＝3×5中，3和5都是15素因数．故选：C．【点评】本题考查了公因数和最大公因数，掌握相关概念是求解本题的关键．33．（2022秋•宝山区期中）如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数是2．【分析】素数又叫质数，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数．最小的质数是2，它也是唯一的偶数质数，如果两个素数的和是奇数，而奇数+偶数＝奇数，故其中较小的素数是2．【解答】解：如果两个素数的和是奇数，∴那么其中较小的素数是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查素数的概念，解题的关键是掌握奇数+偶数＝奇数．34．（2022秋•浦东新区校级期中）两个素数的差是15，则这两个素数的积是34．【分析】根据素数的定义及两个素数的差是15，可找出两个素数分别为2和17，二者相乘即可得出结论．【解答】解：∵17﹣2＝15，∴两个素数分别为2，17，∴这两个素数的积是2×17＝34．故答案为：34．【点评】本题考查了质数（素数），熟练掌握质数（素数）的定义是解题的关键．35．（2022秋•徐汇区校级期中）21的所有因数中，互素的有3对．【分析】先根据因数的概念确定21的因数有1，3，7，然后再根据互质（素）数的概念确定互为素数的是1，3；1，7；3，7．【解答】解：21的因数有1，3，7，互为素数的是1，3；1，7；3，7，共有3对，故答案为：3．【点评】本题考查了质数（素数）以及因数，理解掌握互素数的定义，能够准确找到21的因数是解题的关键．36．（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）【分析】（1）根据孪生素数的定义直接写出两组符合条件的素数即可；（2）根据“三胞胎素数”的定义，直接写出即可．【解答】解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．【点评】本题考查素数的概念，熟练掌握素数和奇数的概念是解题的关键．九．合数（共5小题）37．（2022秋•宝山区期中）最小的合数是（）A．2 B．4 C．6 D．15【分析】由合数的定义，即可判断．【解答】解：最小的合数是4．故选：B．【点评】本题考查合数的概念，关键是掌握合数的定义．38．（2022秋•奉贤区校级期中）一个正方形的边长是素数，则它的面积一定是（）A．素数 B．合数 C．奇数 D．偶数【分析】由合数的定义，即可判断．【解答】解：∵正方形的面积＝边长×边长，∴正方形的面积等于两个质数的积，∴正方形的面积除1和它本身外，还有别的因数，∴这个正方形的面积是合数，故选：B．【点评】本题考查合数的概念，关键是掌握合数的定义．39．（2022秋•浦东新区校级期中）在下列说法中，正确的是（）A．l是素数 B．1是合数 C．1既是素数又是合数 D．1既不是素数也不是合数【分析】由素数，合数的定义，即可判断．【解答】解：1即不是素数也不是合数，故选：D．【点评】本题考查素数，合数，关键是掌握素数，合数的定义．40．（2022秋•奉贤区校级期中）4和7是28的（）A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数【分析】由因数，素数，合数的定义，即可判断．【解答】解：4和7是28的因数，故选：A．【点评】本题考查因数，素数，合数，关键是掌握因数，素数，合数的定义．41．（2022秋•青浦区期中）下列说法正确的是（）A．两个素数没有公因数 B．两个合数一定不互素 C．一个素数和一个合数一定互素 D．两个不相等的素数一定互素【分析】由素数，合数，互素的定义，即可判断．【解答】解：A、两个素数有公因数1，故A不符合题意；B、两个合数有可能互素，故B不符合题意；C、一个素数和一个合数不一定互素，故C不符合题意；D、两个不相等的素数一定互素，正确，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查素数，合数，互素的概念，关键是掌握：素数，合数，互素的定义．一十．分解质因数（分解素因数）（共4小题）42．（2022秋•杨浦区期末）分解素因数：24＝2×2×2×3．【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解．【解答】解：24＝2×2×2×3故答案为：2×2×2×3．【点评】本题考查了分解质因数，熟练掌握分解素因数的方法是解题的关键．43．（2022秋•徐汇区期末）分解素因数：18＝2×3×3．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．【解答】解：18＝2×3×3；故答案为：2×3×3．【点评】此题主要考查分解质因数的方法，要注意每个因数必须是质数，不能含有因数1．44．（2022秋•松江区期末）分解素因数：21＝3×7．【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个素因数连乘积的形式，一般先从较小的素因数开始分解．【解答】解：21＝3×7，故答案为：3×7．【点评】此题考查有分解质因数，关键是根据分解素因数法则解答．45．（2022秋•徐汇区校级期中）把120分解成因数：120＝2×2×2×3×5．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解．【解答】解：120＝2×2×2×3×5．故答案为：2×2×2×3×5．【点评】本题考查了分解质因数，熟练掌握分解素因数的方法是解题的关键．【过关检测】一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．48全部因数共有（

）A．9个 B．8个 C．10个 D．12个【答案】C【分析】根据找一个数的因数的方法，进行列举即可．【详解】解：48的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个；故选C．【点睛】本题主要考查找一个数的因数的方法，解决本题的关键是要熟练掌握因数的概念，注意写因数时要两个两个的写防止遗漏．2．在14=2×7中，2和7都是14的（

）A．素数 B．互素数 C．素因数 D．公因数【答案】C【分析】根据因数，素数和合数的概念即可得出答案．【详解】，14的因数有1，2，7，14，其中1既不是素数也不是合数，14是合数，∴2和7都是14的素因数．【点睛】本题主要考查素因数，掌握因数，素数的概念是解题的关键．3．对18、4和6这三个数，下列说法中正确的是（

）A．18能被4整除 B．6能整除18 C．4是18的因数 D．6是4的倍数【答案】B【分析】若a÷b=c，a、b、c均是整数，且b≠0，则a能被b、c整除，或者说b、c能整除a；根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断即可．【详解】解：A、18不能被4整除，故A说法错误；B、6能整除18，故B说法正确；C、4不是18的因数，故C说法错误；D、6不是4的倍数，故D说法错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了整除的性质的应用、因数与倍数的意义及其运用．4．在下列数中，表示数7和8的最大公约数和最小公倍数的积是（

）A．7 B．8 C．1 D．56【答案】D【分析】如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积．【详解】解：7和8是互质数，最大公约数是1，最小公倍数是7×8=56，7和8的最大公约数和最小公倍数的积是：1×56=56．故选：D．【点睛】此题主要考查求两个数的最大公约数和最小公倍数：如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积．5．在下列说法中，正确的是（

）A．1是素数 B．1是合数C．1既是素数又是合数 D．1既不是素数也不是合数【答案】D【分析】1只有它本身一个因数，即不是素数，也不是合数．据此解答即可．【详解】解：1只有它本身一个因数，即不是素数也不是合数，属于说法正确的是D．故选：D．【点睛】此题主要考查1既不是素数也不是合数．6．，A的因数有（

）A．2、3、5 B．2、3、5、6、10C．1、2、3、5、6、10、15 D．1、2、3、5、6、10、15、30【答案】D【分析】根据因数的定义进行判断即可．【详解】因为A=2×3×5，所以A=1×30=2×15=3×10=5×6，所以A的全部因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．故选：D．【点睛】本题考查了因数，掌握因数的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．在能够被5整除的两位数中，最小的是________．【答案】10【分析】根据数的整除的性质分析，即可得到答案．【详解】能够被5整除的数从小到大排列为：0，5，10，15，20，...∴在能够被5整除的两位数中，最小的是10故答案为：10．【点睛】本题考查了整除的知识；解题的关键是熟练掌握整除的性质，从而完成求解．8．分解素因数：________【答案】【分析】利用树枝分解法分解素因数即可．【详解】由树枝分解法可得：15=3×5．故答案为：3×5．【点睛】本题主要考查分解素因数的方法，对于能直接看出哪两个数相乘的数，一般采用树枝分解法．9．已知，，则A、B的最小公倍数是________，最大公因数是________．【答案】

210

6【分析】两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．【详解】解：已知A=2×3×5，B=2×3×7，那么A和B的最小公倍数是2×3×5×7=210，最大公因数是2×3=6．故答案为：210、6．【点睛】考查了求两个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法，两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．10．一堆苹果，2个2个数3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有________个．【答案】31【分析】余数相同，所以如果总个数减少1个，那么总个数就是2、3、5的公倍数，只要求出2、3、5的最小公倍数，然后再加上1，即可得解．【详解】解：2、3、5互为素数，2、3和5的最小公倍数是：，（个），所以这堆苹果最少有31个．故答案为：31．【点睛】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．11．，___________（填“能”或“不能”）说2整除2.8．【答案】不能【分析】整除只有当被除数、除数以及商都是整数，没有余数时才是整除．【详解】，2.8和1.4都是小数，不符合整除的意义；故答案为：不能．【点睛】本题考查了整除的意义：整除就是若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除(或说b能整除a)．12．写出20以内的所有素数____________，写出20以内的所有合数_______．【答案】2，3，5，7，11，13，17，19，

4，6，8，9，10，12，14，15，16，18【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数；一个自然数，除1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数.根据素数（质数）和合数的意义进行求解.【详解】解：20以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19；20以内的合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18；故答案为：2，3，5，7，11，13，17，19；4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.【点睛】本题主要考查的目的是理解素数（质数）和合数的意义，解决本题的关键是要熟练掌握素数和合数的意义．13．两个数的最小公倍数是72，最大公因数是12，则这两个数分别是_______．【答案】12和72或24和36【分析】首先要知道最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数和独有质因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数得到两个数的独有质因数的乘积，从而求出结论．【详解】解：72÷12=6而6=1×6=2×3则这两个数为1×12=12和6×12=72或2×12=24和3×12=36故答案为：12和72或24和36．【点睛】此题考查的是最大公因数和最小公倍数，解题关键是最小公倍数除以最大公因数得到两个数的独有质因数的乘积．14．54的素因数有_____________．【答案】2，3，3，3【分析】对54进行分解素因数，常见的素数：2，3，5，7，11，13等．【详解】，故填：2，3，3，3．【点睛】本题考查素因数，熟记常见的素数是关键．15．是一个正整数，它的最小的因数是______，最大的因数是______，最小的倍数是______．【答案】

1

【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是1；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身”进行依次列举即可．【详解】解：由分析知：一个数a的最小因数是1，最大因数是a，最小倍数是a；故答案为：1，a，a．【点睛】解答此题的应根据因数和倍数的意义及特征进行解答．16．两个连续偶数的和是38，那么这两个数的最小公倍数是______．【答案】180【分析】先求出这两个偶数，然后再求最小公倍数即可．【详解】解：∵两个连续偶数的和是38，∴38÷2=19，所以这两个连续的偶数为18，20．18=2×3×3，20=2×2×5，∴这两个数的最小公倍数是：2×3×3×2×5=180．故答案为：180．【点睛】本题考查了学生求两个数的最小公倍数的方法．解题的关键是正确求出这两个连续偶数．17．在两个数12和3中，________是________的因数，是________的倍数．【答案】

3

12

3【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数即可得出结果．【详解】解：因为12÷3=4，所以3是12的因数，12是3的倍数，故答案为：3，12；12，3【点睛】本题主要考查的是因数和倍数的意义，应该明确因数和倍数的意义是解题的关键．18．a是一个大于2的偶数，那么与a相邻的两个奇数分别是________和________．【答案】

【分析】根据偶数与相邻奇数之间的关系即可得到结果．【详解】因为偶数与相邻的奇数之间相差1，所以与a相邻的两个奇数分别是a－1和a+1．故答案为：a－1；a+1．【点睛】本题考查了奇偶数，掌握相邻奇偶数之间的关系是解题的关键．三、解答题（满分58分）19．写出下列各数所有的因数．（1）11

（2）102【答案】（1）11的因数有1和11；（2）102的因数有1、2、3、6、17、34、51和102【分析】（1）根据求一个数的因数的方法，进行列举即可；（2）由题意根据求一个数的因数的方法，进行列举即可．【详解】解：（1）11的因数有1和11；（2）102的因数有1、2、3、6、17、34、51和102．【点睛】本题考查的是求一个数因数的方法，注意掌握有顺序的写，做到不重复，不遗漏．20．用短除法分解素因数．（1）12

（2）105【答案】（1），短除法格式见解析；（2），短除法格式见解析.【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解．【详解】解：（1）；短除法格式如下：（2）．短除法格式如下：【点睛】此题主要考查利用短除法进行分解素因数的方法．21．已知甲数，乙数，甲、乙两数的最大公因数是6．（1）求甲、乙两数和A；（2）求甲、乙两数的最小公倍数．【答案】（1）甲数为，乙数为，；（2）最小公倍数为1260．【分析】(1)两个数的最大公因数等于两个数公有的质因数的乘积，据此解答即可；(2)根据两个数的最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积，结合(1)中求出的甲乙两数计算即可得解．【详解】解：（1）因为甲、乙两数的最大公因数为2A，所以，所以，所以甲数为，乙数为；（2），所以最小公倍数为1260．【点睛】本题考查最大公因数与最小公倍数，解决此