拓展13 因式分解分类训练（7种类型85道）（原卷版）

拓展13因式分解分类训练（7种类型85道）【类型1提取公因式法】1．分解因式：22．分解因式：-9a3．分解因式：-94．因式分解：135．分解因式：(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a)．6．因式分解：1+x+x1+x7．因式分解：2x8．分解因式：9169．分解因式：a210．分解因式：-9x【类型2提取公因式和公式混合】11．分解因式：(1)7m(2)-3212．分解因式(1)3(2)913．分解因式：(1)a3(2)3x14．因式分解：(1)ax(2)6xy15．因式分解(1)3x-12(2)a16．分解因式：(1)3a(2)a317．分解因式：(1)81m(2)4ab18．因式分解：(1)x3(2)2x+y219．因式分解：(1)18(2)(20．分解因式：(1)mx(2)2x【类型3十字相乘法】21．分解因式：(1)x(2)x(3)2(4)3(5)8(6)1022．分解因式：(1)x(2)x(3)2(4)3(5)-8(6)-1023．分解因式：(1)x(2)x(3)2(4)3(5)3(6)-524．用十字相乘法分解下列因式．(1)x(2)y(3)3(4)a(5)12(6)x+y25．分解因式：（1）x（2）x（3）2（4）3（5）8（6）10【类型4分组分解法】26．因式分解：7x27．因式分解：2ac-6ad+bc-3bd．28．分解因式：ac29．分解因式：32ac30．分解因式：x231．分解因式：ab+b32．因式分解：m233．因式分解：x234．因式分解：2b35．因式分解：x2【类型5配方法】36．阅读材料：分解因式：x解：原式==(=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)，此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”.此题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点，然后用“配方法”分解因式437．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-8a2x2像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．阅读以上材料，解决下列问题．(1)分解因式：a2(2)当a为何值时，二次三项式a238．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x====x+5(1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：x2(2)【深入研究】试说明多项式x2(3)【拓展运用】已知a，b，c分别是△ABC的三边，且a2-2ab+2b39．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及例如：分解因式x2原式=x根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．(1)利用配方法分解因式：x2(2)当x为何值时，多项式x2(3)已知正数a，b，c满足a2+b40．观察下列分解因式的过程：x2解：原式=====像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．(1)请你运用上述配方法分解因式：x2(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a【类型6拆项补项法】41．我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式x3解：添加两项-x原式====请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：x2(2)分解因式x3(3)分解因式：x442．对于二次三项式x2x2+2ax-3a2=x+a+2ax+a-2a像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式：(1)x(2)x(3)能否根据以上方法确定式子y2+2y+343．阅读材料，解答问题：我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．例题：x3+8=x3=x=x＝________（两组有公因式，再提公因式）(1)请将上面的例题补充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x(3)若a，b，c是△ABC三边长，满足3a44．阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用上述方法将下列各式进行因式分解．(1)x2(2)a445．【阅读理解】对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项x====像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式x2(2)【拓展应用】二次三项式x2(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：a4【类型7双十字相乘法】46．用双十字相乘法分解因式例：20x2+9xy-18y2-18x+33y-14．∵4×6+5×(-3)=9，4×(-7)+5×2=-18，-3×(-7)+2×6=33，∴20x2+9xy-18y2-18x+33y-14=(4x-3y+2)(5x+6y-7)．双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案．分解因式6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2=47．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，而对于形如ax2+bxy+cy2如图1，首先对前三项ax2+bxy+cy2进行“十字相乘”：将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，使得mq+np=b；其次对cy2+ey+f进行“十字相乘”：f分解成例：分解因式：x解：如图2，首先对前三项进行“十字相乘”：a=1=1×1,c=-3=(-1)×3,b=2=1×3+1×(-1)；其次对-3y2+y+2进行“十字相乘”最后验证d=3=1×2+1×1，∴x请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：x2-2xy-3完成下列填空：x2①首先因式分解：x2x3②再因式分解：-63y-2③验证第四项x：x=3⋅x+(-2)⋅x④写出结果：__________．（2）因式分解：x2（3）已知x，y为整数，且满足6x2-7xy-3y248．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是将x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，将y2项系数c例：分解因式：x解：如图1，其中1=1×1，-8=(-4)×2，而-2=1×(-4)+1×2所以x而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成fk乘积作为第三列，如果mq+np=b，mk+nj=d，即第1、2列，第2、3例：分解因式x解：如图3，其中1=1×1，-3=(-1)×3，2=1×2而2=1×3+1×(-1)，1=(-1)×2+3×1，3=1×2+1×1所以x请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2②2x2（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y49．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2＝②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．50．【学习材料】十字相乘法对于形如ax2+bxy+cy2的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1⋅a2，把y2项系数c例：分解因式：x解：如图1，其中1=1×1，-8=(-4)×2，而-2=1×(-4)+1×2，∴而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+