2022年贵州省名校联盟高考数学大联考试卷（理科）（3月份）（附答案详解）

2022年贵州省名校联盟高考数学大联考试卷（理科）（3

月份）

一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）

1.在平面直角坐标系中，直线/经过点（0,0）,（1,3）,则直线/的斜率为（）

A.-gB.：C.—3D.3

2.在等差数列｛斯｝中，若44+。8=16,则=（）

A.4B.±4C.8D.±8

3.抛物线y2=2x的准线方程是（）

A.x=B.%=-1C.y=-：:

2z2

4.如图，在长方体48。。一4181。1。1中，「是线段8。1中点，若

AP=xAB+yAD+"4，

则x+y+z=()

A-

8

B.1

C-1

D.3

5.空间中两条不同的直线九和平面a,则下列命题中正确的是（）

A.若?n_La,n1a,贝B.若n//a9则m〃九

C.若THJ■九,n1a,则m_LaD.若?nln,n//a,则m1a

6.已知函数fQ）的导函数y=（（乃图象如图所示，则函数y=

f（x）图象是（）

7.已知三棱锥S-ABC中，SC=2V3,AB=2,E,F分别是

S4BC的中点，EF=1,贝与48所成的角大小为（）

「271

CT

D.多

4

8.在数列{an},{%}中，满足{瓦,b2,…)={akEZ\ak=y/4k+1,keN*},且％<

b“+「若瓦00=am(m6N*)，则加=()

A.5050B.5100C.10050D.10100

9.复数z=i（l+2i3）的实部为（）

A.-2B.0C.1D.2

10.sin(-^)cos^==()

A.-]B.心

C.；4

11.定义集合A-B={x\xe4且x€B}.已知集合U=[xeZ|-2<%<6},A=

{0,2,4,5},B={-1,0.3）,则Cu（A-B）中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

12.曲线y=”—x在点（1,0）处的切线方程为（）

A.y=4x—4B.y=5x—5C.y=6x—6D.y=7x-7

13.某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费》（单位：万元）对

年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销

售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为丫=

bx—8.2,则下列结论错误的是（）

第2页，共38页

X4681012

y1571418

A.%,y之间呈正相关关系

B-匕=2.15

C.该回归直线一定经过点(8,7)

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800

件

14.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P41底面ABCC,S.PA=AB,AD=

WAB，则二面角P-CD-B的大小为()

A.75°B.45°C.60°D.30°

15.执行如图所示的程序框图，若输出的S=0,则输入的实

数x的取值共有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

16.已知函数/(%)=lgx,现有下列四个命题:

①/'(2),/'(国)，f(5)成等差数列；

/(4),/(8)成等差数列；

(3)/(2),/(12),/(72)成等比数列；

④f(2)，/(4),/(16)成等比数列•

其中所有真命题的序号是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

17.已知|列|=|而|=2，|话|=1,则|市+3丽|=()

A.2B.4C.VToD.V15

18.函数/(%)=Asin(a)x+(p)(71>0,co>0,|@|VTT)的部分图象如图所示，现将/(%)

的图象向右平移泞单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）在区间哈，手上

的值域为（）

A.[―V2,2]D.[0,2]

19.为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某

市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接

种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫

苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2940种B.3000种C.3600种D.5880种

20.已知4B是曲线因一1=1产上两个不同的点,C（0,l）,贝力。4|+|CB|的

最大值与最小值的比值是（）

A.V3B.V2C.渔D.越

25

二、多选题（本大题共4小题，共20・0分）

21.如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆

形光斑（轮廓为椭圆），若光线与水平地面所成的角为40。<

a<90°）,则下列说法正确的是（）

A.椭圆的离心率e=sina

B.椭圆的离心率e=cosa

C.椭圆的离心率e随a的增大而减小

D.椭圆的离心率e随a的增大而增大

22.已知Sn是等比数列的前几项和，且m,nEN*,下列结论一定成立的是（）

A.若m+九为偶数，贝bm•an>0B.若m+九为奇数，贝!］。利・斯>0

C.若m•几为偶数，则九>0D.若m•几为奇数，则Qm・Sn>0

23.已知函数/（%）=a（x—a）2（x—b）（aH0）的极大值点为％=a,则（）

A.a2<b2

B.a2<ab

第4页，共38页

c.若r（%i）=r（%2）=0,则％i+外>o

D.若—（%1）=f'（%2）=0，则％1%2>0

24.如图，在正四棱柱4BCD-A/iC/i中，AB=3,\-----

=2遍,P是该正四棱柱表面或内部一点,直线PB,

PC与底面/BCD所成的角分别记为a,B，且siQ?=\；,

2sina,记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q,则下列说\；/》

法正确的是（）17r

A.Q为BC中点产厂

B.线段P4长度的最小值为5

C.存在一点P,使得PQ〃平面4当5

D.若P在正四棱柱4BCD—&BiGDi表面，则点P的轨迹长度为山兀

三、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

25.已知访=（1,0,2k-l）,n=（-1,0,2）,若/〃知则k=.

26.已知圆G：x2+y2=1与圆C2：x2+y2+2x-4y=0,则圆心距IQC2I=___.

27.我国南北朝著名数学家祖眶提出了祖胞原理：“塞势既同，则积（一二

不容异”.即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两「'、/口

个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两'一二5」

个几何体的体积相等.在数学上运用祖晒原理推导球的体积公式时，构造了一个底

面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体

的体积为.

28.已知小尸2分别是双曲线捻一3=1（£1>0*>0）的左、右焦点，双曲线上有一点

M,满足|MF/=川MF21GWAS》，且4居“尸2=60°,则该双曲线离心率的取值

范围是.

29.在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡

献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，

努力争取2060年前实现碳中和.某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型

汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按

前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发

放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平

不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为万张.

30.已知函数f(x)=”。一/(%>0月。>0)有两个不同的零点，贝b的取值范围是

31.已知/(%)为奇函数，当％>0时，々.2,则%?=

32.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4s讥2c=siM/l,cosB=—工

16

则R——•

33.设P为椭圆M：<+y2=i和双曲线N：/一211=i的一个公共点，且p在第一象限,

86

F是M的左焦点，则M的离心率为,\PF\=.

34.如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16Hcm2的正三角

形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯

可放置圆柱冰块的最大体积为cm3.

四、解答题(本大题共12小题，共142.0分)

35.已知圆C的圆心为点(1,2),且与x轴相切.

(I)求圆C的方程；

(口)求直线心2x—y+2=0被圆C所截得的弦长.

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36.已知三棱柱4BC—DEF中，^.BAC=90°,AB=AC=AD,乙DAB=KDAC.

(I)求证：BC1AD；

(D)若二面角4-BC-E的大小为135。，求直线DB与平面BEFC所成角的大小.

37.已知函数/(x)=詈，X6[0,兀].注：e=2.71828...是自然对数的底数.

(I)求函数/(x)的单调区间；

(口)记函数/(乃的导函数为尸(无)，求证：

38.已知数列｛几与｝是以1为首项，涉公比的等比数列，数列也｝满足：瓦=2,nbn+1-

(n+l~)bn=n(n+l)dn,ne/V*.

(I)求数列｛a,J的通项公式；

(II)(团)若d”=1,记％=册+1%，求数列｛4｝的前几项和及；

111?

(ii)若dn=2n+1,证明：-+—+

39.如图，椭圆Ei：9+3=1的右焦点为F(b,0),椭圆E2：9+3=t(0<t<1),

椭圆E2的切线MN、MP交椭圆邑于M、N、P三点，

切点分别为Q、R.

(I)求实数m的值；

(口)求证：点Q是线段MN的中点；

(HI)求四边形。QMR面积的最大值.

40.一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位:

nun)服从正态分布N(200,(T2),且p(z<210)=0.9.

(1)求z<190的概率；

(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于190mm的零件个数,

求X的分布列与数学期望.

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222

41.已知1?+2H------1-n=^n(n+l)(2n+1),数列｛册｝满足an+i-an=n+2n4-

1,Qi=1.

(1)求｛a九｝的通项公式；

⑵设心=磊，求数歹£白的前n项和

Z/IT1UJI

42.如图，在三棱柱中，点名在底面4BC内

的射影恰好是点C,点。是AC的中点，月刀4=DB.

(1)证明：AB1CCj.

(2)已知4c=4,BC=2,B、C=2同求直线8当与

平面8DC1所成角的正弦值.

43.已知函数/(%)=%2—(a+l)/nx(aW—1).

(1)当Q=0时，求f(%)的单调区间;

(2)若/(%)>(a2-a)bix对％G(1,+8)恒成立，求a的取值范围.

44.在直角坐标系％0y中，抛物线C：y2=2p%(p>0)与直线八%=4交于2，Q两点，

且。P10Q.抛物线C的准线与％轴交于点M,G是以M为圆心，10Ml为半径的圆上的

一点(非原点)，过点G作抛物线。的两条切线，切点分别为4B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求44BG面积的取值范围.

45.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有

笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点。为极点，

%轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心xJNsJ

型曲线，其极坐标方程为p=1-s(0W。<2/r,p30),

M为该曲线上一动点.

(1)当|0阳=：时，求M的直角坐标；

(2)若射线OM逆时针旋转5后与该曲线交于点N,求△OMN面积的最大值.

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46.已知正数Q,b,c,d满足小+炉+c?+=1,证明:

(1)0VCLC+bd45；

1144

(2)4+^+4z+^2>36.

\/Q2b?Cd

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：直线/经过点(0,0),(1,3),

则直线/的斜率1=衿=3,

故选：D.

利用斜率计算公式直接求解即可.

本题考查了斜率计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•••{/»}是等差数列,

,*•2。6=+@8=16,

・•・a6=8.

故选：C.

由题意，利用2a6=。4+他即可求解・

本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：抛物线y2=2x的开口向右，p=l,所以抛物线的准线方程是％=

故选：A.

直接利用抛物线方程求出准线方程即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查.

4.【答案】C

【解析】解：在长方体4BCD—4B1GD1中，P是线段3D1中点，

---»---»--->--->1----->--->1------»,.......»............♦

AP=AB+BP=AB+-BD1=48+严。+CG+G”

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=AB+-~BC+-CCl+-C7Dl=-AB+-AD+-AAi，

2212112221

...叩■,一..♦’一一,.,1

VAP=xAB-\-yAD^-zAAvx=y=z=-,

3

则x+y+z=

故选：C.

利用向量运算法则直接求解.

本题考查向量的运算，考查向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：空间中两条不同的直线小，n和平面a,

对于4,若zn_La,n1a,则由线面垂直的性质得?n〃n,故A正确；

对于B,若m〃a,n〃a,则m与n相交、平行或异面，故8错误；

对于C,若m_Ln,n1a,则m〃a或mua,故C错误；

对于D,若m1ri,n//a,则?n与a相交、平行或mua,故。错误.

故选：A.

对于4,由线面垂直的性质得m〃n；对于B,zn与n相交、平行或异面；对于C,m〃a或

mua；对于D,m与a相交、平行或mua.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查推理论证能力，是中档题.

6.【答案】A

【解析】解：由f'(x)图象知，第一部分/'(%)>0,且/'(%)是个常数，此时/(%)为增函

数，且等速度增长，对应图象为直线，排除C,D,

第二部分「(x)>0,此时f(x)为增函数，

第三部分，/'(%)<0,此时函数为减函数，排除B,

故选：A.

根据函数单调性和导数的关系进行判断即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数的关系进行判断是解决本

题的关键，是基础题.

7.【答案】B

解：取4C中点D,连接DE、DF,

由E,F分别是S4,BC的中点，

贝i」DE〃SC,DF//AB,

则E尸与4B所成的角的平面角为4EFD(或其补角),

由SC=2百，AB=2,

则DE=M，DF=1,

又EF=1,

。产+£产-。£2_1+1-3

贝kosNEFD一1,

2xDFxEF2x1x12

即㈤叨=y,

即E尸与4B所成的角大小为以

故选：B.

先作出EF与所成的角的平面角，然后利用余弦定理求解即可.

本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线平面角的作法，属基础题.

8.【答案】D

【解析】解:因｛瓦,电33,…｝=｛纵€2|纵不CN*｝,如〈匕+i，

则数列｛匕｝是由4k+l(fcGN*)计算而得的完全平方数的算术平方根由小到大排列而成,

因4x2+1=32,4x6+1=52,4x12+1=72,4x20+1=92,4X30+1=II2,

4x42+1=132,…，

=

即瓦=3,b2=5.b3=7,b49,b5=11,b6=13,1•,,

即数列｛砥｝是首项为3,公差为2的等差数列，

所以刈=2n+1,

第14页，共38页

反之，当bn=2n+l时，由V4k+1=2n+l,neN*得k=n(n+1),

因此，k=n(n+l),n6W*,V4fc+1GN\

于是得匕=2n+l,nGN*,则a„t=b100=201,

所以m=100(100+1)=10100.

故选：D.

根据给定条件探求出数列{匕}的通项公式，将瓦°。代入计算作答.

本题涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出数列前几项，利用观察法写出

通项公式，再代入验证解决问题，属于中档题.

9.【答案】D

【解析】解：z=i(l+2i3)=i+2i4=2+i,

z的实部为2.

故选：D.

根据已知条件，结合复数实部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了复数实部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

10.【答案】4

【解析】解：sin(-^)cos^；=-7x2sin^-cos^-=-；sin^=-；x1=-i

故选：4.

利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可求解.

本题考查了诱导公式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：由定义集合4-B={x|xe4且x£B},

又A={0,2,4,5},B={-1,0,3},

则4-B={2,4,5},

又集合u=[xez\-2<x<6],

则Cu(A-B)={-1,0,1,3},

即Cu(4-B)中元素的个数为4,

故选:B.

由集合A-B的定义，结合集合的交、并、补的运算求解即可.

本题考查了集合的交、并、补的运算，属基础题.

12.【答案】B

【解析】解：因为y'=6x5—i,

所以曲线y=x6-x在点(1,0)处的切线的斜率为6-1=5,

故所求切线方程为、=5工一5.

故选：B.

求出导函数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.

本题考查函数导数的应用，切线的斜率以及切线方程的求法，是中档题.

13.【答案】C

【解析】解：由表中数据可得，£=gx(4+6+8+10+12)=8,歹=：x(1+5+7+

14+18)=9,

故回归直线一定经过点(8,9),

故9=8b-82，解得b=215，故正确，C错误，

将％=20代入y=2.15X-8,2,解得y=34,8'

故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，故

O正确.

故选：C.

根据已知条件，求出x,y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可依次求解.

本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.

14.【答案】D

第16页，共38页

【解析】解：因为P21底面ABCD,CDu平面ABCD,所以P4_LCD,

又40ICO,PAHAD=A,所以CD_L平面PAD,

因为PDu平面PAD,贝IJCD_LPD,所以二面角P-CD-B的平面角为NPZM.

在Rt△PAD中，tan^PDA=—=则4PzM=30°.

AD3

故二面角P-CD-B的大小为30。.

故选：D.

证明线面垂直，线线垂直，找到二面角P-CD-B的平面角，再进行求解.

本题主要考查二面角的计算，属于基础题.

15.【答案】C

【解析】解：由程序框图可知，该循环需循环2次输出结果，

则输出S=(x2-l)2-l,令。2一1)2一1=0,解得X=0或X=+V2,

故输入的实数x的取值共有3个.

故选：C.

由程序框图可知，0=(/一1)2一1,解出工,即可求解.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

16.【答案】D

【解析】解：对于①，/'(2)+/■⑸=国2+1g5=[gio=1,2/(-/10)=2lgV10=1.

故/(2),/(V10)>f(5)成等差数列，故是真命题；

对于②,f(2)+/(8)=lg2+lg8=lgl6,2/(4)=21g4=lgl6,

故f(2),f(4),f(8)成等差数列,故是真命题；

对于③,/(2)/(72)=lg2-lg72<(史詈当2=lg212=产①)，

故f(2),/(12),/"(72)不成等比数列,故是假命题;

对于④，/(2)/(16)=lg2lgl6=4lg22=(2lg2)2=lg24=用(4),

故f(2)，f(4),f(16)成等比数列,故是真命题;

故选：D.

由对数运算及等比数列与等差数列的性质依次判断即可.

本题考查了等比数列及等差数列性质应用及对数运算性质的应用，属于中档题.

17.【答案】B

【解析】解：由题意，可得|而|=|荏|=|布-而

22

即刀?=(05-04)2=OB_2O/i.OB+O7，

又I西=2,\OB\=1,

代人可得4=1-204-0B+4，解得瓦？-=1,

所以|市+3而J(OA+3OB)2=JoA2+60A0B+9Ofi2=14+6xg+9=

4,

故选：B.

^|^4|=\AB\=\OB-OA\,两边平方可得万？•布=：,再由向量I次+3万|=

J(65+3被》展开代人求解即可.

本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题.

18.【答案】C

【解析】解：根据函数f(%)=Asin(a)x+(p)(A>

0,3>0,|卬|<TT)的部分图象,

—1.zral27r117T7nc

可得鼠；7=玄—运，;3=3.

结合五点法作图，3x工+9=2兀，0=%故

/(x)=Asin(3x+

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再把点G，T)代入，可得一1=Asin(^+》

A=金，/(x)=V2sin(3x+》

现将/(%)的图象向右平移三个单位长度，

得到函数y=g(x)=V2sin(3x-q的图象，

在区间比,匀上，3X-2G[0,7T],

g(x)=V2sin(3x-^)6[0,V2],

故选：c.

由周期求出3,由五点法作图求出9的值，由特殊点坐标求出4,可得函数的解析式.再

根据函数y=4s讥(3X+R)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查由函数丫=4$讥(3%+0)的部分图象求解析式，由周期求出3,由五点法

作图求出0的值，由特殊点坐标求出4函数y=Zsin(3x+9)的图象变换规律，正弦函

数的图象和性质，属于中档题.

19.【答案】A

c|cc|c

【解析】解：根据题意不同的安排方法共有(竿+岑1)41=2940(种)•

故选：A.

根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4,3、3、2.以此可解决此题.

本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题.

20.【答案】D

【解析】解：由|x|—l=J4—吐一1)2,得(因-+(y—l)2=4,

|x|-1>0,Ax<—1或%>1.

当xs-l时，原方程化为(x+l)2+(y-1)2=4,当x21时，原方程化为(％-1)2+

(y—I)2=4.

画出方程所表示的曲线如图：

y

当4、B与图中。、E中一点重合时，|。4|+|CB|取最大值为6,

当4、B与图中F、G、K、，中一点重合时，|C4|+|CB|取最小值为2b,

\CA\+|CB|的最大值与最小值的比值是亲=誓.

故选：D.

把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合求解.

本题考查曲线与方程，考查数形结合思想，是中档题.

21.【答案】BC

窗孔的圆心为0,圆心在水平面的投影即椭圆的中心为0,光线与水平面的交点为力、B,

光线与水平地面所成的角为a（0。<a<90。）即NB00',连接0。'，

过B作。。'的垂线交。于C,交。。'于D,

由题意可知，窗孔在平面内的投影椭圆，故|4B|为椭圆的长轴长，即|4B|=2a,

|BC|为椭圆的短轴长，即|8C|=2b,

所以|0B|=a,\BD\=^\BC\=b,

第20页，共38页

故|0D|=yl\OB\2-\BD\2=y/a2-b2=c,

而cosa=cos乙BOO'=—=-=e,

OBa

故椭圆的离心率0=cosa,所以选项A错误，选项B正确；

e=cosa,因为cosa在0。<。<90。是单调递减的，所以桶圆的离心率e随a的增大而减

小，故选项C正确，选项。错误.

故选：BC.

可由题意做出平面图，利用投影关系，分别对应出椭圆的长轴和短轴，利用椭圆a、氏

c结合夹角即可做出判断.

本题考查了投影的关系，椭圆的简单几何性质，属于中档题.

22.【答案】AD

【解析】解：由题意知，设等比数列的公比为q,则-an=。初m+n-2,

m+n2

若m4-n为偶数时，m+n-2为偶数，所以“血+八菖>0,所以*-an=alq~>0,

若m+n为奇数时，m+n-2为奇数，若q<0,则qm+"-2<0,所以(^，即二

a2qm+n-2<0,

若q>0,则qm+n-2>0,

m+n2

所以am-an=alq~>0,

若q=1时，dm•an=后>0,

故此时无法判断斯,正负，故A正确，B错误；

若nm为偶数时，则m,n为两偶或一奇一偶，

当m,n为两偶数时，则m—l为奇数，

若q6(0,1)U(l,4-oo),

则qMT〉。，守>0,此时am-Sn=a；qm-i.f>0,

1—q1—Q

若qe(—l,o),则守>0,此时即,•S”=。打吁1•守<0,

1—Q1—Q

若qe(-8,-1),则守<0,此时am-Sn=a纭aT•守>0,

若q=1时，a.0=nal>0,若q=-1时，am-Sn=0,故无法判断・S九的正负;

同理，当小，九为一奇一偶时，也无法判断。巾・S几的正负，故C错误；

当mn为奇数时，m,九都为奇数，则zn-1为偶数，

若qk-l且qMO且qHl时，q^T>0,言>。，所以%„•S.=居4巾一】•号>0,

若q=1时，am-Sn=nal>0,若q=一1时,am-Sn=a1>0,

所以am-SnuagqmT•守>0,故。正确.

故选：AD.

1m+n2

根据等比数列的性质可得丽-an=aiqm-i•a^-=alq-,分别讨论m+频的奇

偶对9机+吁2值的影响，即可判断选项A、B；

根据等比数列前n项和公式可得a.・5「=谈qmT•瑞，分别讨论m,n的奇偶对q"1-1值

的影响，即可判断选项C、D.

本题考查了等比数列的性质及前n项和公式,也考查了分类讨论思想,分类情况较复杂，

属于难题.

23.【答案】ABD

【解析】解：令/'(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是/'(%)的两个零点，

当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(%)的极大值点，则函数的大致

图象如下图所示，

则0<a<b；

当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/Q)的大致

图象如下图所示，

第22页，共38页

则b<a<0；

综上，b2>ab>a2.

故选：ABD.

分a>0及a<0,结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a,b的大小关系，进而得

出答案.

本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档

题.

24.【答案】8。

【解析】解：力选项：如图所示，建立空间直角坐标系4—xyz,设P(x,y,z),

过点P作P。L平面ABC。，垂足为。，连接OB,OC,

则NPBO=a,乙PCO=0,由题意可知sinB=*=2s讥a=若今，

所以|PB|=2|PC|,因为8(3,0,0),C(3,3,O),

所以(x—3)2+y2+z2=4(%—3)2+4(y-3)2+4z2,

即(x-3)2+(y-4)2+z2=4,

所以点P的轨迹是以(3,4,0)为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部(含表面)的部分，

由题意得当Q为BC中点时不满足题意，故A错误；

B选项：设球心％(3,4,0),

则|014/=J(3-0)2+(4-0)2+(2通/=1,

所以线段P①长度的最小值为7-2=5,故B正确；

QN仁平面4当。1，4。<=平面481。1，

所以QN〃平面Z81D1，同理MN〃平面4a仇，

又QNCMN=N,QN,MNu平面QMN,所以平面QMN〃平面4^名，

所以|CN|=：*2乃=手，设球与棱CG的交点为G,与CD的交点为H,

\CG\=V22-I2=V3>|CN|=¥，|C"|=V3>\CM\=1.

所以球与矩形BCGBi的交线为弧GQ,球与矩形CDDiG的交线为弧G”，所以△QMN与

球没有交点，

所以不存在点P,使得PQ〃面4为。1，故C错误；

。选项：因为球与矩形BCGBi的交线为弧GQ,球与矩形CODiG的交线为弧GH,球与正

方形ZBCD的交线为弧QH,

由于|GQ|=IQ。/=IGO/=\CH\=2,

所以NQOIG=4GOIH=M

所以弧GQ=弧(2"=；x2=£,

弧GH=-x27rxV3=^

42

所以点P在正四棱柱48co-&8忑山1表面，

则点P的轨迹的长度为史X2+包=网越兀，故。正确.

326

故选：BD.

4选项：建立空间直角坐标系4-xyz,设P(x,y,z),求出点P的轨迹是以(3,4,0)为球心，

以2为半径的球再正四棱柱内部(含表面)的部分，进而可判断力选项；

B选项：设球心％(3,4,0),则|0i4J=](3—0,+(4-0)2+(2遍9=7＞所以线段P公

长度的最小值为7-2=5,从而可判断8正确；

C选项：证得球与矩形BCGBi的交线为弧GQ,球与矩形CDDiG的交线为弧GH,所以△

QMN与球没有交点，进而可判断C选项；

D选项：证得球与矩形BCGBi的交线为弧GQ,球与矩形CODiG的交线为弧GH,球与正

方形2BCD的交线为弧QH,进而求出弧长，即可判断D选项.

本题考查棱锥的几何特征，考查学生的运算能力，属于难题.

25.【答案】-i

第24页，共38页

【解析】解：•••m=（1,0,2k-l）,n=（一1,0,2）且沅〃记，

・••^=等，解得卜=一也

故答案为：-

根据已知条件，结合空间向量平行的公式，即可求解.

本题主要考查空间向量平行的性质，属于基础题.

26.【答案】V5

【解析】解：圆Q：/+丫2=1的圆心为C］（o,o）,

圆C2：x2+y2+2x-4y=0的圆心为C2（-l,2）,

所以圆心距IC1C2I=V（-l-0）2+（2-0）2=V5.

故答案为：V5.

求出两圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求解即可.

本题主要考查圆的方程，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.

27.【答案】争3

【解析】解：圆柱的体积为匕圆锥的体积为彩=3兀/?3,

所以所求的几何体的体积为匕-％=兀R3_扣腔=|兀/?3.

故答案为：|〃R3.

圆柱的体积减去圆锥的体积可得答案.

本题主要考查空间几何体体积的计算，属于基础题.

28.【答案】除何

【解析】解：因为|Ma|=RMF21G<A<1）,可得M在双曲线的左支上，设IMF2I=m,

则|M&|=Am,

再由双曲线的定义可得IPF2I-|P&l=2a,所以可得m-4m=2a,可得m=三，

|MF1『+|MF2『-|aF2|2

在三角形时居尸2中，立月同尸2=60°,由余弦定理可得：8SN&MF2=

2\MF1\-\MF2\

可得1=业竽上,整理可得：m2.(l+A2-A)=4c2,

22Am-m

所以4a2(]+"_&

入1+A2-2A=4c2,

22

-r/n2c21+A-AA-2A+1+A..Ad.1

可得e=后二27门=1+1^77=1+干，

设y=4+\所以函数单调递减,

A3N

所以”[|号，可得y_2eg,$,

所以展e?2],

所以e2e[1,3],

即ec管㈣.

故答案为：[1,遍].

由|M&|=川”尸2|(，式4w｝,可知M在双曲线的左支上，设IMF2I=m,可得|M0|=2血,

再由双曲线的定义可得e与a的关系，在三角形中由余弦定理可得离心率的表达式，换

元，由函数的单调性可得离心率的范围.

本题考查双曲线的性质的应用及余弦定理和换元法的应用，函数单调性的应用，属于中

档题.

29.【答案】134

【解析】解：设每年发放燃油型汽车牌照为｛an｝，发放电动型车牌照数为｛%｝，发放牌

照数为｛7｝，

则｛即｝成等差数列，｛%｝前四项成等比数列，第五项为常数列，cn=an+bn,

%=9.5,an=10—0.5九，

｛即｝的前n项和Si。=9.5xl0+|xl0x9x(-0.5)=72.5,

瓦=2x1.5=3,&2=3x1.5=4.5,b3—4.5x1.5=6.75,

•・,C3=%+力3=8.5+6.75=15.25>15,

:，匕4=为=•,,=瓦o=6.75,

｛b｝的前10项和Bio=3+4.5+6.75x8=61.5,

故从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为134万张.

第26页，共38页

故答案为:134.

根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等比数列的性质，即可求解.

本题主要考查数列与函数的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题.

30.【答案】(l,e)U(e,+8)

【解析】解：因x>0,a>0,

InxIna

贝!|f(x)=0=x。=a*=alnx—xlna=丁=三'

l-lnx

求导得g'(x)=

当OVxVe时，g'(x)>0；当％>e时，g'(x)V0,

因此g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，gMmax=g(e)=

而当%>e时，g(x)>0恒成立，g⑴=0,

函数/(X)有两个不同的零点当且仅当函数y=g(x)的图象与直线y=詈有两个公共点,

在同一坐标系内作出函数y=g(x)的图象与直线y=*如图，

咻

v=—

:…4

\y=g(H)

观察图象得：函数y=g(x)的图象与直线y=詈有两个公共点当且仅当0〈詈<：，

即。⑴<g(a)<9(e),

于是得1<a<e或a>e,

所以a的取值范围是：(l,e)U(e,+8).

故答案为：(1,e)U(e,+oo).

由f(x)=O可得%a=a，取对数并构造函数，利用导数探讨零点即可推理计算作答.

本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，属于中档题.

31.【答案】-3

【解析】解：根据题意，当久>0时，/(%)=f2；0/X4

八，(X+2,x>2,

则“1)=21=2,/(4)=4+2=6,

又由f(x)为奇函数,则/(一4)=一/(4)=-6,

故答案为：一3.

根据题意，由函数的解析式求出/(I)和f(4)的值，结合奇偶性求出/(-4)的值，进而计

算可得答案.

本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

32.【答案】|

【解析】解：因为4s讥2c二因/4,

所以由正弦定理可得4c2=Q2,可得Q=2C,

因为COSB=0+'-b=

Zac16

所以空铲=_三，

4c216

解得3=|.

b5

故答案为：|.

由已知利用正弦定理可得a=2c,进而根据余弦定理即可求解(的值.

本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

33.【答案】任1+2企

4

【解析】解：M的离心率6=1-1=^;

q84

设M的右焦点为F',因为8-1=1+6,且M与N的焦点都在x轴上,

所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，

所以|PF|+\PF'\=2我=4V2,\PF\-\PF'\=2，

解得|PF|=1+2近,

故答案为：—；1+2V2.

4

第28页，共38页

根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆

和双曲线的定义即可得出答案.

本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，属于基础题.

34【答案】也包

27

【解析】解：设圆锥的底面半径为rem,圆柱形冰块的底面半径为xcm,高为hem,

由已知可得，|xyx(2r)2=16V3，解得r=4cm,

h<(r-x)-tan60°=V3(4-%),0<x<4.

设圆柱形冰块的体积为V,则1/4百加工2(4一外，0<x<4.

令/(%)=V5TT%2(4—0<%<4.

则f'(X)=V3TTX(8—3%),

则当％e(0,9时，尸(无)>0,当xe(|,4)时，r(x)<o,

.f(\-后

・・八町xS以―/卬—一25627'

••・酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为空包CH?.

27

故答案为：陋包.

27

设圆锥的底面半径为rem,圆柱形冰块的底面半径为xcm,高为八cm,由三角形面积求

得r=4cm,可得hs(r-%)-tan60o=b(4—x),0<%<4,进一步得到冰块体积

7<V3TTX2(4-X),0<X<4,令/'(x)=百兀/科-为，0<%<4,再由导数求最值

即可.

本题考查圆柱、圆锥体积公式的应用，考查运算求解能力，训练了利用导数求最值，是

中档题.

35.【答案】解：(I)•••圆C的圆心为点(1,2),且与x轴相切，

•••圆C的半径圆r=2,

故圆C的方程为(x-I/+(y-2)2=4.

(口)•••圆C的圆心C(l,2),

•・•点C到直线八2x-y+2=0的距离为器等=4=--

JV22+lV55

•••所求的弦长为2#-(哥=

【解析】(/)圆C的圆心为点(1,2),且与x轴相切，则圆C的半径圆r=2,即可求解.

(〃)根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.

36.【答案】（I）证明：取的中点M,连接力M,"AB^AC,ABCLAM,

又•••，N£MB=miC.40=4£）,与△04C全等，贝胆8=DC,

SDM,而AMClDM=M,于是BC1平面4DM,而4Du面力DM,故BC14D；

(〃)取EF的中点N,连接DN,M