非线性本构关系简介

非线性本构关系简介.ppt1.弹性介质本构关系对线弹性介质只有两个独立的弹性常数，但应力应变（本构）关系有多种表示形式：用G和μ表示用G和体积模量K表示1.1线性弹性小变形Date2式中应力和应变偏张量分别为如果用拉梅（Lame）λ常数表示，则有弹性常数间有如下关系Date3利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。例如，当以G和μ表示时，以张量形式表示的本构关系为由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。Date4非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为式中k和n为拟合的实验参数，E为初始弹性模量。一般情况下本构关系可表为1.2非线性弹性小变形在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增量形本构关系。Date5全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即1.2.1全量形式本构关系但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数，它们是应变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。式中为割线弹性张量，形式上它仍可表为Date6例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出，八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应变间关系为σoctεoctKsKt并有其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验确定的常数。GtGsDate71.2.2增量形式本构关系增量本构关系的表达形式为但其中的弹性系数Gt,μt也不是常数，也是应变或应力的函数，分别称为切线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。式中为切线弹性张量，形式上仍可表为上面介绍的是哥西方法，讲义上还简述了格林方法，大家可自行阅读。Date8韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意2.1应力空间表述的弹塑性本构关系2.弹塑性力学有关内容简介弹性极限屈服下限屈服上限强度极限强化段软化段弹性变形残余变形卸载Date9包辛格效应反向屈服点卸载、反向加载Date10由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关性或路径相关性），因此本构关系应写成增量关系。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性情况复杂。以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，如此的空间称为应力空间。判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件或塑性条件。1)屈服条件和屈服面弹性和塑性区的分界面称为屈服面。空间屈服面应是一个凸曲面。Date11屈服条件曾经有最大主应力（伽）、最大主应变（圣）假设，但后来都被实验所否定。后来法国的H.Tresca提出，最大切应力达某一极限值时，材料即进入塑性状态。德国的R.Von.Mises及H.Hencky又进一步指出，弹性形变比能（也称歪形能）达一定值时材料进入塑性。对韧性金属，这一假设比较接近实际。原苏联学者伊留申提出应力强度的概念，并以应力强度作为表征物体受力程度的参数。认为应力强度达到单向拉伸的屈服极限时，材料进入塑性。这不仅概念清楚，而且便于使用，因此是塑性力学常用假设之一。Date12在材料的一般应力状态下，可认为应力满足如下条件时材料发生屈服，即处于塑性状态：式中

为应力张量，

为塑性应力张量，k为标志永久变形的量。和k统称为内变量。其中

与塑性应变张量间存在如下关系k（又称硬化参数）有多种取法，可以是塑性功、塑性体应变和等效塑性应变。转图

其中塑性体应变为Date13应力、应变关系示意Date14从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。初始屈服条件可表为：，它只与当前应力状态有关。屈服条件都可看成应力空间的超曲面，初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件称后继屈服面，统称屈服面。如果一点应力的,则此点处于弹性状态，如果，则处于塑性状态。屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。Date15等向强化随动强化Date16等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀的扩张，后继屈服面仅与一个和内变量有关的参数有关，可表为：随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面可表为：多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛格效应，因此应该用它。Date172）塑性状态的加载和卸载准则跳转在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。转下Date18塑性加载塑性卸载Date192-2)具有强化的弹塑性材料跳转2-1）理想弹塑性材料由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：卸载，弹性加载，塑性卸载，弹性加载，塑性中性变载，塑性对软化材料，无法建立加、卸载准则(应力性)。转图Date20理想弹塑性材料等向强化弹塑性材料随动强化弹塑性材料Date213）流动准则在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个势函数（简称塑性势）。塑性应变增量可由势函数给出：流动准则又可分为正交（相关）流动准则和非正交（非相关）流动准则两种。前者认为塑性势就是屈服面，因此。而后者则认为塑性势和屈服面不同。对正交准则，塑性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决于非负的尺度因子dλ，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况。Date224）弹塑性本构关系

在应力增量dσij作用下，应变增量dεij可分成弹性和塑性两部分。弹性部分在上述概念基础上，下面讨论材料非线性分析的核心问题——正交流动弹塑性本构关系。因此总应变为弹性张量因为在卸载和中性变载状态dλ=0，因此反应是纯弹性的。Date23对于具有强化的加载状态，因为屈服面为因此又因为则由df=0（也称一致性条件）可得在永久变形标志k各种不同取法情况下，dk将有不同的形式，若统一记一致性条件Date24由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载状态应力增量dσij的应变增量dεij为若引入如下记号：则弹塑性本构关系可统一表示成上述本构方程是以应力为基本未知量的，它只适用于强化材料。Date252.2应变空间表述的弹塑性本构关系以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。由于所有的讨论基本上和应力空间对应，因此下面只是简单列出有关式子。1)屈服条件和屈服面屈服面方程初始屈服面屈服面内弹性，屈服面上塑性。2)加、卸载和流动准则Date26对正交流动准则dλ大于零表示加载，等于零表示其他情况。3)弹塑性本构关系式中Date27同样，若引入如下记号：则弹塑性本构关系也可统一表示成式中称塑性矩阵，称弹塑性矩阵。上述本构方程是以应变为基本未知量的，它适用于理想塑性、强化和软化材料。Date282.3两种表述的关系由于建立屈服函数的实验研究多为用应力表示的，关于强化、软化和理想塑性等也是用应力定义的，但是应力空间本构有很大局限性。因此有必要把应变空间表述的本构关系转换成用应力表示。在应力空间的屈服面方程为由于，。将其代入屈服面方程，则可得到应变空间的屈服面Date29建立了两空间屈服面关系后，对应变空间的导数就可用应力空间屈服面的导数来计算利用上述式子，即可将应变空间的本构方程和加、卸载准则用应力屈服面函数表示如下：Date30必须注意，这里导数是由应力空间屈服面定义的，但是它是应变空间表述的。位移有限元分析用它！下节将利用本节知识讨论几种常用材料的本构和流动准则Date313.几种常用弹塑性材料模型简介3.1等向强化-软化的米塞斯（Mises）材料由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为在主应力状态下，第二不变量为式中J2是应力偏张量的第二不变量，由于偏张量第一不变量等于零，因此Date32在单向拉伸状态下，J2=σ2/3。在纯剪状态下，J2=τ2。一般情况下，sij=σij-σkkδij/3,所以.屈服面式中χ(k)，是由单向应力状态的数据确定的屈服参数。在单向拉伸时为χ2=σB2/3。在纯剪状态下χ=τB。任何情况下χ都是硬化参数塑性功wp的函数。根据屈服面表达式，可求得因为Date33因此为了求A，需先由屈服面对wp的偏导数求M式中Gp是曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况，-M=Ep/3。Date34由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因因为纯剪Gp是塑性剪切模量单向拉伸Ep是塑性拉伸模量Date35由此可得弹塑性矩阵为加、卸载准则为统一的本构关系为Date363.2随动强化的米塞斯材料这种材料的屈服面方程为由此屈服面方程出发，求导可得式中α是与内变量有关的量，称为应力迁移张量，由它可以确定屈服面在应力空间的位置。是一个常量，表示屈服面形状不变。如上推导即可得到应变空间的本构关系和流动准则。米塞斯屈服准则主要适用于金属材料。Date37Date383.3岩土工程广泛使用的Mohr-Coulomb材料这种材料的屈服准则为式中τ是破坏面上切应力，σn是破坏面的正压力。c是材料粘性系数，φ是内摩擦角，c和φ是两个材料常数。在主应力空间，此屈服准则可用下图示意Date39据此，屈服面方程可写为引入主应力的三角公式上述屈服面方程可改为Date40与前面两种情况相同，由此即可求得，但必须注意，在棱面交界处导数是无法确定的，因此使有限元分析困难。Date413.4等向强化-软化的Drucker-Prager材料这种材料的屈服面方程为式中α和χ是材料常数，为了确定它，将其和摩尔-库仑准则对比。摩尔