北京市东城区2022年中考数学模拟试题（含答案）

捻京市东微区中考照等演极被桌

一、单选题

1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善

本约有2000000册.2000000用科学记数法可以表示为（）

A.0.2xlO7B.2xl06C.20xl05D.10x26

2.实数a,4c,△在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）

A.a与bB.b与cC.C与dD.a与d

3.如果二次根式后方有意义，那么x的取值范围是（）

A.x/2B.x>0C.x>2D.x>2

4.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形.若

新多边形的内角和为540。，则对应的是下列哪个图形（）

AZ）2

5.如图，在口48。中，D为AB边上一点,DE//BC交AC于点、E,若—=一，AE=6,

DB3

A.6B.9C.15D.18

6.如图，点A,B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开

图中A,B两点间的距离为（）

C.20D.V10

7.2022年将在北京一张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程.某校8名同学参

加了滑雪选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：

队员1队员2队员3队员4

甲组176177175176

乙组178175177174

设两队队员身高的平均数依次为高，豆，方差依次为酩，S3则下列关系中完全正确的

是（）.

A•乙，S甲＞5乙

c.由v之，D.瘴=%乙，S：,VS：

8.油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车.它将行驶过程中部分原本被浪费的能量

回收储存于内置的蓄电池中.汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃

油.某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：

油电混动汽车普通汽车

购买价格17.4815.98

每百公里燃油成本（元）3146

某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油

成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时,

预计平均每年行驶的公里数至少为（）

A.5000B.10000C.15000D.20000

二、填空题

9.因式分解：a2b—2ab+b—.

10.如图所示的网格是正方形网格，我们可以断定网格线交点A、B、C是否在同一直线上

11.如图，△ABC内接于。。，若。。的半径为6,鲍P，则5c的长为

r-31

⑵已知fix—1=。，求代数式0-嚏的值--------

13.某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的

高度xkm的几组对应值如表：

向上攀登的高度x/km0.51.01.52.0

气温y/℃2.0-0.9-4.1-7.0

若每向上攀登1km,所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km时,

登山队所在位置的气温约为℃.

14.如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B,。两处的标志物，数据显

示点8在点A南偏东75°方向20米处，点C在点4南偏西15°方向20米处，则点3与点。

的距离为米.

北

西东

15.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，

轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者

是斜着的方向）上连成五子者为胜.如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图.观

察棋盘，以点。为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A

的坐标为（7,5）,为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为的位置处.

16.矩形纸片按如图所示的方法折纸，并在图中连结AP后，下面所有

正确结论的序号是

①AABE和AECF一定相似；②XABE和AECF不可能全等;

③XhBE和口AEF不可能全等；④XABE和口AEF有可能相似.

三、解答题

17.计算：卜&|+0+tan450+

3（x-l）<6x

18.解不等式组'x+i,并写出它的所有整数解.

x<----

I2

19.下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线/及直线/上一点P.

求作：直线P。，使得尸Q，/.

作法：如图2：

①以点尸为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于点A,B；

②分别以点A,8为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点Q；

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接Q4,QB.

'：QA=,PA=,

：.PQ±l（）（填推理的依据）.

p1TP1

图1图2

20.已知关于x的方程，"炉-（m+2）x+2=0（w?/0）.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数"?的值.

21.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分NfiAD,交BC于点E,BF平分NABC,

交A。于点尸，AE与交于点P,连接EF,PD.

（1）求证：四边形"肝是菱形；

（2）若A3=4,A£>=6,ZABC=60°,求tan/AOP的值.

22.如图，在半圆弧A3中，直径AB=6cm，点M是A3上一点，MB=2cm,P为AB

上一动点，「。，45交48于点。，连接AC和CM,设A、P两点间的距离为MW,

A、。两点间的距离为ycm,C、M两点间的距离为必cm.小东根据学习函数的经验，

分别对函数X、%随自变量工的变化而变化的规律进行了探究:

F面是小东的探究过程，请补充完整:

(1)按照下表中自变量1的值进行取点、画图、测量，分别得到了弘，%与工的几组对应

值：

x/cm0123456

y/cm02.453.464.905.486

y2/cm43.753.463.162.832.452

(2)在同一平面直角坐标系X0Y中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y),(%,%)，

并画出函数乂，%的图象；

(3)结合函数图象，解决问题：当A4MC是等腰三角形时，线段AP的长约为.

23.如图，RfAABC中，ZA=90°,以A3为直径的口。交BC于点。，点E在□O上,

CE=CA,AB,CE,的延长线交于点尸.

(1)求证：CE与口。相切；

(2)若口。的半径为3,EF=4,求8。的长.

24.GOP是指一个国家(或地区)在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量

经济状况的最佳指标.截止2020年4月27日，对除西藏外的30个省区市第一季度有关GOP

的数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

图1

a.各省区市GOP数据的频数分布直方图，如图1(数据分成6组,各组是0<x«4,4<x48,

8<x<12,12<A,,16,16<x,,20,20<x<24)：

b.2020年第一季度GDP数据在这一组的是：4.64.95.05.15.35.46.37.47.57.87.8

c.30个省区市2020年第一季度及2019年GOP增速排名统计图，如图2：

d.北京2020年第一季度GOP数据约为7.5千亿，GOP增速排名为第22.

202晔第一季度GDHji源押名

图2

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在30个省区市中，北京2020年第一季度GDP的数据排名第.

（2）在30个省区市2020年第一季度及2019年GOP增速排名统计图中，请在图中用“。”

圈出代表北京的点.

（3）2020年第一季度GO尸增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年GDP增速排名

的最好成绩是第.

（4）下列推断合理的是.

①与2019年GOP增速排名相比，在疫情冲击下，2020年全国第一季度增速排名，部分省

市有较大下滑，如。代表的湖北排名下滑最多.

②A、8、C分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流入，

经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于2019年GDP增

速排名位置靠前.

25.在平面直角坐标系xOy中，函数y=E（x〉0）的图象G经过点（6』），

直线/:卜="+1（女。0）与图象G交于点A,直线y=攵与直线/交于点与图象G交于

点。

（1）求加的值;

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点AC之间的部分与线段A&BC围

成的区域（不含边界）为W

①当上=1时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围.

26.在平面直角坐标系X。），中，将点A（-4,2）向右平移6个单位长度，得到点3.

（1）直接写出点B的坐标；

（2）若抛物线y=—d+bx+c经过点A,5,求抛物线的表达式；

（3）若抛物线y=—V+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段A8有且

只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标f的取值范围.

27.如图，四边形A8C。是平行四边形，A,8是直线/上的两点，点8关于的对称点

为M,连接CM交A。于点尸.

（1）依题意补全图形；

（2）判断“尸与FC的数量关系，并证明你的结论;

（3）如图，当ZABC=135°时，AM,CD的延长线相交于点E,用等式表示线段CE与AF

的数量关系，并证明.

28.平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W,若图形W上存在一点N（点M,N可以

重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线/对称，则称点M与图形W是“中心轴对

称”的

对于图形叫和图形卬2,若图形叫和图形叱分别存在点M和点N（点M,N可以重合）,

使得点M与点N关于一条经过原点的直线/对称，则称图形叫和图形区是“中心轴对称“

的.

特别地，对于点M和点M若存在一条经过原点的直线/,使得点M与点N关于直线/对称,

则称点M和点N是“中心轴对称，的.

(1)如图1,在正方形ABCD中，点41,0)，点C(2,l),

J13]

①下列四个点耳(0,1),4(2,2),\2，2J中，与点A是“中心轴对称”

的是________

②点E在射线08上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标4的取

值范围;

(2)四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(-2,2),H(2,2),J(2,-2),K(一2,-2),

一次函数y=&图象与x轴交于点与y轴交于点M若线段与四边形GHJK是“中

心轴对称''的，直接写出b的取值范围.

29.附加题：对于某一函数给出如下定义：若存在实数P,当其自变量的值为P时，其函

数值等于P,则称。为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与

最小不变值之差4称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长

度q为零.例如，下图中的函数有o,1两个不变值，其不变长度q等于1.

(1)分别判断函数y=x-l,y=，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度

X

(2)函数y=2x?—fox.

①若其不变长度为零，求b的值；

②若1WAK3,求其不变长度＜?的取值范围；

(3)记函数丁=/-2x(x2〃。的图象为G，将5沿％=加翻折后得到的函数图象记为

.函数G的图象由G和G?两部分组成，若其不变长度q满足04443,则机的取值范

围为•

答案

1.B

2.D

解：由数轴可知。，b,c,”表示的数为一3,-1,2,3,

•.1-31=|3|,

与d互为相反数，

故选：D.

3.D

4.C

5.B

解：如图，

ADAE

-----=-----,

DBEC

AD2一，

.♦--=-,AE=6,

DB3

EC=9.

故选：B.

6.B

7.D

【详解】

_177+176+175+176

%=---------------------------=176,

4

_178+175+177+174

xz=---------------------------=176,

乙4

-[(177-176)2+(176-176)2+(175-176)2+(176-176)2]=0.5,

4

5;=±(178-176)2+(175-176/+(177-176)2+(174-176)2]=2.5

4

所以/=和，S,|,<5；.

故选D.

8.B

【解析】

设平均每年行驶的公里数至少为x公里，根据题意得：

3146

174800+—xxl0<l59800+—xx10,

100100

解得：应10000,即预计平均每年行驶的公里数至少为10000公里.

故选B.

9.-1)~

10.否

【解析】

如图，以点B为原点建立坐标系，设网格中小正方形的边长为1,

,:A、B、C为网格交点，

.•.点A坐标为(-2,3),点B坐标为(0,0),点C坐标为(2,-2),

设直线BC的解析式为y=kx,

：.-2=2k,

解得：k=-l,

，直线BC的解析式为y=-x,

•.,当x=-2时,y=2,点A坐标为(-2,3),

.•.点A不在直线BC上，即A、B、C是不在同一直线上.

11.4%

【详解】

连接OB、OC

VZA=60°

AZBOC=120°

・・・。0的半径为6

120^x6

•**BC的长==4万.

180

故答案为4万

12.5

x-31

解:

x-4x

x(x-3)九一4

x(x-4)x(x—4)

f—3x—x+4

x(x-4)

X2-4X+4

x2-4x

.2-4X+4X2-4X-1+55<

,.-X----=-------=—=5

X2-4XX2-4X-1+11

故答案为：5.

13.-10

14.20A/2

15.(3,7)或(7,3)

16.①③④

【解析】

解：由翻折的性质可得：N1+N3=N2,

Zl+Z3+Z2=180°,

N2=N1+N3=9O°,

矩形纸片ABCD（A3<AD）,

ZB=ZC=90°,

Nl+ZB4E=90°,

:.Z3=ZBAE,

.OABE^ECF,故①正确；

由①正确，则当BE=CT时，则AABE和△EC77全等；故②错误;

如图，连接AR由N2=ZB=90。，

当XABE和口AEF全等时，则AE=AF,

这与DAEF是直角三角形，且AF是斜边最长互相矛盾，

所以AABE和E1AEE不可能全等；故③正确；

由N2=ZB=90°,所以当NB4E=ZEAF时，

则△A5E和口4EE相似，故④正确，

综上；正确的有：①③④

AD

17.V2-4-

18.不等式组的解集是-1〈龙41,整数解为0,1

19.（1）见解析；（2）QB,PB,等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.

【分析】

（1）根据作图过程即可补全图形；

(2)根据等腰三角形的性质即可完成证明.

【详解】

解：(1)补全的图形如图2所示：

：Q4=Q8,PA=-PB,

：.PQLl(等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合).

故答案为：QB；PB-,等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.

20.(1)证明见解析；(2)正整数，"的值为1或2.

(1)证明：；m和，

△-(m+2)2-4mx2

=m2-4m+4

=(m-2)2,

而(m-2)2>0,即4>0,

•••方程总有两个实数根；

(2)解:(x-1)(mx-2)=0,

x-1=0或mx-2=0,

..2

..Xl=l,X2=—,

IT

当m为正整数1或2时，X2为整数，

即方程的两个实数根都是整数，

二正整数m的值为1或2.

21.(1)证明见解析；(2)

5

解：(1)：AE平分NBAD,BF平分/ABC

.♦.NBAE=/EAF,ZABF=ZEBF

VAD//BC

；./EAF=NAEB,/AFB=NEBF

.♦.NBAE=/AEB,NAFB=NABF

；.AB=BE,AB=AF

；.AF=AB=BE

VAD//BC

...四边形ABEF为平行四边形

又AB=BE

；.ABEF为菱形；

(2)作PHIAD于H

由NABC=60°而(1)可知NPAF=60°,PA=2,

则有PH=3AH=1,

；.DH=AD-AH=5

.\tanZADP=—.

5

22.(1)4.24；(2)见解析；(3)2或2.6

【详解】

解：(1)当x=3时，点P与点O重合，

贝yi=V(M2+OC2=3正”4.24，

故答案为4.24；

(2)描点(x,yj,画出函数X的图象：

(3)由图像可知，当AC=CM时，AP=2；当AM=CM时，AP=2.6,

线段AP的长约为2或2.6.

23.(1)见解析；(2)BD=3五

【详解】

证明：连接02OC

在A0EC与A0AC中，

0E=0A

<OC=OC

CE^CA

\OEC^^OAC

：.NOEC=ZOAC

-.-ZOAC=90°

NOEC=90°

OEJLC〈于E

.•.CT与口。相切

(2)解：连接AO,•.•NOEC=90。，

AOEF=900.•••口0的半径为3,，0石=04=3.

在放AOEF中，NOEF=90°,OE=3,EF=4,

：.OF^ylOE2+EF2=5

tan一、

EF4

在Rf△尸AC中，NE4c=90°,AF=AO+OF^S,

/.AC=AF-tanF=6

QA8为直径，/.AB=6=AC,ZADB=90°.

BD=—.在RfAABC中，ZBAC=90°,

2

BC=VAB2+AC2=672

BD=3舱.

24.(1)11；(2)如图见解析；(3)8；(4)①②.

解：(1)通过观察图1发现比7.5高的有8个省份，通过观察b组中的数据发现比7.5高的

有两个省份，

在30个省区市中，北京2020年第一季度GOP的数据排名第11,

故答案为：11;

(2)

202。年第一季度GDP*速播名

2019年GD2速抻名

(3)由上图可以看出在黑色虚线上方的数据都是GOP增速排名在北京之后的，而D对应

的省份在最左边，所以这就是满足条件的省份，观察图像可以得出对应的2019年GOP增

速排名为8,

故答案为：8；

(4)通过观察图2可以看出D对应的2019年GOP增速排名为8,但是2020年第一季度

GOP增速排名为30,所以下滑最多，故①正确；

通过观察图2可以看出：A、B、C对应的2019年GOP增速排名分别为：17、23、14,2020

年第一季度GOP增速排名分别为：1、7、4,所以相对于2019年GDP增速排名位置靠前，

故②正确；

故答案为：①②.

25.(1)加=6；(2)①1个；②七2或仁3或仁4或&25

解：(1)\•函数丫=生(8>0)的图象G经过点(6,1),

:.m=6.

(2)①当％=1时，两条直线分别为y=x+l,y=l,

.•.A（2,3）,B（O,1）,C（6,1）,

如图，可得区域W内整点只有(2,2),故区域W内整点的个数为1.

②若区域W内没有整点，k=2或上=3或&=4或％25.

26.(1)8(2,2)；(2)y=—f—2x+6；(3)-4<r<—3或0</5

解：(1)：点A的坐标为(-4,-2),将点A向右平移6个单位长度得到点B,

二点B的坐标为(-4+6,-2),即8(2,2)；

（2）•抛物线yu-V+bx+c过点

—16—4Z?+c=2b=-2

，解得《

-4+2/?+c=-2c=6

抛物线表达式为y=-x2-2x+6

(3)•抛物线y=-%2+法+。顶点在直线y=x+2上

抛物线顶点坐标为(，1+2)

••・抛物线表达式可化为y=—(x—/)2+/+2

把A(-4,-2)代入表达式可得—2=-(—4一厅+/+2

解得。=—3,J=T

-4W，<-3

把3(2,—2)代入表达式可得一(2-疔+/+2=-2

解得4=0,6=5,0<，45,

综上，结合图象可知f的取值范围时—4W/<—3或0<r«5.

27.(1)见解析；(2)FM=FC,证明见解析；(3)CE=&AF，证明见解析

【详解】

(1)如图：

(2)FM=FC

证明：过点M作MG//CD交AO于点G,连接AM,

VB,M关于A。对称，

.,.ZMAG=ZBAG,AB=AM,

•.•四边形ABC。为平行四边形，

/.ABHCD,

；MG〃CD,

，MG〃AB,

ZBAG=ZMGA,

；./MAG=NMGA,

AM=MG,

VAB=AM,AB=CD,

，MG=CD,

MG//CD,

：./MGF=NFDC,

NMFG=NCFD,

...AMFG冬kCFD,

FM=FC；

(3)CE与A尸的数量关系是CE=0AF

证明：取ME的中点“，并连结”尸，且尸为CM的中点,

:.FH//CE,FH=^CE,

ZABC=135°,口ABC£>中，ADUBC,

：.NBAD=180°-ZABC=45°,

由对称性，NMAD=/BAD=45°,

•：FHIICD,AB//CD,

.♦.FH〃AB,

:.NHFA=/BAD=45",

...NFHA=90°,HA=HF,

FH2+AH2=AF2，

2FH2=AF2，

•:FH^-CE,

2

•••2（gc£；）=A产，

-CE2=AF2,

2

:.CE=^AF.

273<b<2+273或2273<b<-2.

图1

@VOA=1,OPi=l,OP4=1,

，Pi,P4与点A是“中心轴对称”的,

故答案为Pl,P4.

②如图2中,

以。为圆心，0A为半径画弧交射线0B于E,以O为圆心，0C为半径画弧交射线0B于

F.

•.•在正方形ABCD中，点A(l,0),点C(2,1),

二点B(1,1),

••,点E在射线OB上，

设点E的坐标是(x,y),

则x=y,

即点E坐标是(x,x),

:点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，

/•当点E与点A对称时，则OE=OA=1,

过点E作EH_Lx轴于点H,则OH2+EH2=OE2,

，X2+X2=12,

解得X=Y2,

2

.••点E的横坐标XE=Y2,

2

、

同理可求点:-V-i-o/

22

\----------,------------)fr\-----,-----)

2222

.•.观察图象可知满足条件的点E的横坐标XE的取值范围：YZWXEW叵.

22

图3

当一次函数y=gx+b经过点G