电路分析第九章阻抗和导纳

第三部分动态电路的相量分析法和S域分析法第九章阻抗与导纳

一、正弦稳态电路：

在单一频率正弦电压、电流激励下，线性非时变渐近稳定电路中各支路电流和电压，均为与激励同频率的正弦波。二、本章的主要内容7.有效值、有效值相量。2.基尔霍夫定律与元件伏安关系的相量形式；3.阻抗、导纳的概念；4.相量模型、相量法；5.用相量法分析正弦稳态电路响应；6.相量模型的网孔分析法、节点分析法；1.相量9-1变换的概念原来的问题原来问题的解答变换域中较易的问题变换域中问题的解答一、变换方法的思路二、变换方法的三个步骤1.把原来的问题变换为一个较容易处理的问题；2.在变换域中求解问题；3.把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答。三、变换方法实例1）对数运算实例取对数（变换）取反对数（反变换）求解？2）变换方法的应用变换反变换xlgxy2.相量法也是变换法的具体应用。（把时间t的正弦函数变换为相应的复数（相量）后，解微分方程的特解的问题就可以简化为解代数方程的问题，且可进一步设法运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题。3)注意：1.对数变换域好比是另一个“世界”,有它自已规律,在那里,乘法成为加法,乘方成为乘法……。完成任务，还得回到我们这个真实世界。9-2复数的复习一、复数的定义:其中：二、复数的几何意义——在复平面上的一个点O+1+ja2a1A直角坐标形式亦称代数形式三、复数的极坐标形式其中：a—复数的模—复数的幅角四、复数的另一种几何意义——在复平面上的一个有向线段O+1+ja2a1

a工程上简写形式

极坐标形式亦称指数形式五、复数的两种形式的关系：欧拉公式：1.极坐标形式直角坐标形式(直接展开)+1+ja1a2

aO2.直角坐标形式极坐标形式（解直角△）

解

用极坐标形式表示复数，必须求出复数的模和幅角。其模总为正值，而求幅角时，必须要把a和b的符号保留在分子、分母内，以便按右图正确判断角所在象限，并注意取180°。

(2)A=-2+j8；(3)A=-6-j4。

(1)

A=4-j5=

/arctg(-5/4)=6.4/-51.34°幅角在第四象限(2)A=-2+j8=/arctg（8/-2）

=

8.25/180°-75.96°=8.25/104.04°

幅角在第二象限(3)A=-6-j4=/arctg-4/-6

=7.21/-180°+33.69°=7.21/-146.31°幅角在第三象限例把下列复数化成极坐标形式：(1)A=4-j5；第一象限第二象限第三象限第四象限+1+j例

把下列复数化为直角坐标形式1)552)3)54)55注意：1、两种形式的互换要熟练！2、互换中要保留实部、虚部符号，注意初相角的象限！六、复数的运算1.复数的相等两复数相等的充要条件是：或2.复数的相加——必须用直角坐标形式+1+ja1a1+b1a2+b2b2CABb1a2O+j+1ABBCO平行四边形法则3.复数的相减——必须用直角坐标形式+1A–BC+jB–B4.复数的乘法——两种形式都可以+1AC+j

a

a

bOB模扩大b倍幅角逆时针旋转

a5.复数的除法——两种形式都可以+1BC+j

a

bO

bA模缩小b倍幅角顺时针旋转

b一个复数乘以

j复数j的物理意义：

任一个复数乘以+j后，逆时针旋转90度；乘以-j顺时针旋转90度，故称j为90度旋转因子。结论：AjA例解下页上页例2解返回9-3相量一、相量：欧拉公式：说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。设：

u(t)=Umcos(t+Ψ)其中：意义：与时间无关，是复值常数，称为相量。1、含有正弦量振幅和初相角两个要素,可2、以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。+j+1OttOΨ

Um说明：相量Um按角速度逆时针旋转，在实轴上投影为Umcos(t+Ψ)，在虚轴上投影为Umsin(t+Ψ)，旋转矢量在复平面的投影为随时间变化的正弦量。二、正弦量的相量表示：2、由相量求正弦量：1、由正弦量求相量：例1写出下列正弦量对应的相量1)2)例2写出下列相量对应的正弦量1)82)5正误判断练习

实数瞬时值复数？

三、相量图+1+jOΨUmΨ相量在复平面上的有向线段。例：画出和相对应的相量图

.+1+jO1)线性性质定理一均匀性定理

若

为一实数即9-4相量的线性性质和微分性质定理二线性定理若

1,2为实数则

若干个正弦量线性组合的相量等于各个正弦量相量的同一线性组合。2)微分性质定理三微分定理若则定理三的推广：若则定理四：唯一性定理若其中，为复常数则反之亦然应用——用相量的概念求正弦量之和例1求.结果：例2求.结果：结论：1、用相量的概念分析正弦量的方法称为相量法。2、相量法可将正弦量的三角函数运算转化为相量的复数加减运算，可将

微积分运算转化为乘除运算，从而简化了正弦量的分析。9-5基尔霍夫定律的相量形式一、KCL：在正弦稳态中（具有相同频率）相量形式为或：二、KVL：或：例

.i1i2i3已知AA求i3解：结果：A解：已知VV求u3例+_+_+_u3u2u1结果：V9-6R，L，C元件伏安关系的相量形式在正弦稳态中：相量形式为：一、电阻元件iR+_u含义：UΨu=RIΨi即Ψu=Ψi+1+jOOtui说明：电阻两端正弦电压与正弦电流同相。模相等Ψu=Ψi幅角相等在正弦稳态中：相量形式为：二、电容元件iCCuC+_含义即说明：1）电流超前电压90°；2）电流与ω有关。

ω=0，相当于直流激励，电容开路。+1+jOOuit在正弦稳态中相量形式为三、电感元件+_iLLuL含义即说明：1）电流滞后电压90°；Oui+1+jO2）电压与ω有关。

ω=0，相当于直流激励，电感短路。例：R=4Ω，求：i。解：(1)用时域关系式(2)用相量关系式①②③结论：纯电阻电路,电压与电流同相,可直接用时域关系式求解。例：C=0.5F，求：u。解：用相量关系式①②③例：L=4H，求：i。解：用相量关系式①②③总结：用相量式求解三个步骤：①写出已知正弦量的相量；（正变换）②利用元件或电路的相量关系式进行运算；③由得出相量求出对应的正弦量（反变换）掌握计算器进行复数两种形式的转换553.13

4*

3+j4=?345

53.1*

553.1=?例1试判断下列表达式的正、误。L下页上页返回9-7VCR相量形式的统一阻抗与导纳的引入R+_+_+_+_Z概括阻抗一、引言二、阻抗定义：二端元件正弦电压、电流相量之比。或——欧姆定律的相量形式三、导纳定义：阻抗的倒数。——欧姆定律另一种相量形式牢记：说明：阻抗与导纳是复数称感抗称容抗称容纳称感纳一般：R>0X>0时，称呈感性X<0时，称呈容性一般：G>0B>0时，称呈容性B<0时，称呈感性1.直角坐标形式G—导纳的实部，称电导B—导纳的虚部，称电纳R—阻抗的实部，称电阻X—阻抗的虚部，称电抗2.极坐标形式——阻抗的模——阻抗的辐角

>0时，称为感性

<0时，称为容性

=0时，称电阻性——导纳的模——导纳辐角

>0时，称为容性

<0时，称为感性

=0时，称电阻性3.阻抗与导纳的关系:1)直角坐标形式2)极坐标形式1）复阻抗与复导纳是ω的函数2）阻抗适合元件串联3）导纳适合元件并联导纳单位：西门子(S)5）阻抗单位：欧姆(Ω)4）非关联参考方向加负号注意：例：已知：R=15Ω,L=30mH,C=83.3μF求：i。

解：用相量关系式①③+_RCiCLiiRiL②由KCL：注意一端口N0w的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变；一端口N0W中如不含受控源，则有或但有受控源时，可能会出现或其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；下页上页注意一端口N0w的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为返回9-8正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比

——相量模型的引入一、两类约束相量形式与电阻电路的比较相量形式时域形式1.KL:KCLKVL2.VcR:说明：正弦稳态相量形式与电阻电路约束形式完全相同。只要对换：结论：

直流电阻电路的任意分析方法均可用于正弦稳态电路分析。二、相量模型与相量分析法例：求i,uC

的稳态响应时域模型iRLC+_uC_+uS相量模型+_ZR+_ZLZC描述时间电量相互作用的电路模型称为时域模型在正弦稳态情况下，将时域模型中正弦量表示为相量，元件表示为阻抗或导纳，称为相量模型。2.KVL:VcR:USΨus_+_R+_+_+解：1.3.结论：相量法分析步骤1、画出电路的相量模型；（正变换）2、仿照直流电路的分析方法对相量进行

分析运算；3、把求得的相量变换成对应的正弦函数。

（反变换）包括：直接利用两类约束计算、网孔法、节点法、戴维南定理、叠加定理、等效化简法例+_i4

+__+us1us2uL0.002F0.08H图示电路处于正弦稳态中，已知VV，试求i和当us2=0时的uL+_4

+_-j5

j8

解：1.作相量模型V10V10+_9-9正弦稳态混联电路的分析2.相量分析依据VAR：8.1

3.AO8.1

相量图：V=16利用分压公式10求

uL:当uS2=0+_+_4

-j5

j8

V10Vo例is4

iL+_u0.002F0.08H图示电路处于正弦稳态中，A试求u和iL解：1.做相量模型+_10A2.相量分析根据VcR：1.相量模型+_10A3.反变换：VAVAO16.7

106.7

例：试求负载电流解：+_V+_+_VA2.相量分析：1)单独作用时，V_+V2)单独作用时，AA3)3.反变换电路如图(a)，已知电感电流解：1.作相量模型试用相量法求电流i(t),电压uC(t)和uS(t)。2.相量分析3.反变换9-10相量模型的网孔分析法和节点分析法Z11—自阻抗：组成该回路各支路上阻抗之和。Z12—互阻抗：两回路之间公共支路阻抗。网孔方程:节点方程:Y11—自导纳：该节点各支路导纳之和。Y12—互导纳：两节点之间公共支路导纳。例+_+_i1i2uS3

2i1图示电路处于正弦稳态中，已知试用网孔分析法求i1,i2解：1.作相量模型2.相量分析：列网孔方程3.反变换+__3

+V解：1.作相量模型+__+V节点分析法的相量形式2.相量分析：列节点方程例+_+_i1i2uS3

图示电路处于正弦稳态中，已知试用节点分析法求i1

电路如图(a)所示，已知R1=5

，R2=10

,

L1=L2=10mH，C=100

F，试用网孔分析和节点分析计算电流i2(t)解：1.作相量模型

1.网孔分析解得设两个网孔电流列出网孔电流方程2.节点分析列出节点电压方程解得再用相量形式的KVL方程求出电流等效

求图(a)单口的戴维南和诺顿等效电路。解：1、计算开路电压2、外施电压法求输出阻抗9-11相量模型的等效

两个单口网络相量模型的端口电压电流关系相同时，称此两个单口网络等效。一、无源二端网络相量模型的等效电路+－NO无源二端网络——输入阻抗——输入导纳（b）（c）阻抗等效电路

（d）（e）导纳等效电路

有两种等效电路，二者可以互相等效变换：1.输入阻抗2)若，呈容性，则等效为1)若，呈感性，则等效为RLRC2.输入导纳1)若B>0,则为GC2)若B<0,则为GL例：已知，分别求出时域电路模型解：1）

2）例：单口网络如图(a)所示，试计算该单口网络

=1rad/s和

=2rad/s时的等效阻抗及等效电路。解：画出

=1rad/s时的相量模型(b)，等效阻抗为注意：R、X、G、B均为ω函数，等效电路是指某一频率下的等效电路。例：单口网络如图（a）所示，已知

=100rad/s。

试计算等效阻抗和相应的等效电路。等效为一个电阻和电感的串联

二、几种常用的等效电路公式1.ZZ1Z2ZkZnZ2.YY1Y2YkYnY3.Z1Z2Z4.分压公式和分流公式分压公式阻抗的串联下页上页Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：下页上页Y1+Y2Yn－Y+-返回5._+++__+_6.7.+_ZsZs'三、含源单口网络相量模型的等效电路可以用一个独立电压源与阻抗的串联来代替；也可用一个独立电流源与阻抗

的并联来代替。

四、等效化简法的相量形式解：用电压源与电流源相互转换，化成单回路求解。例1：+_A求3.Z与Zcb

的模相等，虚部大小相等，符号相反+a_biNcCR图示电路处于正弦稳态中已知,，uab

与i同相,求N的等效阻抗Z例：解：ab+_cZ1.作相量模型9-12有效值有效值相量一、周期量有效值的定义x(t)tTO二、正弦量的有效值结论：三、有效值相量（相量）*

电网频率：中国50Hz；美国、日本60Hz*

有线通讯频率：300-5000

Hz*

无线通讯频率：

30

KHz-3×104

MHz小常识1.对串联电路的分析例图示电路处于正弦稳态中已知用相量图法求uo

与uS

的相位关系。+uS–+u