电路第五版课件 第十四章线性动态电路的复频域分析

14.1拉普拉斯变换的定义14.2拉普拉斯变换的基本性质14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开14.4运算电路14.5用拉普拉斯变换法分析线性电路14.6网络函数的定义14.7网络函数的极点和零点14.8极点、零点与冲激响应14.9极点、零点与频率响应第十四章线性动态电路的复频域分析1第七章研究了一阶电路和二阶电路的动态响应，应用电路定律和VCR建立微分方程，求解方程可得到时域内的解--------经典法。对含有多个动态元件的复杂电路，解高阶微分方程工作量很大。

积分变换法：通过积分变换把时域函数变为频域函数，从而把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程；求出频域函数后，再做反变换，返回时域，可求得解，而不需要确定积分常数。引言2§14-1拉氏变换的定义

§14-2拉氏变换的基本性质

§14-3拉氏反变换的部分分式展开《复变函数与积分变换》课程中学过的内容。3拉氏变换

拉氏变换法的核心是把f(t)与F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换化为复频域问题。F(s)(频域象函数)对应f(t)(时域原函数)由于解代数方程比解微分方程简单效，所以拉氏变换在线性电路分析中得到广泛应用。②将电流和电压的初始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中，初始条件成为变换的一部分。①把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程；两个特点：41.拉氏变换的定义定义

[0,∞)区间函数

f(t)的拉普拉斯变换式：拉氏变换积分区间从0-开始，将冲激函数也包含在内。s

为复数，称复频率5象函数F(s)

用大写字母表示,如：I(s)，U(s)原函数f(t)

用小写字母表示，如：i(t),u(t)F(s)=ℒ[f(t)]f(t)=ℒ-1

[F(s)]简写：62.典型函数的拉氏变换（应该记住）(1)单位阶跃函数

f(t)=

e(t)ℒ[e(t)]=s1(2)单位冲激函数f(t)=

d(t)ℒ[d(t)]=1(3)指数函数

f(t)=eat(a为实数)ℒ[eat]=s-a1(4)正弦函数

f(t)=

sin(

t)(5)余弦函数

f(t)=

cos(

t)ℒ[sin(

t)]=s2+

2

ℒ[cos(

t)]=s2+

2s

(6)斜坡函数

f(t)=

t

ℒ[t]=s21常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。一一对应关系-----拉氏变换对

73.本章频繁使用的拉氏变换的基本性质(1)线性性质设：ℒ[f1(t)]=F1(s)，则：ℒ[A1

f1(t)+A2

f2(t)](2)微分性质若ℒ[f(t)]=F(s)，该性质可将f(t)的微分方程化为F(s)的代数方程。(3)积分性质若ℒ[f(t)]=F(s)，则ℒ

∫0-tf(t)dt=s1F(s)ℒ[f2(t)]=F2(s)=A1F1(s)+A2F2(s)84.拉氏反变换f(t)=2pj1∫c-j∞c+j∞F(s)est

dt

若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具有的公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较复杂。工程上一般不采用这种方法。部分分式展开法：把F(s)分解为简单项的组合形式，可直接查表得原函数。F(s)=F1(s)+F2(s)+

f(t)=f1(t)+f2(t)+

反变换9

U(S)相量形式KCL、KVL元件复阻抗、复导纳相量形式电路模型类似地用拉氏变换求解线性电路的方法称为运算法§14-4运算电路.I已知u(t)i(t)

.U运算形式KCL、KVL元件运算阻抗、运算导纳运算形式电路模型

I(S)已知u(t)i(t)10运算法的思路：

显然，运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。①求出(激励、元件VCR和KL的)象函数；③列复频域的代数方程；②画出运算电路图；④求电路变量的象函数形式；⑤通过拉氏反变换，得所求电路变量的时域形式。11基尔霍夫定律的时域表示：根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路1.KCL、KVL的运算形式∑ℒ[i(t)]=

∑I(s)

=0∑ℒ

[u(t)]=

∑U(s)=0122.元件VCR的运算形式(1)电阻RR+-u(t)i(t)时域形式：u(t)=

Ri(t)ℒ[u(t)]=Rℒ

[i(t)]运算形式：U(s)=

RI(s)

或I(s)=GU(s)R+-U(s)I(s)运算电路运算阻抗运算导纳Z(s)=

RY(s)=G13运算导纳Y(s)=(2)电感L时域形式u(t)=

L+-U(s)I(s)sL1i(0-)sdt

di(t)得运算形式：运算阻抗Z(s)=sL或者写为：I(s)=sL1U(s)L+-u(t)i(t)si(0-)sL1sL+-U(s)I(s)+-Li(0-)U(s)=

sLI(s)-Li(0-)+附加电压源附加电流源取拉氏变换微分性质14(3)电容C时域形式：U(s)=sC1I(s)su(0-)+-U(s)I(s)+-sC1u(0-)su(t)=C1∫0-ti(t)dt

+u(0-)C+-u(t)i(t)或者写为：+-U(s)I(s)sCCu(0-)+I(s)=sCU(s)-Cu(0-)取拉氏变换积分性质运算阻抗Z(s)=sC1附加电压源附加电流源运算导纳Y(s)=sC15(4)耦合电感u1=

L1dtdi1

+

Mdtdi2sM-++-sL1sL2I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)-+L1i1(0-)Mi2(0-)+--L2i2(0-)++-Mi1(0-)-+M+-L1L2i1(t)i2(t)u1(t)u2(t)u2=

L2dtdi2

+

Mdtdi1电压电流关系为U1(s)=

sL1I1(s)+

sMI2(s)-L1i1(0-)-Mi2(0-)U2(s)=

sL2I2(s)+

sMI1(s)-L2i2(0-)-Mi1(0-)取拉氏变换微分性质互感运算阻抗ZM(s)=sM互感运算导纳YM(s)=1/sM16(5)受控源的运算形式i1bi1R+-u1+-u2i2I1(s)R+-+-U1(s)bI1(s)I2(s)U2(s)时域形式取拉氏变换i1=

Ru1i2=

bi1I1(s)=RU1(s)I2(s)=bI1(s)受控源的运算电路173.RLC串联电路的运算电路模型设：u(0-)=0，i(0-)=0时域方程u=Ri

+L

didt+1C∫0-tidt取拉氏变换U(s)=RI(s)+sLI(s)+sC1I(s)=(R+sL+sC1运算电路)I(s)sL+-U(s)I(s)RsC1L+-u(t)i(t)CRS+-+-=Z(s)I(s)（1）电路无初始储能18sL+-U(s)I(s)R+--+Li(0-)+-u(0-)ssC1U(s)=Z(s)I(s)I(s)=Z(s)U(s)=Y(s)U(s)运算形式的欧姆定律若u(0-)≠

0，i(0-)≠0运算电路L+-u(t)i(t)CRS+-+-时域电路（2）电路有初始储能19③电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。

注意

1.运算法可以直接求得全响应；2.用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中；运算电路的画法①电压、电流用象函数形式；sLR+-U(s)I(s)-+Li(0-)+-u(0-)s+-sC1②元件用运算阻抗或运算导纳表示；

3.附加电源的表示方法和方向。20§14-5应用拉氏变换法分析线性电路

相量法由直流电阻电路推广而来，运算法也是。所以运算法的分析思路与相量法非常相似，推广时引入拉氏变换和运算阻抗的概念：

i→I(s)，u→U(s)，R→Z(s)，G→Y(s)。

用运算法分析动态电路的步骤：

①由换路前的电路求初始值uC(0-),iL(0-)；

②将激励变换成象函数；

③画运算电路(注意附加电源的大小和方向)；

④用电阻电路的方法和定理求响应的象函数；

⑤反变换求原函数(得时域形式表达式)。21例1：电路处于稳态。t=0时S闭合，求i1(t)。解：①求初值+-Usi1(t)R1SCR2(t=0)L1W1V1F1W1HI1(s)I2(s)+-+-I1(s)11ss1s1s1iL(0-)=0，②求激励的象函数uC(0-)=

US

=1VUS(s)=

ℒ[1]=1/s③画运算电路④求响应的象函数(用回路法))

I1(s)

I2(s)=0I1(s)

(1

+

s+s1s1-s1(1

+s1)

I2(s)=s1-+I1(s)

=

I2(s)

=s(s2+2s+2)122⑤反变换求原函数s(s2+2s+2)=0有三个根：0，-1+j，-1-j

I1(s)=s(s2+2s+2)1s(s+1-j)(s+1+j)1=部分分式展开法求待定常数i1(t)

=ℒ[I1(s)]=(1+e-tcost-e-t

sint)A21原函数23例2：稳态时闭合S。求t≥0时的uL(t)。解：①求初值=1Aus25W+-us1iL(t)R1S(t=0)LR2+-us2+-uL2e–2tV5V5W1HR2+-UL(s)US1(s)=

ℒ[2e–2t

]=s+22US2(s)=

ℒ[5

]=5siL(0-)=②求激励的象函数③画运算电路注意UL(s)：计算动态元件电压或电流时，要包含附加电源在内。+-5WsL+-+-LiL(0-)5W①Us1(s)Us2(s)s2s+21Vs524UL(s)

51+51+s15(s+2)2+5s5-s1=+-UL(s)+-5Ws+-+-1V5W①s+225s④求响应的象函数(用结点法)整理：UL(s)=(s+2)(2s+5)2s=s+2-

4

+s+2.55

uL(t)=

ℒ-1[UL(s)]=(-4e–2t

+5e–2.5t

)V⑤反变换求原函数25例3：图示电路iS=d(t)

，uC(0-)=0，求uC(t)、iC(t)。解：①求初值②求激励的象函数③画运算电路④求响应的象函数uC(0-)=0IS(s)=

ℒ[d

(t)

]=1is+-ucGCIS(s)+-UC(S)GSC⑤反变换求原函数G+sCUC(s)=IS(s)uC(t)

=C1e(t)eRCt-26IS(s)+-UC(S)GSCiC(t)

=d

(t)

-1RCe(t)eRCt-27例4：电路处于稳态时打开S。求i(t)和电感元件电压。US(s)=ℒ[10

]=10/s-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)I(s)=2+3+(0.3+0.1)ss10+1.5解：①求初值iL1(0-)=i(0-)=5AiL2(0-)=0②求激励的象函数③画运算电路④求响应的象函数L1-+L2i(t)US=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+uL2+-uL1iL2(t)28整理s(0.4s+5)(1.5s+10)=s2+s+12.51.75I(s)=⑤反变换求原函数-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)UL1(s)=0.3sI(s)-1.5=-s+12.56.56-0.375UL2(s)=0.1sI(s)=-s+12.52.19+0.375uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]Vi(t)=ℒ-1[I(s)]=(2+1.75e-12.5t)AuL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]V29i(0-)=iL1(0-)=5A

i(t)=(2+1.75e-12.5t)A

uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V

uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VS打开瞬间，

在拉氏变换中，积分下限选取为0-，已自动把冲激函数计入在内，无需再分析复杂的换路过程。所以，当分析iL(t)或uC(t)有跃变情况的问题时，运算法不易出错。uL1(t)、uL2(t)中出现冲激电压。L1-+L2i(t)US=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+uL2+-uL1

讨论：但

uL1(t)+uL2(t)无冲激，回路仍满足KVL。i(0+)=3.75A，发生了跃变。30加e(t)后再求导，也会产生错误结果。因为e(t)的起始性把函数定义成t<0时为0。所以当电压或电流不为0时，一般不能在表达式中随意加e(t)。本例在求出i(t)后，不要轻易采用对i(t)求导的方法计算uL1(t)和uL2(t)，这会丢失冲激函数项:提示L1-+L2i(t)US=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+uL2+-uL1经典法有一定的局限性。i(t)=(2+1.75e-12.5t

)AuL1=

L1dtdi=-6.56e-12.5t

V丢失-0.375d(t)项。31§14-6网络函数的定义即H(s)delE(s)R(s)(S域)

1.网络函数的定义若电路在单一激励作用下，其零状态响应r(t)的象函数为R(s)与激励e(t)的象函数为E(s)之比，称为该电路的网络函数H(s)

。零状态e(t)r(t)E(s)R(s)322.网络函数的类型(1)驱动点函数驱动点阻抗驱动点导纳(2)转移函数转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-无源网络U(s)I(s)+-无源网络

网络函数H(S)仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关。33例

已知低通滤波器的参数，当激励是电压u1(t)

时，求电压转移函数和驱动点导纳函数。1.5H0.5H1W+-+-u2(t)C2u1(t)L1L3i2(t)i1(t)R34F解：用回路电流法)I1(s)I2(s)=U1(s)(sL1+sC21sC21-I1(s)=

0-sC21+sC21+R)I2(s)(sL3+解方程得：I1(s)=D(s)L3C2s2+RC2s+1U1(s)I2(s)=D(s)1U1(s)式中：D(s)

=L1L3C2

s3+RL1C2

s2+(L1+L2)s+RU2(s)U1(s)I1(s)U1(s)34代入数据：得D(s)

=

s3+2s2+2s+1I1(s)=D(s)L3C2s2+RC2s+1U1(s)I2(s)=D(s)1U1(s)电压转移函数为：U2(s)=RI2(s)

=I2(s)H1(s)=U2(s)U1(s)=D(s)1=

s3+2s2+2s+11驱动点导纳函数为：H2(s)=I1(s)U1(s)=3(s3+2s2+2s+1)2s2+4s+31.5H0.5H1W+-+-u2(t)C2u1(t)L1L3i2(t)i1(t)R34F35

结论：H(s)与冲激响应构成一对拉氏变换对。3.网络函数与冲激响应R(s)=H(s)E(s)当e(t)=

(t)时，E(s)=1。所以R(s)=H(s)r(t)=h(t)=

ℒ-1[H(s)]零状态

(t)1冲激响应零状态e(t)r(t)E(s)R(s)h(t)H(s)网络函数的原函数为电路的单位冲激响应。应用：由网络函数求取任意激励的零状态响应。36例1:已知激励

is=d(t)

求冲激响应h(t)=uc(t)is+-ucGCR(s)

=

H(s)E(s)零状态e(t)r(t)E(s)R(s)解：激励与响应属同一端口H(s)=E(s)R(s)=Is(s)Uc(s)=Z(s)Z(s)=G+

sC1=C1s+RC11为驱动点阻抗。h(t)=

ℒ-1[H(s)]=C1e(t)eRCt-冲激响应37例2:图示电路uS=0.6e-2t，冲激响应h(t)=5e-t，求uC(t)=?解线性无源电阻网络+-uSCuC+-H(s)=

ℒ[h(t)]=s

+15E(s)=

ℒ[uS(t)]=s

+20.6UC(s)=

R(s)=H(s)

E(s)=s

+15s

+20.6=s

+13-s

+23uC(t)=

ℒ-1[UC(s)]=3(e-t-e-2t)V38§14-7网络函数的极点和零点

由于H(s)定义为响应与激励之比，所以H(s)只与(网络)电路参数有关。在H(s)中不会包含激励的象函数。对于由

R、L(M)、C和受控源组成的电路来说，H(s)是s的实系数有理函数，其分子、分母多项式的根或是实数或是(共轭)复数。1.H(s)的一般形式H(s)=D(s)N(s)=ansn

+an-1sn-1+

+

a0bmsm

+bm-1sm-1+

+

b039写成H(s)=D(s)N(s)=

H0(s-p1)(s-p2)

(s-pj)

(s-pn)(s-z1)(s-z2)

(s-zi)

(s-zm)=

H0Pj=1n(s-pj)Pi=1m(s-zi)H0为常数z1、z2、

zm是N(s)=0的根，当s=zi

时，H(s)=0，称之为网络函数的零点；p1、p2、

pm是D(s)=0的根，当s=pi

时，H(s)

，称之为网络函数的极点。402.网络函数的零、极点分布图在s平面上，H(s)的零点用“○”表示，极点用“×”表示。这样就可以得到网络函数的零、极点分布图。的零、极点分布图。osjw[s平面]24-2-4-1-212×s3+4s2+

6s+32s2-12s+16解：对分子作因式分解2(s2-6s+8)=2(s-2)(s-4)对分母作因式分解(s+1)(s2+3s+3)例：求H(s)==(s+1)s+23+j23s+23-j23××41根据H(s)的定义可知，电路的零状态响应为：D(s)N(s)Q(s)P(s)R(s)=

H(s)E(s)

=H(s)、E(s)的分子和分母都是s的多项式，分母=0的根将包含D(s)=0和Q(s)=0的根。Q(s)=0的根与激励有关，属强制分量。D(s)=0的根只与网络(电路)参数有关，属自由分量。§14-8极点、零点与冲激响应设H(s)为真分式，且分母D(s)=0只有单根，则冲激响应h(t)=ℒ-1[H(s)]=ℒ-1∑i=1ns-piKi

=

∑i=1nKi

epit42极点位置不同，响应性质不同。osjw

冲激响应h(t)=ℒ-1[H(s)]=ℒ-1∑i=1ns-piKi

=

∑i=1nKi

epit43sj

以指数曲线为包络线的正弦函数∑i=1nKi

epith(t)=44

归纳sjwo×pito×pito××pipi*toto×pi×××pipi*to当pi为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，稳定电路不稳定电路当pi为共轭复数时，h(t)为衰减或增长的正弦函数；稳定电路不稳定电路s+p1H(s)

=s-p1H(s)=(s+p)2+w2wH(s)=(s-p)2+w2wH(s)=当pi为正实根时，h(t)为增长的指数函数；∑i=1nKi

epith(t)=45

结论当pi为虚根时，h(t)为纯正弦函数；s2+w2wH(s)=临界稳定s1H(s)=sjwopito×pi××to1④当pi为零时，h(t)为实数。极点在s

左半平面的电路动态响应是稳定的；极点在s

右半平面的电路动态响应是不稳定的；极点在s

平面的虚轴上，电路动态响应是临界稳定的。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。∑i=1nKi

epith(t)=46例1根据H(s)的极点分布情况分析uC

(t)的变化规律。解：US(s)为激励，

UC(s)为响应，C+-uC+-RLuS(t=0)SI(s)UC(s)=I(s)=R+sL+sC1US(s)sC1=s2LC+

sRC

+

1US(s)H(s)=

LC1(s-p1)(s-p2)1sC1式中p1、p2分别为：H(s)=UC(s)/US(s)为电压转移函数：p1=-2LR+2LR2-LC1p2=-2LR-2LR2-LC147p1=-d+jwd，p2=-d-jwdjwso×p1×p2-djwd×p2×p1(1)当0<R<2LC极点位于左半s平面。uC

(t)的自由分量为衰减的正弦振荡。极点离虚轴越远，衰减越快。极点离实轴远，振荡频率高。(2)R=0,p1=jwd，p2=-jwd极点位于虚轴，自由分量为等幅振荡。p1=-2LR+2LR2-LC12LRd=LCw0=1d2-w0wd

=2p2=-2LR-2LR2-LC1toto小于零48

p1、p2是两个不等的负实根。×p1×p2jwsop1=-2LR+2LR2-LC12LRd=LCw0=1d2+w0wd

=2(3)R>2LCuC

(t)的自由分量为两个衰减速度不同的指数项。极点离原点越远，衰减越快。uC

(t)中的强制分量取决于激励。以上根据H(s)的极点分布情况，定性地分析uC(t)的变化规律。p2=-2LR-2LR2-LC1to49H(j

)随

变化的特性---频率特性，即为频率响应。§14-9极点、零点与频率响应令H(s)中复频率s=j

，得到的H(j

)即为正弦稳态下的网络函数。对于某一固定的角频率，H(j

)为一复数。一、正弦稳态下的网络函数：二、频率特性和频率响应50其中：幅频特性|H(jw)|=H0nPj

=1|(jw

-pj)|i

=1Pm|(jw

-zi)|相频特性j(jw)=Si

=1marg(jw

-zi)-Sj

=1narg(jw

-pi)=ji

-Si

=1mSj

=1nqi

51(1)公式计算若已知网络函数的零点、极点，则可通过公式计算频率响应。(2)作图法①

Bode图；②几何求法。

定性描绘频率响应曲线，举例如下：具体分析方法52∠-qH0令H0

=解：(1)网络函数表达式+-u1+-u2RCj(jw)

=-q(jw)=-arctan(wRC)幅频特性：|H(jw)|=相频特性：一个极点例1定性分析RC串联电路的频率特性，u2为输出。H(s)==R

+sC1sC1s

+RC1RC1s

=RC-1RC1,s=jwH(jw)=jw

+RC1=MH0MH053j(jw)

=-arctan(wRC)幅频特性：|H(jw)|=相频特性：MH0(2)绘制频率特性曲线w=w1：|H(jw1)|=

H0/M1j(jw1)=-q1w=w2：|H(jw2)|=H0/M2j(jw2)=-q2w=w3：|H(jw3)|=H0/M3j(jw3)=-q3osjwjw1M1q1jw2M2q2jw3M3q3RC1×用几何求法算几个点：54j(jw)

=-arctan(wRC)幅频特性：|H(jw)|=相频特性：MH0(2)绘制频率特性曲线osjwjw1M1q1jw2M2q2jw3M3q3RC1×用几何求法算几个点：w=0：|H(j0)|=1j(j0)=0；w=wC

=RC1|H(jwC)|=21j(jwC)=-45o；w

：|H(j

)|=0j(j

)=-90o。特殊点55|H(jw)|

=jw

+

RC1osjwjw1M1q1jw2M2q2jw3M3q3RC1×j(jw)

=-q(w)

=

-arctan(wRC)=M(w)H0w=w1：|H(jw1)|=

H0/M1w=w2：|H(jw2)|=H0/M2w=w3：|H(jw3)|=H0/M3幅频特性|H(jw)|ow10.5w1w2wCw321H0/M1H0/M3H0/M2RC1w=0：|H(j0)|=1|H(jwC)|=w

：|H(j

)|=0w=wC

=RC12156wC

称为截止频率。或转折频率。该电路具有低通特性，通频带为wC

-0=wC

。wC

=RC1采用几何求法，要按比例画图，然后量长度M(w)和测角度q(w)

。此法虽不精确，但不用计算。当需要较准的曲线时，应多求一些点。幅频特性|H(jw)|ow10.5w1w2wCw321wCw1w2j(jw)ow-90ow3-45o相频特性q1q3q257三、已知电路组成，求频率响应的步骤：

1.画运算电路。2.求H(S)。3.

将H(S)中的“S”用代替得频率响H(j

)。58本章结束59

重点①KL、元件VCR的运算形式，运算电路；②运算法的求解步骤；③网络函数的定义与类型、极点与零点的概念。60部分分式展开法F(s)=D(s)N(s)=a0sm

+

a1sm-1+

···+bmb0sn

+

b1sn-1+

···+bn在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。当n>m时，F(s)为真分式；当n=m时，用多项式除法将其化为：F(s)=A

+D(s)N0(s)部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。611.D(s)=0只有单根K1、K2、···Kn

为待定系数。F(s)=s-p1K1+s-p2K2+···+s-

pnKnp1、p2、…、pn

为n个不同单根，可以是实数，也可以是(共轭)复数。将F(s)分解为：..确定方法如下：则原函数(1)实数

nf(t)=

∑Ki

epiti=162(2)共轭复根由于F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2必是共轭复数(证明从略)，即若K1=|Kg|

ejq1，则必有K2=|Kg|

e-jq1f(t)=K1e(a+jw)t+K2e(a-jw)t

=|Kg|ejq1e(a+jw)t+|Kg|e-jq1e(a

-jw)t=|Kg|eat

[ej(q1+wt)

+

e-j(q1+wt)]根据欧拉公式得：f(t)=2|Kg|eatcos(wt+q1)则原函数F(s)=s-

(a+jw)K1s-

(a-jw)K2+63若D(s)=0具有相等的实根，则D(s)中应含有(s-p1)n

的因式。设n=3，F(s)表示为p1为D(s)=0的三重根，确定K11、K12、K13。（1）把K11单独分离出来。2.重根64（2）把K12单独分离出来，同理：对式子中s进行一次求导，65多重根：确定