电力系统静态安全分析(20150612)

27十二月2023《电力系统静态安全分析》一、概述二、潮流计算三、静态等值四、预想事故评定五、安全控制策略27十二月2023目录一、概述

静态安全分析的目的和含义电力系统运行状态及转换能量管理系统27十二月2023主要内容（1）二、潮流计算潮流计算问题的数学模型潮流计算的基本方法

高斯-赛德尔法，牛顿-拉夫逊法，P-Q分解法直流法潮流计算保留非线性潮流算法灵敏度分析27十二月2023主要内容（2）三、静态等值等值的作用和本质

WARD等值、REI等值27十二月2023主要内容（3）四、预想事故评定支路开断模拟：直流法、补偿法、灵敏度分析法发电机开断模拟：直流法、静态频率特性法预想事故自动选择27十二月2023主要内容（4）五、安全控制策略预防控制：最优潮流校正控制紧急控制27十二月2023主要内容（5）参考书

《现代电力系统分析》 王锡凡主编《电力系统稳态分析》 陈珩主编 《电力系统状态估计》 于尔铿主编 《电力系统静态安全分析》 吴际舜《高等电力网分析》张伯明《电力系统故障分析》 刘万顺参考书1、电力系统静态安全分析吴际舜2、电力系统安全分析与控制邹森3、电力系统分析（上）诸俊伟4、高等电力网络分析张伯明5、现代电力系统分析王锡凡6、中国期刊网上的文献教材电子版下载地址：百度云盘账号：ee_nedu@163.com密码：nedu1234刘万顺

一、概述随着系统总容量的增加，网络的不断扩大，系统出现故障的可能性也日趋增加。最终导致用户供电中断。为保证供电持续性，要求系统安全可靠。可靠性：在互连系统规划设计方面，当出现故障，系统保证对负荷持续供电的能力。是一个长时间的概念。安全性：在互连系统的运行方面，当出现故障，保证对负荷持续供电的能力。是时变的或瞬时性问题。安全分析的迫切性60年代中期的大停电事故促进了安全分析进展1965年11月9日美国东北部大停电损失25000MW，停电13h1967年6月5日美国PJM系统大停电损失10000MW，停电12h输电线路过负荷，导致连锁跳闸！！！安全分析的目的：提高系统安全性。必须从系统规划、系统调度操作、系统维修等方面统一考虑，最终体现在系统运行条件上。电力系统运行条件用四种状态来描述：安全正常状态不安全正常状态紧急状态恢复状态对安全的解释，在实用中更确切地用正常供电情况下，是否能保持潮流及电压模值等在允许的范围以内表示。等式的约束形式：g(x)=0.

式中：x为系统运行的状态量。可以认为是功率平衡。

电力系统运行状态（1）

在具有合格电能质量的条件下，有关设备的运行状态应处于其运行限值以内，即没有过负荷。即：Uimin≤Ui≤UimaxPkmin≤Pi≤PkmaxQkmin≤Qi≤Qkmax

也可写成：h(x)≤0综上所述：电力系统正常运行时应同时满足等式和不等式两种约束条件。这时处于运行的正常状态。电力系统运行状态（2）电力系统运行状态（3）正常状态的电力系统可分为安全正常状态与不安全正常状态。已处于正常状态的电力系统，在承受一个合理的预想事故集（contingencyset）的扰动之后，如果仍不违反等约束及不等约束，则该系统处于安全正常状态。如果运行在正常状态下的电力系统，在承受规定预想事故集的扰动过程中，只要有一个预想事故使得系统不满足运行不等式约束条件，就称该系统处于不安全正常状态。预防控制：使系统从不安全正常状态转变到安全正常状态的控制手段。电力系统运行状态（4）电力系统安全分析就是应用预想事故分析的方法来预见知道系统是否存在隐患，即处于不安全正常状态，采取相应的措施使之恢复到安全正常状态。静态安全分析：用来判断在发生预想事故后系统是否会发生过负荷或电压越限等。暂态安全分析：判断系统是否会失稳。电力系统运行状态（5）紧急状态：运行在只满足等式约束条件但不满足不等式的状态。持久性的紧急状态：没有失去稳定性质，可通过校正控制使之回到安全状态。稳定性的紧急状态：可能失去稳定的紧急状态。通过紧急控制到恢复状态。紧急控制一般包括甩负荷，切机，解列控制。电力系统运行状态（6）系统经紧急控制后回到恢复状态，此时系统可能不满足等式约束，而满足不等式约束，或一部分满足约束，另一部分不满足。对处于恢复状态的系统，一般通过恢复控制使之进入正常状态。恢复控制是指系统发生故障，部分负荷停电甚至处于解列状态乃至全网停电后，在尽量少的时间内，最大限度地恢复系统至新的正常运行状态的控制过程。在数学上被描述为一个多目标、多阶段、非线性、并带多个约束条件的组合优化问题。智能技术、数值优化算法与传统控制方法的结合是解决恢复控制问题的主要手段。电力系统运行状态（7）©版权所有能量管理系统（EMS）包括SCADA、安全监控及其它调度管理与计划的功能系统。基础：SCADA、状态估计、安全分析运行控制：自动发电控制、负荷控制、电压控制、调度员培训仿真等。电能管理：发电计划、经济调度、负荷预测、电能交易评估、运行规划等。二、潮流计算27十二月2023

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的基本电气计算。第一节概述电力系统常规潮流计算：根据给定的网络结构及运行条件，求出整个网络的运行状态。运行状态包括：母线的电压、网络中的功率分布及功率损耗等。离线计算:规划设计;运行方式分析;其他计算的配合在线计算:安全监控和安全分析潮流计算是电力系统中应用最为广泛、最基本和最重要的一种电气计算。潮流计算的应用场合

潮流计算问题在数学上属于多元非线性代数方程组的求解问题，需要采用迭代计算方法进行求解。

20世纪50年代中期起，电力系统潮流计算的研究就是如何使用电子计算机计算电力系统的潮流问题。潮流计算的本质

对于潮流算法，其基本要求可归纳成以下四个方面：（1）计算速度；（2）计算机内存占用量；（3）算法的收敛可靠性；（4）程序设计的方便性以及算法扩充移植等的灵活通用性。潮流计算的基本要求

电力系统由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成。进行潮流计算时，发电机和负荷一般可用接在相应节点上的一个电流注入量表示。电力网络中的变压器、输电线路、电容器、电抗器等元件可用集中参数表示的由线性电阻、电抗构成的等值电路模拟。第二节潮流计算问题的数学模型

对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析。节点电压与节点注入电流之间的关系为:或第二节潮流计算问题的数学模型式中：Y是导纳矩阵，对角元是节点i的自导纳，非对角元是节点间的互导纳。

分别是节点注入电流列向量及节点电压列向量第二节潮流计算问题的数学模型

展开为或第二节潮流计算问题的数学模型

在实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此用节点功率代替节点电流,得

(1-6)或

(1-7)

第二节潮流计算问题的数学模型

上两式是潮流计算问题的基本方程式，是一个以节点电压为变量的非线性代数方程组。而采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。由于方程组为非线性的，因此必须采用迭代方法进行数值求解。根据对方程组的不同处理方式，形成了不同的潮流算法。第二节潮流计算问题的数学模型

对于电力系统中的每个节点，需要P、Q

、U和相角四个变量才能确定其运行状态。n个节点总共有4n个运行变量。而基本方程式只有n个,将实部与虚部分开，则形成2n个实数方程式，仅可解得2n个未知运行变量。必须将另外2n个变量作为已知量而预先给定。也即对每个节点，要给定两个变量为已知条件，而另两个变量作为待求量。第二节潮流计算问题的数学模型

根据电力系统的实际运行条件，按照预先给定的变量的不同，电力系统的节点可分成PQ节点、PV节点及平衡节点三种类型。对平衡节点来说，其电压相角一般作为系统电压相角的基准。第二节潮流计算问题的数学模型

交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示或而复数导纳为第二节潮流计算问题的数学模型

将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式(1-6)，并将实部与虚部分开，可得到两种形式的潮流方程。第二节潮流计算问题的数学模型直角坐标形式

(1-11)(1-12)极坐标形式

(1-13)(1-14)第二节潮流计算问题的数学模型

若以p、u、x分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则潮流方程可以用更简洁的方式表示为

(1-15)

根据式(1-15)，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量p，根据给定的控制变量u，求出相应的状态变量x。第二节潮流计算问题的数学模型一高斯-塞德尔法以导纳矩阵为基础，并应用高斯-塞德尔迭代的算法是电力系统应用最早的潮流计算方法。第三节潮流计算的基本方法高斯—塞德尔迭代法原理已知方程组

用高斯-塞德尔求解（ε<0.01）。解：（1）将方程组 改写成迭代公式：（2）设初值；代入上述迭代公式直到|x(k+1)-x(k)|<ε三．潮流计算的几种基本方法

讨论电力系统中除1个平衡节点外，其余都是PQ节点的情况。由式(1-6)可得

(1-16)

式中：、为已知的节点注入有功、无功功率。第三节潮流计算的基本方法

假定节点l为平衡节点，其给定电压为。平衡节点不参加迭代。于是对应于这种情况的高斯-塞德尔迭代格式为

(1-17)

上式是该算法最基本的迭代计算公式。其迭代收敛的判据是第三节潮流计算的几种基本方法

本算法的突出优点是原理简单，程序设计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因此占用内存非常节省。该算法的主要缺点是收敛速度慢。由于各节点电压在数学上松散耦合，所以节点电压向精确值的接近非常缓慢。另外，算法的迭代次数随着网络节点数的增加而上升，因此在用于较大规模电力系统的潮流计算时，速度显得非常缓慢。第三节潮流计算的几种基本方法

为提高算法收敛速度，常用的方法是在迭代过程中加入加速因子，即取式中：是通过式(1-17)求得的节点i电压的第k+1次迭代值；是修正后节点i电压的第k+1次迭代值；为加速因子，一般取。第三节潮流计算的几种基本方法

对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯-塞德尔迭代法往往会发生收敛困难：

(l)节点间相位角差很大的重负荷系统；

(2)包含有负电抗支路（如某些三绕组变压器或线路串联电容等）的系统；

(3)具有较长的辐射形线路的系统；

(4)长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比值又很大的系统。此外，选择不同的节点为平衡节点，也会影响到收敛性能。第三节潮流计算的几种基本方法

为克服基于节点导纳矩阵的高斯-塞德尔迭代法的这些缺点，现常用的是牛顿-拉夫逊法。目前基于节点导纳矩阵的高斯-塞德尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代初值要求比较高的算法提供初值，一般只需迭代1～2次就可以满足要求。

第三节潮流计算的几种基本方法二牛顿-拉夫逊法（一）牛顿-拉夫逊法的一般概念牛顿-拉夫逊法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程。第三节潮流计算的几种基本方法牛顿法解非线性方程原理：将非线性方程线性化

——Taylor展开取x0

x*，将f(x)在x0

做一阶Taylor展开:，

在x0

和x*

之间。将(x*

x0)2

看成高阶小量，则有：线性xyx*x0x1迭代公式：几何认识

又称切线法。平方收敛性。

下一步迭代第k+1步迭代例题

将非线性代数方程组

(1-22)

在待求量的某一个初始估计值附近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到线性化方程组

(1-24)

称为牛顿法的修正方程式。牛顿-拉夫逊法

由上式根据初值可求得第一次迭代的修正量

(1-25)

将和相加，得到变量的第一次改进值。牛顿-拉夫逊法

因此，应用牛顿法求解的迭代格式为

(1-26)(1-27)

上两式中：是函数对于的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵，为迭代次数。牛顿法当初值和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。牛顿-拉夫逊法（二）牛顿潮流算法的修正方程式将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采用的数学表达式以及复电压变量采用的坐标形式的不同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。以下讨论用得最广泛的采用功率方程式模型，而电压变量分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。牛顿-拉夫逊法1极坐标形式令，对每个节点及节点，根据式(1-13)，有

(1-28)

对每个节点，根据式(1-14)，有

(1-29)牛顿-拉夫逊法

将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式

(1-30)

式中：为节点个数，为节点数，雅可比矩阵是阶非奇异方阵。牛顿-拉夫逊法

雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿-拉夫逊法2直角坐标形式令，此时每个节点，都有两个方程式。因此共有个方程式。对每个PQ

节点，根据式(1-11)和式(1-12)有：

(1-39)(1-40)牛顿-拉夫逊法

对每个节点，除了有与式(1-39)相同的有功功率方程式之外，还有

(1-41)

采用直角坐标形式的修正方程式为

(1-42)牛顿-拉夫逊法雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法

分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。

(1)修正方程式的数目分别为及个，在节点比例不大时，两者的方程式数目基本接近个。

(2)雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。牛顿-拉夫逊法(3)从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素是否为零。如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个阶子阵作为分块矩阵的元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。牛顿-拉夫逊法(4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于，所以雅可比矩阵不是对称阵。修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序特点，在设计算法时应重点考虑。牛顿-拉夫逊法牛顿潮流算法修正方程式示例示例系统：6节点系统，3为PV节点，6为平衡节点。导纳矩阵结构：（三）修正方程式的处理和求解有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键。结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。

1对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。牛顿-拉夫逊法2修正方程式的求解过程，采用对包括修正方程常数项的增广矩阵以按行消去的方式进行消元运算。由于消元运算按行进行，因此可以边形成增广矩阵，边进行消元运算，边存储结果，即每形成增广矩阵的一行，便马上进行消元，并且消元结束后便随即将结果送内存存储。

牛顿-拉夫逊法

3节点编号优化。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由于消元过程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。牛顿-拉夫逊法

节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少。牛顿-拉夫逊法

节点编号优化通常有三种方法：(1)静态法―按各节点静态连接支路数的多少顺序编号。由少到多编号；(2)半动态法一按各节点动态连接支路数的多少顺序编号；(3)动态法一按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。消去节点后出现新支路数最少的节点。牛顿-拉夫逊法

三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般认为，采用半动态法似乎是较好的选择。牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法（四）牛顿潮流算法的特点

1）其优点是收敛速度快，若初值较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4～5次便可以收敛到非常精确的解，而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。

2）牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对高斯-塞德尔法呈病态的系统，牛顿法均能可靠地敛。牛顿-拉夫逊法3）初值对牛顿法的收敛性影响很大。解决的办法可以先用高斯-塞德尔法迭代1～2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。牛顿-拉夫逊法

三P-Q分解法随着电力系统规模的日益扩大以及在线计算的要求，为了改进牛顿法在内存占用量及计算速度方面的不足，人们开始注意到电力系统有功及无功潮流间仅存在较弱联系的这一特性，于是产生了一类具有有功、无功解耦迭代计算特点的算法。

第三节潮流计算的几种基本方法

在70年代提出的P-Q分解法是在广泛的数值试验基础上挑选出来的最为成功的一个算法，它无论在内存占用量以及计算速度方面，都比牛顿法有较大的改进，从而成为当前国内外最优先使用的算法。

P-Q分解法（一）P-Q分解法原理由于交流高压电网中输电线路等元件的，因此有功功率的变化主要决定于电压相位角的变化，而无功功率的变化则主要决定于电压模值的变化。这个特性反映在牛顿修正方程式的元素上，是N及M二个子块元素的数值相对于H、L二个子块的元素要小得多。P-Q分解法

简化的第一步，将N、M略去不计，得到如下巳经解耦的方程组

(1-55)(1-56)

这一简化将原来阶的方程组分解为两个分别为阶和阶的较小的方程组，显著地节省了内存需求量和求解时间。但H和L的元素仍然是节点电压的函数且不对称。P-Q分解法

进一步并且是很关键的简化基于在实际的高压电力系统中，下列的假设一般都能成立。

(1)线路两端的相角差不大(小于

)，而且，可以认为

(1-57)(2)与节点无功功率对应的导纳通常远小于节点的自导纳，即

(1-58)P-Q分解法

计及上两式后，H及L各元素表示式可简化为(l-59)(1-60)于是H和L可表示成

(1-61)(l-62)式中：U是由各节点电压模值组成的对角阵。由于PV节点的存在，的阶数不同，分别为阶和阶。

P-Q分解法P-Q分解法P-Q分解法P-Q分解法的修正方程式将式(1-61)和式(1-62)代入式(1-55)和式(1-56)，得

(l-63)(1-64)

这两式中的系数矩阵由节点导纳矩阵的虚部所组成，从而是一个常数且对称的矩阵。P-Q分解法为加速收敛，目前通用的P-Q分解法又对的构成作了进一步修改。

(l)在形成时略去那些主要影响无功功率和电压模值，而对有功功率及电压角度影响很小的因素。这些因素包括:输电线路的充电电容以及变压器非标准变比。P-Q分解法(2)为减少在迭代过程中无功功率及节点电压模值对有功迭代的影响，将式(1-63)右端U的各元素均置为标么值1.0，即令U为单位阵。(3）在计算时，略去串联元件的电阻。P-Q分解法于是，目前通用的P-Q分解法的修正方程式可写成

(l-65)(l-66)

与不仅阶数不同，而且其相应元素的构成也不相同，具体计算公式为：

P-Q分解法：为节点导纳矩阵元素P-Q分解法：为网络元件电阻和电抗：为节点i的总并联对地电纳

（二）P-Q分解法的特点：

(1）用解两个阶数几乎减半的方程组（阶和阶）代替牛顿法的解阶方程组，显著地减少了内存需求量及计算量。P-Q分解法(2）牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解，而P-Q分解法的系数矩阵和是常数阵，因此只需形成一次并进行三角分解组成因子表，在迭代过程可以反复应用，显著缩短了每次迭代所需的时间。

P-Q分解法(３）雅可比矩阵不对称，而和都是对称阵，为此只要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，减少了三角分解的计算量并节约了内存。

由于上述原因，P-Q分解法所需的内存量约为牛顿法的60%，而每次迭代所需时间约为牛顿法的1/5。P-Q分解法图1-3牛顿法和P-Q分解法的典型收敛特性NR－牛顿法；FDLF－P-Q分解法P-Q分解法P-Q分解法KP和KQ分别表征有功及无功迭代收敛收敛情况的记录单元，只有当二者均为0时整个潮流计算才算收敛。简单、快速、内存节省及较好的收敛可靠性形成了快速解耦法的突出优点，成为当前使用最为普遍的潮流计算方法。不仅大量用在规划设计等离线计算的场合，也已广泛地在安全分析等在线计算中得到应用。（三）元件大比值病态问题从牛顿法到P-Q分解法的演化是在元件以及线路两端相角差较小等简化基础上进行的，因此当系统存在不符合这些假设的因素时，就会出现迭代次数增加甚至不收敛的情况。P-Q分解法

这其中以出现元件大比值的情景最多，如低电压网络，某些电缆线路，三绕组变压器的等值电路以及通过某些等值方法所得到的等值网络等均会出现大部分或个别支路比值偏高的问题。

大比值病态问题已成为P-Q分解法应用中的一个最大障碍。P-Q分解法

解决这个问题的途径主要有以下两种。

1对大比值支路的参数加以补偿；

2对算法加以改进。

1对大比值支路的参数加以补偿补偿方法：分串联补偿法和并联补偿法两种。P-Q分解法(1)串联补偿法这种方法的原理见图1-6，其中为增加的虚构节点，为新增的补偿电容。数值的选择应满足支路的条件。P-Q分解法图1-6对大R/X比值支路的串联补偿(a)原支路；(b)补偿后的支路

P-Q分解法

这种方法的缺点是如果原来支路的比值非常大，从而使的值选得过大时，新增节点的电压值有可能偏离节点及的电压很多，这种不正常的电压将导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。P-Q分解法(2)并联补偿法。如图1-7所示，经过补偿的支路的等值导纳为仍等于原来支路的导纳值。并联补偿新增节点的电压不论的取值大小都介于支路两端电压之间，不会产生病态的电压现象。

P-Q分解法图1-7对大R/X比值支路的井联补偿(a)原支路；(b)补偿后支路P-Q分解法2对算法加以改进为了克服P-Q分解法在处理大比值问题上的缺陷，许多研究工作立足于对原有算法加以改进，希望能找到一种方法，既能保待P-Q分解法的基本优点，又能克服大比值问题带来的收敛困难。P-Q分解法

提出的这一类算法中，基本上保留了原来P-Q分解法的框架，但对修正方程式及其系数矩阵的构成作出各种不同的修改。P-Q分解法

下面介绍一种较常用的方法。前面提到，在构成的元素时不计串联元件的电阻，仅用其电抗值（），而在形成的元素时则仍用精确的电纳值()，称之为方案。与此相对应，组成P-Q分解法还可以有、和方案。在不同的试验网络上进行的大量计算实践表明，处理大比值问题上的能力以方案最差，方案稍好，方案最好。P-Q分解法

为解决大比值病态问题，参数补偿和改进算法这两种途径各有利弊。使用补偿法要增加一个节点，当网络中大比值的元件数目很多时将使计算网络的节点数增加很多。采用改进算法不存在这个问题。但目前已提出的一些改进算法并不能完全免除对元件比值的敏感性。当某个元件的比值特别高时，算法所需的迭代次数仍将急剧上升或甚至发散。P-Q分解法

牛顿法求解潮流采用的是逐次线性化方法。20世纪70年代后期，人们开始考虑采用更精确的数学模型，将泰勒级数的高阶项考虑进来，以提高算法的收敛性能及计算速度，于是便产生了一类称之为保留非线性的潮流算法。因为其中大部分算法主要包括了泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项，所以也称为二阶潮流算法。第四节保留非线性潮流算法

这种想法的第一个尝试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的二阶项，所得算法对收敛性能略有改善，但计算速度无显著提高。后来，人们根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程组的这一特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法，在速度上比牛顿法有较大提高，引起了广泛重视。第四节保留非线性潮流算法

一保留非线性快速潮流算法（一）数学模型采用直角坐标形式的潮流方程为：

(1-68)

是一个不含一次项的二次代数方程组。

第四节保留非线性潮流算法

对这样的方程组用泰勒级数展开，不存在二阶以上的高阶项，只要取三项就能够得到一个没有截断误差的精确展开式。因此从理论上，若能从这个展开式设法求得变量的修正量，并用它对初值加以修正，则只要一步就可求得方程组的解。

第四节保留非线性潮流算法

为推导方便，将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式。这里先定义：

n维未知变量向量

n维函数向量

n维函数给定值向量第四节保留非线性潮流算法

一个具有n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为第四节保留非线性潮流算法(1-69)于是潮流方程组可写成如下的矩阵形式：

(1-70)或(1-71)

第四节保留非线性潮流算法

式(1-70)中，系数矩阵为：

第四节保留非线性潮流算法(1-72)

（二）泰勒级数展开式对式(1-69)在初值附近展开，可得到没有截断误差的精确展开式为：

(1-73)即(1-74)

第四节保留非线性潮流算法

式中：为修正量向量。为雅可比矩阵。第四节保留非线性潮流算法

是一个常数矩阵(海森矩阵)，其阶数很高，但高度稀疏。第四节保留非线性潮流算法式(1-74)的第三项相当复杂，经推导可将式(1-74)改写成

(1-77)

第四节保留非线性潮流算法(1-74)

（三）数值计算迭代公式

式(1-77)是以为变量的二次代数方程组，从一定的初值出发，求解满足该式的仍然要采用迭代的方法。式(1-77)可改写成

(1-82)

于是算法的具体迭代公式为：

(1-83)第四节保留非线性潮流算法式中：为迭代次数；按估计而得。进行第一次迭代时，，令,同牛顿法的第一次迭代计算完全相同。算法的收敛判据为

(1-84)也可以采用(1-85)作为收敛判据。式(1-85)是比式(1-84)更合理的收敛判据。第四节保留非线性潮流算法保留非线性快速潮流算法框图第四节保留非线性潮流算法

（四）算法特点及性能估计下面同牛顿法进行比较,分析保留非线性快速潮流算法的特点。设求解的方程是，牛顿法的迭代公式是

(1-86)保留非线性快速潮流算法的迭代公式是

(1-87)第四节保留非线性潮流算法算法特点1）保留非线性快速潮流算法采用的是用初值计算而得的恒定雅可比矩阵，整个计算过程只需一次形成，可用三角分解构成因子表。所以每次迭代所需时间可以节省很多。

第四节保留非线性潮流算法2）两种算法的含义不同。牛顿法的是相对于上一次迭代所得到的迭代点的修正量；而保留非线性快速潮流算法的则是相对于始终不变的初始估计值的修正量。

3）保留非线性快速潮流算法达到收敛所需的迭代次数比牛顿法要多，但由于每次迭代所需的计算量比牛顿法节省很多，所以总的计算速度比牛顿法可提高很多。

第四节保留非线性潮流算法4）由于不具对称性质的雅可比矩阵经三角分解后，其上下三角元素都需要保存，和牛顿法的一种方案仅需保存上三角元素相比，此算法所需的矩阵存储量将比要牛顿法增加35%~40%。

5）由于利用以初始值计算得到的恒定雅可比矩阵进行迭代，初始值的选择对保留非线性快速潮流算法的收敛特性有很大影响。第四节保留非线性潮流算法图l-9两种算法迭代过程的比较(a)牛顿法迭代过程；(b)保留非线性法迭代过程

第四节保留非线性潮流算法保留非线性快速潮流算法比牛顿法优越但与快速解耦法相比从计算速度稍慢内存相差太大研究并开发在内存需求量和计算速度方面能接近P-Q分解法，但对某些病态系统（如大比值或串联电容支路等）的计算又胜于后者的算法一直是研究人员所追求的目标。一种采用直角坐标的包括二阶项的快速算法支路潮流：极坐标法展开：假设条件：第五节直流法潮流计算（1-89）简化为：节点i注入功率：整理：第五节直流法潮流计算（1-90）（1-91）（1-92）数学模型：第五节直流法潮流计算（1-93）（1-94）1、简单快速，能够适应实时安全分析之需要；2、精度不高；3、只能分析线路有功，没有考虑电压、无功问题。第五节直流法潮流计算直流法小结：第六节灵敏度矩阵灵敏度分析是研究系统稳态运行的一种常用方法。主要研究电力系统可控变量与状态变量之间的相互变化关系。电力系统的稳态运行条件，可用一组非线性网络方式来描述（紧凑形式）：其中，[x]为应变量或状态变量列向量，[y]为自变量或规定变量列向量，通常由可控变量列向量u和固定参量列向量p组成。（1-95）第六节灵敏度矩阵为了求得可控变量发生变化时，对各状态变量的影响，可将非线性方程式在特定的运行点[x0]处，展开成泰勒级数并略去高阶项，即得如下灵敏度方程式：（1-96）（1-97）第六节灵敏度矩阵如果[u]取作各节点注入功率Pi和Qi，[x]取各节点的电压模值Vi和相角，则潮流算法中的Jacobi矩阵之逆就是一种灵敏度矩阵。利用一阶灵敏度分析的有效性取决于运行状态下的系统线性度。如果系统异常非线性，那么该方法就可能不令人满意。

一般地，系统在正常运行条件下，其功率方程式通常是接近线性的，但在异常运行条件下，方程式可能变得极不线性。27十二月2023三、静态等值外部网络静态等值概述

目标：使等值后在内部网络进行的各种操作调整后的稳态分析与在全网未等值前所作的分析结果相同或十分相近。要求解内容：外部系统等值网络和等值边界节点注入电流等值内容：将原网络划分为内部节点集合、边界节点集合、外部系统集合，内部网络通过状态估计器提供潮流数据，外部网络结构和参数由上一级电网控制中心提供外部网络静态等值概述

等值目的①降低网络分析的计算量和对内存的需求②回避量测不全或无量测的网络部分，降低量测信息需求量③删除不关心的网络部分，避免分析者分散注意力我国等值主要目的①网调度中心：对某些省网进行等值处理②省调度中心：对某些与之相联的省网进行等值处理对省内某些地区进行等值处理③地调度中心：对相邻地区或省网进行等值处理静态等值概述分类：拓扑法识别法（非拓扑法）识别法：根据内部系统实时量测信息估计出外部系统的等值，如果系统发生结构改变应重新启动拓扑法：Ward等值法1949WardREI等值法1975Dimo应用等值方法可以大大缩小问题的计算规模，系统中某些不可观察部分也通过等值方法来处理。电力系统按计算要求分研究系统和外部系统。前者要求详细计算，后者可用等值计算来取代。研究系统可分为边界系统和内部系统。边界系统是指内部系统与外部系统相联系的边界点（或边界母线）。内部系统与边界系统的联络支路称为联络线。外部等值方法必须保证：当研究系统内运行条件发生变化，其等值网络分析结果应与未简化前由全系统计算分析的结果相近。静态等值概述©版权所有互联电力系统的划分互联系统可用划分成研究系统ST和外部系统E两部分。某些文献把研究系统分成边界系统B和内部系统I。如右。还有一种，把内部系统称为研究系统，而边界母线归并在外部系统中。一般WARD等值用前种，REI等值用后一种。互联系统的第一种划分互联系统的第二种划分Ward等值法描述系统的节点电压方程将节点分类：内部系统节点集合——I边界节点集合——B外部系统节点集合——E外部节点电压量：Ward等值法消去UE合并后实际应用时，功率代替电流上式的电流部分Ward等值法化为功率方程i12S2Si内部系统边界节点联络线等值支路等值注入S1Ward等值步骤1、选取一代表性运行方式，利用潮流计算确定电压值；2、确定内部集及边界节点集；3、消去外部系统，得到等值边界节点导纳阵4、列写等值研究系统的功率方程5、求解此等值研究系统的功率方程简单系统算例－j4－j4－j4－j41234边界节点ij0.1j0.2j0.2j0.2j0.1简化前写出相应的导纳阵并进行Ward等值简单系统算例简单系统算例等值边界导纳阵：边界节点ij1.11简化后©版权所有Ward等值网的缺点用等值法求解潮流时，迭代次数可能过多或完全不收敛。等值网的潮流计算可能收敛在不可行解上。潮流计算结果可能误差太大。Ward等值法的改进措施（1）

并联支路的处理

等值后的并联支路，代表了从边界节点看出去的外部网络对地电容和补偿并联支路。

因为外部网络的串联阻抗值较小，所以外部系统的并联支路有集聚于边界节点的趋势。

因此：等值时尽量不用并联支路，而通过求边界的等值注入来计及影响。考虑并联支路聚集效应。

等值在边界的并联支路，产生错误的并联支路响应模型。如：边界节点电压微小变化，导致并联支路无功功率显著增加。

而实际外部系统某些节点电压，通常受邻近的PV节点支援，而边界节点电压的改变，对这些节点电压的影响很小。©版权所有Ward等值法的改进措施（2）保留外部系统的部分PV节点在等值时，如果外部系统中含有PV节点，则内部系统中发生事故开断时，应保持外部PV节点对内部系统的无功支援。否则，等值网潮流解算结果差。

做法：进行外部等值时，保留无功出力大，且与内部系统电气距离小的PV节点。©版权所有Ward等值法的改进措施（3）非基本运行方式下WARD等值校正：先以内部系统实时数据作状态估计，求出边界节点的电压模值与电压相角；然后以所有边界节点作为平衡节点，对基本运行方式下的外部等值系统（由边界节点及保留的外部系统节点组成）作潮流计算。对保留的PV节点：有功注入为0，电压模值为给定值，相角取边界节点相角平均值。潮流计算求得的边界注入用于校正基本运行方式下的注入。如果校正后注入进行状态估计时，与内部信息有较大残差，可修改边界节点电压模值与相角，重复计算2－3次。©版权所有导纳阵稀疏性变差是Ward等值法的必然结果YEQ的稀疏性取决于消去范围的大小。如1000节点1500条支路系统等值成200节点。其中100个是边界节点。等值后矩阵等值支路有：

100×99/2＝4950条是原来的三倍。©版权所有缓冲等值法——改进Ward等值法假如以发生预想事故的节点为中心，按各相关支路与中心联系的紧密程度把邻接和非邻接的其余节点划分若干节点层。各节点层所受到的事故扰动影响将随着与中心的距离而逐步衰减。©版权所有缓冲母线（节点）与缓冲支路对于静态安全分析，引起最大影响的开断事故是发生在与边界母线相连的联络线上，以边界母线为中心，可向外部系统确定若干节点层。若保留第一层各节点，略去该层各节点之间的联络线，加上用Ward等值法得到的边界等值支路与等值注入，就可形成缓冲等值网。第一层上的节点，称为缓冲母线，缓冲母线与边界母线间的支路，称为缓冲支路。©版权所有缓冲等值网络图©版权所有缓冲等值（1）在缓冲等值中，边界节点之间的互连等值支路参数及边界节点的等值注入，可由常规的Ward等值法求出。为了在内部系统出现线路开断情况下，外部系统能向内部系统提供一定的无功功率支援，可把所有缓冲母线m定为PV节点，并规定其有功注入Pm=0,母线电压等于相连的边界母线电压Um=Ui0，这样缓冲母线在任何情况下都不会提供有功功率。此外，由于高压电网的|gij|<<|bij|，在Pm=0时，θm=θi0，所以在基本运行方式下，缓冲母线也不向内部系统提供无功功率。只有内部系统出现事故开断后，缓冲母线才会作出提供无功功率的响应。©版权所有缓冲等值（2）构成等值时，边界母线的类型将按其实际情况定为PV母线或母线PQ母线。如果边界母线原来就是PV，由于其本身即具有无功增量响应，就不需在这些边界处添相应的缓冲节点。当边界母线有相邻接的PV节点时，也可考虑不增添相应的缓冲节点。©版权所有其它等值方法广义WARD等值

《电力系统静态安全分析》p104－p111©版权所有WARD等值算例对图所示的电力系统，各条支路的导纳和节点注入电流在图上标出。若将系统节点划分为内部系统节点集I＝{5}，边界系统节点集B＝{3，4}，外部系统节点集E＝{1,2}，对该系统进行WARD等值。解：首先写出网络方程：©版权所有WARD等值算例则有©版权所有WARD等值算例求边界等值导纳矩阵：©版权所有WARD等值算例得到边界等值导纳矩阵：求边界等值注入电流：等值后网络方程如下：©版权所有REI等值法REI(RadialEquivalentIndependent)等值法的基本思想：把电网的节点分为两组，即要保留的节点与要消去的节点。首先将要消去节点中有源节点按其性质的相关归并为若干组，每组有源节点用一个虚拟的等价有源节点来代替，它通过一个无损耗的虚拟网络（REI网络）与这些有源节点相联。在此虚拟有源节点上的有功、无功注入功率是该组有源节点有功与无功功率的代数和。在接入REI网络与虚拟等价节点后，原来的有源节点就变成了无源节点。然后将所有要消去的无源节点用常规的方法消去。©版权所有REI等值网络简化过程©版权所有REI等值网络简化过程描述第一步：将外部系统中具有具有相关性质（如同为电源或负荷节点，PV或PQ节点，电气距离相近等）的有源节点归并为若干组。图（a）仅代表一个组的情况。

第二步：用一个虚拟的有源节点R代替原来的若干有源节点。并通过一个REI网络接到原有的有源节点上，如图（b）所示，这里为了使得注入到原来各有源节点上的功率仍能保持原有的值，REI网络的有功、无功损耗必须为零，即REI网络应该是一个无损网。为此在REI网络中接有yR以抵消在y1~yn中产生的损耗。©版权所有如何确定REI网络中的各个导纳yn的数值对要消去的每个有源节点，其注入电流关系式为（8）

式中：Uk*为基本潮流解的节点复电压。于是在构造REI网络的参数时应保持原始网络各有源节点的注入不变，可得为了满足无网损的条件，则（9）（10）©版权所有如何确定REI网络中的各个导纳yn的数值式(10)中的UG是任意的,通常取为0。于是REI网络的构造就变成了唯一的。此时而（11）（12）©版权所有等值过程第三步，是消去那些不感兴趣的节点。假定扩展了REI网络后的网络导纳矩阵是Y，以下标E表示要消去的节点集，于是Y可写成消去E中所有节点得到由I中节点所组成的简化网络，如图（c）所示。经过外部等值后的节点导纳矩阵为

YII－YIEYEE-1YEI由上面的式11、12可见，REI网络的参数和网络的运行参数UK有关。因此，只有在基本运行方式下才满足和原网络相互等值的关系。当系统的运行情况偏离于基本运行方式时，如果仍保持REI网络参数不变，就会出现误差。©版权所有REI等值参数计算算例对（a）图所示的网络，已知S1=2＋j1，S2=3＋j2，S3=1＋j0.5，U1=1.05◦，U2=1.0110◦，U3=0.982◦，求REI等值网络参数。解：求虚拟节点处的电压：©版权所有求联结虚拟节点m的支路导纳：求和节点1、2、3相联的支路的导纳：可见支路ym是正电阻正电感性支路，而另外三条支路是负电阻和电容性支路。©版权所有外部系统的有源节点应该如何集合归并(1)当节点k=1，2，---，n上注入发生变化时。（13）写成增量形式由（10）式：写成增量形式得到：©版权所有外部系统的有源节点应该如何集合归并(2)由于，故其增量为（14）得到：©版权所有外部系统的有源节点应该如何集合归并(3)则式(13)可写成同样可得（15）（16）©版权所有对节点归并条件的分析（1）假定被等值的全部节点均是PQ节点，此时原网络的ΔSk=0,在REI网络中的R节点也被取为PQ节点，因此有ΔSR=0,把ΔSR=0代入式(16)得（17）

为了保证REI网络是准确的，必须满足ΔSk=0的条件，亦即由上式可得于是式(15)变为（18）（19）©版权所有PQ节点由于式(19)的右边是实数。这意味着UR与Uk的角度必须相等，即θR=θk

或θ1=θ2=---=θn

。因此得出结论：当一组外部PQ母线用REI网络进行等值时，为了保证等值网络在非基本运行方式下的准确度，在基本运行方式下这些母线的电压角应该是同相位的。©版权所有对节点归并条件的分析

（2）假定被等值的全部节点是PV母线，此时在原网络中应有ΔUk=0,且由于节点的有功注入保持恒定，ΔSk应是纯虚数。此外，在REI网络中的节点R也被取为PV母线。因此有ΔUR=0，代入式16得当ΔSk和ΔSR是纯虚数的情况时，上式的左边是实数，亦即于是式(15)为式中：∠Sk*为-tg-1(Qk/pk)，亦即功率因素角φk，为负值。©版权所有PV节点为了要使等值网络与原始网络的响应一致，在基本运行方式下，这些PV母线（节点）的电压角θk和功率因素角φk之和应是相等的。

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REI等值法的在线应用REI网络是应用了基本运行方式下外部系统的网络拓扑结构与注入功率。当实时的运行状态不同于构成外部等值当时的网络结构与节点注入时，就需要修改原来的等值网络，否则会出现误差。©版权所有说明出现的问题©版权所有改进方法可利用状态估计确定边界节点的电压模值及电压相角。以所有边界节点为平衡节点对外部等值网络作一次潮流计算。根据基本态下的等值网络和注入与实际方式下的数值已有不同，因此在边界节点处会出现校正注入功率。求出各边界节点的校正注入后，可求出一个新的REI校正网络。校正网络包括一个虚拟的REI校正注入节点，为边界节点校正注入之和。X-REI等值网络。在进行电力系统在线安全分析时，对每一个运行方式应分别求出校正网络©版权所有X-REI应用节点性质的选择规则：边界节点仍按其在基本运行方式中的选择；发电机虚拟节点一般选作PV节点；负荷虚拟节点一般选作PQ节点；校正网络的虚拟节点则作为PQ节点处理。©版权所有

三、基本节点与基本支路基本节点：在外部系统中,对一定的运行状态，某些节点或支路对内部系统有较强的关联，这些节点或支路的状态发生改变时，可对内部系统的潮流分配有着明显的影响。基本支路：由基本节点连接起来的支路称为基本支路。在建立外部等值模型时，为保证内部系统在线潮流计算的精确性，原始网络的基本节点与基本支路应保留，并在这些节点和支路上装设测点。©版权所有基本节点可用灵敏度分析的方法加以确定牛顿法的功率修正方程式为对于n个节点系统,上式的方程式数为2(n-1),即在其系数矩阵中不含平衡节点所相应的行和列。有功无功可以解耦有功功率变化对电压相角敏感无功功率变化对电压模值敏感(20)©版权所有无功灵敏度分析假使系统中有功注入保持不变（损耗的变化由平衡节点的注入来补充），则有：由此可得ΔQ=－(L－MH－1N)ΔU

ΔU

=WΔQ式中：矩阵W反映无功功率灵敏度的情况，W=-(L–MH-1N)-1。j点无功增量ΔQj在k点引起的电压模值变化可表示为(21)(23)(24)(22)©版权所有有功灵敏度分析对于给定的ΔP，且假设ΔQ=0，写出方程式ΔP=–(H–NL-1M)ΔθΔθ=A

ΔP式中:矩阵A反映了系统中有功功率灵敏度的情况

A=–(H–NL-1M)-1j点注入功率增量ΔPj在k点引起的电压相角变化为(25)(26)(27)(28)©版权所有基本节点集合若以B表示所有的边界节点集合，则在外部系统的节点集合中对边界节点有较强影响的节点就称为基本节点。用SU表示电压模值灵敏节点集合，用Sθ表示相角灵敏节点集合

集合SU和Sθ中的元素，即为选出的基本节点集合。其中和可以用以下方法来计算(29)(30)(31)©版权所有上两式中：εU为电压变化百分比，当节点k电压变化小于此值时，就可忽略不计；εQ为节点i无功功率最大假定变化量的百分值；Δθk0为相角变化量，当节点k的电压相角变化低于此值时，可以忽略不计；εp为节点i有功功率最大假定变化量百分值。最少的基本节点就是边界节点，而最多的基本节点就是外部系统的全部节点和边界节点。©版权所有四、预想事故评定

预想事故评定，是根据系统中全部可能扰动集合中的某一子集——预想事故集，来评定系统的安全性。原则上应包含静态安全评定和动态安全评定两种，本课只介绍前者。静态安全评定中，预想事故集至少应包括支路开断与发电机开断两类。静态安全评定方法几乎都利用了线性系统的重迭原理，因此可以直接求解出事故后的状态变量。具有简单、快速、便于实时计算的特点，但对处理过于严重的事故往往精度较差。为提高精度，应该参与某种交流潮流算法的迭代求解。4.1概述

支路开断模拟就是对基本运行状态的电力系统，通过支路开断的计算（开断潮流）分析来校核其安全性。

开断潮流：指网络中的元件开断并退出运行后的潮流。开断潮流是以开断前的潮流作为初值进行计算的。支路开断模拟或开断潮流作为在线应用时，对计算速度要求很高，所以需要快速求解。常用的计算方法有：直流法、补偿法、灵敏度分析法。这些方法各具特色，现分别介绍如下。4.2支路开断模拟©版权所有4.2.1直流法电力系统基本运行状态的直流潮流模型为

其中：当注入功率恒定不变,如果发生某条支路开断,则B’0与θ0都将发生变化,它们偏离基本状态的方程式为

P0=(B’0+ΔB)(θ0+Δθ)(32)式中:P0、B’0、θ0分别为电力系统基本运行状态下的注入有功功率列向量、直流潮流电纳矩阵及节点电压相角列向量。(33)©版权所有节点k、m间的支路开断若节点k、m间的支路开断，而其开断的支路电纳为bkm，则上式中的ΔB为©版权所有上式中给出了因支路km开断而导致的各节点电压相角的变化量。应用这一关系可以求出发生开断后任意支路ij中的潮流为开断后任意支路ij中的潮流将式（33）展开，并略去其中两个增量相乘的项，可得(34)(35)(36)从而有©版权所有式37中的仅需要在预想事故分析前进行因子化一次，只要基本运行方式不变，在不同的支路开断下，均不必重作计算。计算说明为便于计算，式35可改写为(37)

Δθkm为支路km开断后各节点电压相角的变化式中：由于Δθ只是ΔB的线性函数，因此在多重支路开断时，仍可采用式35、36。如果支路km及pq同时开断，此时的式35可写成©版权所有支路km、pq多重开断Δθ=Δθkm+Δθpq=bkm(θm(0)-θk(0))(B’0)-1Mkm+bpq(θq(0)-θp(0))(B’0)-1Mpq式中：Δθkm、Δθpq分别表示单一支路km开断和单一支路pq开断后，对网络各个节点电压相角的影响，将上式代入式36即可得双重支路开断后的潮流分布情况。直流法的主要特点：很方便地估算多重支路开断后的潮流。©版权所有直流法支路开断算例如图，节点4为PV节点，节点五为平衡节点，其余为负荷节点。图中标示支路电抗标么值及注入功率。支路1－2极限输送功率1.5，求支路2－3开断后，1－2安全性。解：先求正常情况下的支路1－2功率。得：则求正常情况下的支路1－2功率：注意元素正负©版权所有直流法支路开断算例当支路2－3开断后，由：得：注意到：-bkm注意元素正负©版权所有直流法支路开断算例当支路2－3开断后，得到：所以，支路1－2功率不越限©版权所有4.2.2补偿法补偿法：将支路开断视为该支路未被断开，而在其两端节点处引入某一待求的补偿电流，以此来模拟支路开断的影响。特点：不必修改导纳矩阵，可以用原来的因子表来解算网络的状态。©版权所有用原网络的因子表对进行消去回代运算所求出的节点电压向量，就是待求的发生支路开断后的节点电压向量，且以单一支路开断为例说明补偿法的物理概念当网络节点i、j之间发生支路开断，可以等效地认为在i、j节点间并联了一个追加的支路阻抗Zij，其数值等于被断开支路阻抗的负值。这时流入原网络的注入电流将由变成目前关键问题在于要求出追加支路Zij上通过的电流，从而求得。(45)(44)©版权所有迭加原理图4-1©版权所有对于线性网络，可以应用迭加原理把图4-1（a）分成两个网络即图4-1（b）和4-1（c）。这时待求的节点电压也可看成两个部分(46)(47)式中：相当于没有追加支路情况下的各节点电压，这个向量可以用原网络的因子表求出，即:©版权所有若假定，则有。于是由式(48)就可求出当为单位电流时，网络各节点电压U(ij)，即

是向原网络注入电流向量时求出的，其值为(50)(49)(48)©版权所有这个电源的等值内阻抗ZT可以用其它节点的注入电流为零，仅在i、j点分别通入正、负单位电流后，在i、j点产生的电压差来表示。由式50求得后，便可求得应用等效发电机原理，如果把图4-2所示电路上的i、j节点间的整个系统看成是Zij的等效电源，其空载电压就是如何求取，等效发电机原理(51)(52)(53)ZT亦即是从i、j节点看进去的输入阻抗令：©版权所有支路开断后的节点电压向量通过等值电路图3-7可见，利用式51、52可求出由上式就可求得支路开断后的节点电压向量。(48)’求得之后，由式48即可求得(46)’(54)©版权所有为计算方便，上述计算可写成以下形式(55)其中：(56)(57)(58)(59)(60)©版权所有式中：E为单位矩阵；大括号中的项就是起补偿作用的n×n阶矩阵。上述公式由于Y-1是放在括号的后边所以也称为后补偿公式。©版权所有对第一次开断支路ij后的新网络通入单位电流I(km)，用类似(1)的计算步骤求出U(km)

及Z’km对原网络通入单位电流I(ij)，利用原网络的因子表按式55求出，再按式52求出ZT及按式53求出Z’ij。当第二条支路开断时，其补偿作用必须在第一次开断后的网络基础上进行。设第一次开断支路为ij，第二次开断支路为km，则计算步骤如下。多重支路开断的处理方法（1）其中(52)(53)(55)©版权所有求出、和Z’km后，按式51，54及式46’可以求出支路ij、km两处均开断情况下的网络节点电压向量。求出、和Z’ij之后，按式51，54及式46’可以求出支路ij开断情况下的。多重支路开断的处理方法（2）用原网