专题1.3幂的运算精讲精练（9大易错题型深度导练七下苏科）-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】（解析版）

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.3幂的运算精讲精练（9大易错题型深度导练，七下苏科）【目标导航】【知识梳理】1.同底数幂的乘法：（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（m，n是正整数）

（2）推广：（m，n，p都是正整数）

在用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．2.幂的乘方与积的乘方：（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．3.同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4.零指数幂与负整数指数幂：零指数幂：a0=1（a≠0）负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）【典例剖析】考点1同底数幂的乘法【例1】（2020春•江干区期末）若2x+y﹣2＝0．则52x•5y＝．【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解析】∵2x+y﹣2＝0，∴52x•5y＝52x+y＝52＝25．故答案为：25．【变式训练】1．（2022春•玄武区期末）计算a3•（﹣a2）的结果是（）A．a6 B．﹣a6 C．a5 D．﹣a5【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．【解析】解：a3•（﹣a2）＝﹣a3+2＝﹣a5．故选：D．2．（2022春•无锡期中）计算（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5，结果为（）A．﹣（b﹣a）10 B．（b﹣a）30 C．（b﹣a）10 D．﹣（b﹣a）30【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则可求解．【解析】解：（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5＝（b﹣a）2[﹣（b﹣a）]3（b﹣a）5＝﹣（b﹣a）5（b﹣a）5＝﹣（b﹣a）10．故选：A．3．（2022春•江阴市期中）已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（）A．8 B．3 C．64 D．12【分析】根据am+n＝am•an即可求解．【解析】解：∵am+n＝am•an，且am＝6，an＝2，∴am+n＝6×2＝12．故选：D．考点2幂的乘方【例2】（2020春•南京期末）已知2a＝3，4b＝5，则2a+2b的值是．【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解析】∵2a＝3，4b＝5，∴2a+2b＝2a•22b＝2a•4b＝3×5＝15．故答案为：15．【变式训练】4．（2022春•洪泽区校级月考）计算（x4）3•x3的结果是（）A．x12 B．x14 C．x15 D．x84【分析】先根据幂的乘方算乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算乘法，即可得出答案．【解析】解：（x4）3•x3＝x12•x3＝x15．故选：C．5．（2022春•泰兴市校级月考）（4×2n）2等于（）A．4×2n B．42n+4 C．22n D．22n+4【分析】根据幂的乘方与积的乘方化简即可得出答案．【解析】解：原式＝42×（2n）2＝16×22n＝24×22n＝22n+4．故选：D．6．（2022•扬州一模）墨迹覆盖了等式“（a2）3■a4＝a2（a≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．× B．÷ C．﹣ D．十【分析】先进行幂的乘方，再观察相应的指数的关系即可判断．【解析】解：∵（a2）3■a4＝a2（a≠0），∴a6■a4＝a2（a≠0），则6﹣4＝2，故■的运算符号是÷．故选：B．考点3积的乘方【例3】（2020春•仪征市期末）计算：0.252019×42020＝．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解析】0.252019×42020＝0.252019×42019×4＝（0.25×4）2019×4＝12019×4＝4．故答案为：4．【变式训练】7．（2022春•江阴市校级月考）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（）A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．【解析】解：（﹣0.25）2022×42021＝（﹣0.25）2021×42021×（﹣0.25）＝[（﹣0.25）×4]2021×（﹣0.25）＝（﹣1）2021×（﹣0.25）＝（﹣1）×（﹣0.25）＝0.25，故选：C．8．（2022春•江都区校级月考）xm＝2，xn＝4，则x2m+3n的值为（）A．16 B．48 C．256 D．128【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解析】解：当xm＝2，xn＝4时，x2m+3n＝x2m•x3n＝（xm）2•（xn）3＝22×43＝4×64＝256．故选C．9．（2022春•泗阳县期末）已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a+4b的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】利用幂的乘方和积的乘方的逆运算将已知式子变形，求得a，b的关系式，再利用不等式求得a的最小值，再将所求式子用a的代数式表示后即可得出结论．【解析】解：∵27a×9b＝81，∴（33）a•（32）b＝34，∴33a•32b＝34，∴33a+2b＝34，∴3a+2b＝4．∴2b＝4﹣3a，∵a≥2b，∴a≥4﹣3a，解得：a≥1．∴8a+4b＝2a+2（3a+2b）＝8+2a，∴8a+4b的最小值为：8+2＝10，故选：B．【考点4】同底数幂的除法【例4】（2020春•江都区期末）若ax＝3，ay＝2，则a3x﹣2y的值为．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可．【解析】∵ax＝3，ay＝2，∴a3x﹣2y＝a3x÷a2y＝（ax）3÷（ay）2＝33÷22=27故答案为：274【变式训练】10．（2022春•洪泽区校级月考）如果ax÷an+2＝a，那么x的值是（）A．3﹣n B．n﹣3 C．n+3 D．﹣2【分析】根据同底数幂的除法法则即可求出结论．【解析】解：∵ax÷an+2＝ax﹣n﹣2＝a，∴x﹣n﹣2＝1，∴x＝n+2+1＝n+3．故选：C．11．（2022春•亭湖区校级月考）计算x9÷x3的结果是（）A．x3 B．x6 C．x2 D．x12【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减计算即可得出结果．【解析】解：x9÷x3＝x9﹣3＝x6，故选：B．12．（2022秋•海安市月考）已知xm＝3，xn＝2，则x3m﹣2n的值为（）A．108 B．36 C．274 D．【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应值运算即可．【解析】解：当xm＝3，xn＝2时，x3m﹣2n＝x3m÷x2n＝（xm）3÷（xn）2＝33÷22＝27÷4=27故选：C．【考点5】零指数幂【例5】（2020春•常州期中）若等式（2﹣x）0＝1成立，则x的取值范围是．【分析】直接利用零指数幂的定义分析得出答案．【解析】∵等式（2﹣x）0＝1成立，∴2﹣x≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【变式训练】13．（2022春•泰兴市期末）20200的值为（）A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022【分析】根据a0＝1（a≠0），进行计算即可解答．【解析】解：20200的值为1，故选：A．14．（2022春•阜宁县期末）n为整数，则下列运算结果不是1的为（）A．1n B．（﹣1）2n C．（π﹣3）0 D．（﹣1）2n+1【分析】根据n的值，分别对各个选项进行计算即可．【解析】解：由于n是整数，1n＝1，因此选项A不符合题意；由于n是整数，2n是偶数，所以（﹣1）2n＝1，因此选项B不符合题意；由于π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项C不符合题意；由于n是整数，2n+1是奇数，所以（﹣1）2n+1＝﹣1，因此选项D符合题意；故选：D．15．（2022春•东台市月考）等式（x﹣3）0＝1成立的条件是（）A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠3【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．【解析】解：等式（x﹣3）0＝1成立的条件是：x≠3．故选：D．【考点6】负整数指数幂【例6】（2020春•赣榆区期末）已知a＝﹣32，b=(-13)-2，c=(-13)0，用“＜”连接【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解析】∵a＝﹣32＝﹣9，b=(-13)-2∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．【变式训练】16．（2022春•建湖县期中）2022﹣1等于（）A．﹣2022 B．12022 C．-12022 【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，进而得出答案．【解析】解：2022﹣1=1故选：B．17．（2022春•丹徒区月考）若a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（-13）﹣2，d＝（-1A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而判断得出答案．【解析】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝﹣3﹣2=-19，c＝（-13）﹣2＝9，d＝（-1则-19＜-0.09＜∴b＜a＜d＜c．故选：B．18．（2022春•镇江期末）我们知道：21＝2，22＝4，……，210＝1024，那么2﹣30接近于（）A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7【分析】利用幂的乘方和负整数幂的运算法则进行运算．【解析】解：∵210＝1024，1024≈103，∴230＝（210）3≈（103）3＝109，∴2﹣30=1230≈故选：B．【考点7】科学计数法表示较小的数【例7】（2020春•江阴市期末）水珠不断地滴在石头上，形成小洞，平均每年小洞增加的深度约为0.00096m，数据0.00096用科学记数法可表示为．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解析】0.00096＝9.6×10﹣4．故答案为：9.6×10﹣4．【变式训练】19．（2022春•惠山区期中）新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新型病毒，它的直径约60～220nm，平均直径为100nm（纳米）．1纳米＝10﹣9米，那么100nm用科学记数法可以表示为（）A．0.1×10﹣6米 B．10×10﹣7米 C．1×10﹣6米 D．1×10﹣7米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解析】解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m．故选：D．20．（2022春•海州区校级期末）某种植物果实的质量只有0.0000000076克，用科学记数法表示是（）A．7.6×109克 B．7.6×10﹣7克 C．7.6×10﹣8克 D．7.6×10﹣9克【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解析】解：0.0000000076＝7.6×10﹣9，故选：D．21．（2022春•沭阳县期末）刻度尺上的一小格为1毫米，1纳米等于一百万分之一毫米，那么3×1010纳米大约是（）A．一支铅笔的长度 B．姚明的身高 C．十层大楼的高度 D．珠穆朗玛峰的高度【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解析】解：3×1010×10﹣6毫米＝3×104毫米＝30米，即3×1010纳米大约是十层大楼的高度，故选：C．【考点8】有关幂的运算的解答题【例8】（2020春•高港区期中）计算或化简：（1）(1（2）a5▪（a4）2÷（﹣a2）3；（3）(1【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则计算得出答案；（3）直接利用积的乘方运算计算得出答案．【解析】（1）原式＝8﹣1﹣5＝2；（2）原式＝a5•a8÷（﹣a6）＝﹣a13﹣6＝﹣a7；（3）原式＝（12×2）2019＝2．【变式训练】22．（2022春•滨海县月考）（1）计算（-13）100×3（2）已知2m＝3，2n＝5，求22m﹣23n的值．【分析】（1）利用积的乘方的法则进行求解即可；（2）利用幂的乘方的法则进行整理，再代入相应的值运算即可．【解析】解：（1）（-13）100×＝（-13）100×3100＝（-13×3）＝（﹣1）100×3＝1×3＝3；（2）当2m＝3，2n＝5时，22m﹣23n＝（2m）2﹣（2n）3＝32﹣53＝9﹣125＝﹣116．23．（2022春•仪征市期中）计算：（1）(-1)（2）(-5【分析】（1）先根据有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再算加减即可；（2）先根据积的乘方的逆运用进行计算，再求出答案即可．【解析】解：（1）原式＝﹣1+9﹣1＝7；（2）原式＝[（-56）×6＝（﹣1）2022×＝1×=624．（2022春•盐都区期中）已知3m＝6，3n＝2．（1）求3m+n的值．（2）求3m﹣n的值．（3）求32m﹣3n的值．【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；（2）利用同底数幂的除法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；（3）利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；【解析】解：当3m＝6，3n＝2时，（1）3m+n＝3m×3n＝6×2＝12；（2）3m﹣n＝3m÷3n＝6÷2＝3；（3）32m﹣3n＝32m÷33n＝（3m）2÷（3n）3＝62÷23＝36÷8=9【考点9】有关幂的运算新定义问题【例9】（2022春•广陵区校级月考）探究应用：用“∪”、“∩”定义两种新运算：对于两数a、b，规定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b，例如：3∪2＝103×102＝105，3∩2＝103÷102＝10．（1）求：（1039∪983）的值；（2）求：（2022∩2020）的值；（3）当x为何值时，（x∪5）的值与（23∩17）的值相等．【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；（2）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的除法的法则进行运算即可；（3）根据题意列出相应的式子进行运算即可．【解析】解：（1）（1039∪983）＝101039×10983＝102022；（2）（2022∩2020）＝102022÷102020＝102＝100；（3）由题意得：（x∪5）＝（23∩17），则10x×105＝1023÷1017，∴105+x＝106，即5+x＝6，解得：x＝1．【变式训练】25．（2022春•苏州月考）解决下列问题：（1）若4a﹣3b+7＝0，求32×92a+1÷27b的值；（2）已知x满足22x+4﹣22x+2＝96，求x的值．（3）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⋇（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）⋇（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．当a2+a+5＝0时，求（2a+1，a﹣2）⋇（3a+2，a﹣3）的值．【分析】（1）利用幂的乘方将原式中各数变形为底数为3，然后根据同底数幂的乘除法运算法则进行计算，从而代入求值；（2）利用提公因式法进行因式分解，从而结合同底数幂的运算法则进行计算；（3）根据新定义运算法则列式计算，从而利用整体思想代入求值．【解析】解：（1）原式＝32×（32）2a+1÷（33）b＝32×34a+2÷33b＝32+4a+2﹣3b＝34a+4﹣3b，∵4a﹣3b+7＝0，∴4a﹣3b＝﹣7，∴原式＝3﹣7+4＝3﹣3=1（2）22x+4﹣22x+2＝96，22x+2×22﹣22x+2＝96，22x+2×（22﹣1）＝96，22x+2×3＝96，22x+2＝32，∴2x+2＝5，解得：x=3（3）原式＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣6a+a﹣3﹣（3a2+2a﹣6a﹣4）+2＝2a2﹣6a+a﹣3﹣3a2﹣2a+6a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．26．（2022春•秦淮区期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．（1）根据上述规定，填空：2※16＝4，±16※36＝﹣2（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]（结果化成最简形式）．【分析】（1）利用新定义，直接求得即可；（2）①设间接未知数，利用新定义推导即可；②利用前面的结论，