电动力学-郭硕鸿-第三版-第30次课(6.5电动力学的相对论不变性)

复习:§6.3电动力学的相对论不变性RelativityTheoryofElectromagneticLaw答复以下问题：电磁运动的规律，比方Maxwell’sequations和电磁波的波动方程，在不同的惯性系中具有是否有相同的形式？电磁场在不同的参考系中如何变换？所谓电磁规律的协变性是指：电磁运动的规律，比方Maxwell’sequations和电磁波的波动方程，在不同的惯性系中有相同的形式，即满足Lorentz变换的不变性。但它并不要求描述电磁运动状态的所有物理量都保持不变。如光速c，事件的间隔等，在不同的惯性系中保持不变，而电流密度、电荷密度、电磁场强度等，在不同的参考系中是不同的。本节主要是研讨电磁规律的Lorentz协变性，即Maxwell’sequations表示成四维张量形式。一、四维电流密度矢量电荷是洛伦兹标量，即，但电荷密度与体积有关，必然是一个可变量（设静止密度为，它是一不变量）。∑系观察者测量带电体密度分布为ρ，体积为dV，由长度收缩：

1、电荷密度的可变性设带电体与∑′固连，运动速度为，2、四维电流分布矢量，而四维速度引入那么可引入四维电流密度

显然它是四维矢量，它将统一为整体，满足洛伦兹变换具体形式对∑系3、电荷守恒定律的四维形式其中:所以上式是协变的，在任意一个参考系中成立。二、四维势矢量由上式得到一个启发：若将势的意义引伸一下，将的方程一起概括在一个形式统一的方程里。并把看做空间部分，看做时间部分，即构成一个四维矢量Aμ.变换关系三、电磁场张量当Aμ构成四维矢量时,都构成四维张量，因此也是四维张量其矩阵形式为反对称张量当μ=1,2,3，上式表示上式表示同理合起来，写成这里μ,v,λ取值轮换:μ=1,v=2,λ=3;v=1，λ=2，μ=3;λ=1,μ=2,v=3，得到由此矩阵形式，即可求出电场和磁场各分量的变换关系式：由此可以看出：电场和磁场不再彼此独立，当坐标系变换时,不是各自独立地，而是混合地变换。在一惯性系中纯粹是电场或磁场的在另一惯性系中必定是电场和磁场的混合，不可能将某一惯性系中的纯粹的静电场变换到另一惯性系中纯粹的静磁场。如果把电磁场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解，那么电磁场的变换式可写成：当vc时，上式过渡到非相对论电磁场变换式至此，关于电磁现象的参考系问题完全得到解决，电动力学根本方程式对任意惯性参考系成立。在坐标变换下，势按四维矢量变换，电磁场按四维张得变换。[例1]求匀速运动的带电荷为e的粒子的电磁场。Solution:设∑’系的原点固定在粒子上，那么该粒子相对于∑’系是静止的，因而只有静电场，其电磁场强度为再设∑系为实验室参考系，∑’系随着粒子相对于∑系沿x轴的速度运动，由电磁场变换式则有由于故得现在，必须把用∑系中的坐标表示，我们在t=0时刻在∑系中测量空间的场,于是,根据Lorentz变换，我们有所以从∑’系的原点到观察点的距离可表示成这样，∑系中的电场强度为∑系中的磁场强度为讨论：当v<<c时，略去级项，得到当v~c时，在与方向上（即）在与//的方向上，（即）场分布不再是球对称的，而是与θ有关。场向着垂直于速度方向的平面内集中，集中的程度与粒子运动速度有关。当v→c时，场根本上集中分布在垂直于速度的平面内,类似于平面波。×××××××4、电磁场不变量从电磁场张量出发，我们可以得到一些电磁场的不变量。即利用全反对称张量，可以由电磁场张量构成另一个不变量根据这两个不变量，可得如下结论：a)若在某一惯性参考系中，则在任何惯性系中将同样有b)若在某一惯性参考系中垂直，那么在任何惯性参考系中，永远垂直；真空中的平面电磁波，而且，这个性质是不随参考系不同而改变的。总结:1、